Introduction pratique aux EDP et à l'analyse numérique
Chapitre 1 : Phénomènes physiques et EDP
On effectue la classification des EDP du second ordre et on donne
de nombreux exemples tirés de la physique. Les feuilles Maple font
écho.
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Chapitre 2 : Quelques méthodes de résolution exacte
Ce thème fait l'objet d'une leçon à l'oral
de l'agrégation. On présente quelques techniques classiques
de calcul symbolique pour certaines EDP linéaires (transformée
intégrales, changements de variables). On tire parti de Maple pour
les mettre en oeuvre sur des exemples classiques.
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Chapitre 3 : Problèmes elliptiques - aspects théoriques
On donne la notion de solution classique d'EDP elliptiques et on établit
quelques propriétés fondamentales ; on en décrit le
pendant pour des données moins régulières, lorsque
les espaces fonctionnels ambiants sont les Sobolev. On donne enfin quelques
approches constructives (analyse de Fourier) et fait le lien avec les techniques
d'approximations par polynomes otrhogonaux.
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Chapitre 4 : Méthode des différences finies
On introduit la méthode des différences finies
pour résoudre les problèmes elliptiques lorsque la solution
est classique. Les notions de stabilité et d'ordre sont introduites
et les propriétes des matrices sous-jacentes à la discrétisation
sont étudiées. Des parallèles discrets avec le cas
continu sont soulignés.
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Chapitre 5 : problèmes d'évolution, aspects théoriques
De manière analogue au chapitre 4, on discute d'abord
des propriétés des solutions classiques, puis on décrit
celles des solutions faibles. Comme écho aux méthodes spectrales
on présente la méthode de Faédo Galerkin.
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Chapitre 6 : Discrétisation en temps par différences
finies
On présente les schémas classiques pour les problèmes
hyperboliques et paraboliques. La stabilité est abordée
par l'analyse de Von Neumann et par des méthodes d'énergie.
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