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Antoine Touzé
Informations pratiques:
Dates: les mardi 23 et 30 mars, 6 et 13 avril 2010
Horaires: Les trois premières leçons ont lieu de 16h à 18h, la dernière leçon (i.e. la séance du 13 avril 2010) aura lieu de 15h à 17h.
Lieu: Salle de conférence du 3 rue d'Ulm, 75005 Paris.
Titre : Invariants, cohomologie et représentations fonctorielles des groupes algébriques.
Résumé: Le point de vue du cours est de voir quels résultats l'utilisation conjointe de la théorie classique des invariants et des représentations fonctorielles permettent d'obtenir sur la cohomologie des groupes algébriques.
Affiche du
cours
Fichiers beamer du cours:
Leçon 1: Introduction.
La leçon 1
présentera une introduction générale du cours (aspect historique,
questions traitées et principaux résultats abordés), puis
rappellera plus en détail les concepts de base du cours avec des
exemples.
Plan de la leçon 1:
-Introduction, vue
d'ensemble des problèmes traités et plan du cours
-Schémas en
groupes algébriques affines
-Cohomologie
-Foncteurs
strictement polynomiaux [C2,C3,C4]
Leçon 2: Calculs avec les foncteurs strictement
polynomiaux.
La leçon 2 montrera l'intérêt d'utiliser
les foncteurs strictement polynomiaux pour étudier la cohomologie
stable du groupe linéaire. En particulier on présentera des calculs
simples et efficaces qui permettent de comprendre l'effet de la
torsion de Frobenius sur la cohomologie.
Plan de la leçon
2:
- Motivations: intervention de la torsion de Frobenius dans les
problèmes d'engendrement fini et pour la cohomologie des groupes
finis [B2,D4].
- Techniques de calcul [C3,C4]: adjonctions à la
source, lemmes d'annulation.
- Applications [C3,C4,C5]: produits
tensoriels, structures algébriques gratuites sur la cohomologie
stable
- Complexes fonctoriels, complexes de Troesch [C6]
-
Application: la "formule magique" de Chalupnik [C1] et ses
applications.
Leçon 3: Prolongements de la theorie classique
des invariants.
La leçon 3 abordera les liens entre la
théorie classique des invariants et la cohomologie. Tout d'abord les
"premiers théorèmes fondamentaux" (FFTs) permettent
d'étendre le lien entre foncteurs strictement polynomiaux et groupe
linéaire aux groupes classiques. Puis on abordera un deuxième
aspect de la théorie des invariants: l'engendrement fini des
algèbres d'invariants (théorème de Haboush) et son extension aux
algèbres de cohomologie (Conjecture de Van der Kallen).
Plan
de la leçon 3:
- Introduction: theorie classique des invariants
[A1,A2]
- Application des FFTs: lien entre foncteurs strictement
polynomiaux et cohomologie des groupes classiques. Applications
[A1,B1,C5].
- Engendrement fini des algèbres de cohomologie:
conjecture de Van der Kallen [A1,D4].
Leçon 4: Résolution de la conjecture de Van der
Kallen [D1-D4].
La leçon 4 sera la suite de la leçon 3.
On présentera la résolution de la conjecture de Van der Kallen. On
présentera notamment la construction de "classes cohomologiques
universelles" en réutilisant certains outils fonctoriels déjà
abordés dans la leçon 2.
Quelques références:
A. Théorie des invariants
C. de Concini, C. Procesi, A characteristic free approach to invariant theory. Advances in Math. 21 (1976), no. 3, 330–354.
W.J. Haboush, Reductive groups are geometrically reductive. Ann of Math. (2) 102 (1975), no. 1, 67--83.
B. Cohomologie des groupes algébriques
H.H. Andersen, J.C. Jantzen, Cohomology of induced representations for algebraic groups. Math. Ann. 269 (1984), no. 4, 487–525.
E. Cline, B. Parshall, L. Scott, W. van der Kallen, Rational and generic cohomology, Invent. Math. 39 (1977), 143-163.
Une référence générale:
J.-C. Jantzen,
Representations of Algebraic Groups, Mathematical Surveys and
Monographs vol. 107, Amer. Math. Soc., Providence, 2003.
C. Foncteurs strictement polynomiaux
M. Chalupnik, Extensions of strict polynomial functors. Ann. Sci. école Norm. Sup. (4) 38 (2005), no. 5, 773-792.
V. Franjou, E. Friedlander, Cohomology of bifunctors, Proc. London Math. Soc. (2008), doi: 10.1112/plms/pdn005.
V. Franjou, E. Friedlander, A. Scorichenko, A. Suslin, General linear and functor cohomology over finite fields, Ann. of Math. (2) 150 (1999), no. 2, 663–728.
E. M. Friedlander, A. A. Suslin, Cohomology of finite group schemes over a field, Invent. Math. 127 (1997), 209–270.
A. Touzé, Cohomology of classical algebraic groups from the functorial viewpoint, à paraître dans Adv. in Math (2010). ArXiv (2009)
A. Troesch, Une résolution injective des puissances symétriques tordues. (French) [Injective resolution of twisted symmetric powers] Ann. Inst. Fourier (Grenoble) 55(2005), no. 5, 1587–1634.
D. Conjecture de Van der Kallen
V. Srinivas, W. Van der Kallen. Finite Schur filtration dimension for modules over an algebra with Schur filtration. Transform. Groups 14 (2009), no. 3, 695--711.
A. Touzé, Universal classes for algebraic groups, Duke J. Math (2) 151 (2010), 219-249. ArXiv (2008)
A. Touzé, W. Van der Kallen, Bifunctor cohomology and Cohomological finite generation for reductive groups, Duke J. Math (2) 151 (2010), 251-278. ArXiv (2008)
W. van der Kallen, Cohomology with Grosshans graded coefficients, In: Invariant Theory in All Characteristics, Edited by: H. E. A. Eddy Campbell and David L. Wehlau, CRM Proceedings and Lecture Notes, Volume 35 (2004) 127-138, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2004.