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Antoine Touzé

Cours de M2 (année 2011-2012) à Paris 13:

Cohomologie des groupes.



Informations pratiques:


Résumé:  Ce cours introduira la cohomologie des groupes discrets d'un point de vue topologique (cohomologie des espaces classifiants) et d'un point de vue de la théorie des représentations (foncteurs dérivés des points fixes). Un des objectifs du cours est de donner une bonne idée du résultat suivant (du à Venkov (1959) pour une démonstration topologique dans un cadre restreint, et à Evens (1961) pour une démonstration algébrique générale).

Thm: Soit k un anneau noethérien commutatif. Soit G un groupe fini. Soit A une k-algebre commutative de type fini sur laquelle G agit par automorphismes d'algèbres. Alors l'algèbre de cohomologie H^*(G,A) est de type fini.

Si le temps le permet, on abordera des résultats récents, donnant des renseignements quantitatifs sur les générateurs de ces algèbres de cohomologie. (Par exemple la démonstration par Peter Symonds (2010) de la conjecture de régularité de Benson).



Programme du cours
| Prérequis | Bibliographie


Programme du cours

(avec estimation du temps consacré à chaque partie)

  1. Bases d'algèbre homologique. (2 séances)
    Dans cette partie succinte nous rappellerons les notions de base d'algèbre homologique (modules injectifs/ projectifs, foncteurs dérivés, Ext, Tor).

    Feuilles d'exercices:
    Feuille n°1
    Feuille n°2

  2. Homologie et cohomologie des groupes. (5 séances)
    Dans cette partie nous définirons la (co)homologie des groupes de deux façons (version algébrique et version topologique) et nous donnerons des exemples et des applications élémentaires.

    Feuille d'exercices (calculs élémentaires): 
    Feuille n°3

  3. Suites spectrales en algèbre et en topologie. (3 à 4 séances)
    Nous introduirons les suites spectrales "du point de vue de l'utilisateur", et donnerons des exemples classiques: suite spectrale d'un complexe filtré, suite spectrale de Hochschild-Serre, suite spectrale d'une fibration. Nous donnerons des applications en algèbre et en topologie.  

    Feuilles d'exercices:
    Feuille n°4

    Feuille n°5

  4. Théorèmes d'engendrement fini. (2 à 3 séances)
    Dans cette partie, nous donnerons une démontration topologique (reposant sur l'utilisation des classes caractéristiques) et une démonstration algébrique du théorème d'engendrement fini des algèbres de cohomologie des groupes finis (reposant sur l'utilisation de la norme dans les suites spectrales).

  5. Compléments.
    Si le temps le permet, nous aborderons des résultats plus récents.



Prérequis

On prend comme prérequis un cours de topologie algébrique de base. (Assurant un minimum de familiarité avec l'homologie et la cohomologie singulière d'un espace topologique, les complexes de (co)chaines, les notions de catégorie et de foncteur)

Une bonne référence sur ce sujet est le livre de Hatcher "algebraic topology" (disponible en ligne sur la page de A. Hatcher)



Bibliographie pour les différentes parties du cours

[Br] K. Brown, "Cohomology of groups"
[Ben1] D. Benson, "Representations and cohomology", tome 1
[Ben2] D. Benson, "Representations and cohomology", tome 2
[E] L. Evens, "cohomology of groups"
[MC] J. McCleary, "A user's guide to spectral sequences"
[ML] S. Mac Lane, "Homology"
[Mil] J. Milnor, "Characteristic classes"
[W] C. Weibel, "An Introduction to Homological Algebra"


Partie 1: bases d'algèbre homologique.

Partie 2: Homologie et cohomologie des groupes

Partie 3: Suites spectrales

Partie 4: Propriétés de finitude








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Antoine Touzé