Antoine Touzé
Informations pratiques:
Dates: 1er cours: mercredi 11 janvier 2012.
Horaires: mercredi de 10h15
à 12h15.
Lieu: Institut Galilée, Paris 13 (Villetaneuse). Salles:
Cours du mercredi 11/01 au mercredi 01/02: |
salle C310 |
(bâtiment C, 3ème étage) |
Cours les mercredis 08/02 et 15/02: |
salle F001 |
(bâtiment F, RdC) |
Cours du mercredi 22/02 au 11/04: |
salle C304 |
(bâtiment C, 3ème étage) |
Séances supplémentaires: Mardi 20 mars, 14h-17h, salle
B407
Mardi 10 avril, 14h-17h, salle B407
Comment
venir à Paris 13
Résumé: Ce cours introduira la cohomologie
des groupes discrets d'un point de vue topologique (cohomologie des
espaces classifiants) et d'un point de vue de la théorie des
représentations (foncteurs dérivés des points fixes). Un des
objectifs du cours est de donner une bonne idée du résultat suivant
(du à Venkov (1959) pour une démonstration topologique dans un
cadre restreint, et à Evens (1961) pour une démonstration
algébrique générale).
Thm: Soit k un anneau
noethérien commutatif. Soit G un groupe fini. Soit A une k-algebre
commutative de type fini sur laquelle G agit par automorphismes
d'algèbres. Alors l'algèbre de cohomologie H^*(G,A) est de type
fini.
Si le temps le permet, on abordera des résultats
récents, donnant des renseignements quantitatifs sur les générateurs
de ces algèbres de cohomologie. (Par exemple la démonstration par
Peter Symonds (2010) de la conjecture de régularité de
Benson).
Programme du cours |
Prérequis | Bibliographie
(avec estimation du temps consacré à chaque partie)
Bases d'algèbre homologique. (2 séances)
Dans
cette partie succinte nous rappellerons les notions de base
d'algèbre homologique (modules injectifs/ projectifs, foncteurs
dérivés, Ext, Tor).
Feuilles d'exercices:
Feuille
n°1
Feuille
n°2
Homologie et cohomologie des groupes. (5 séances)
Dans
cette partie nous définirons la (co)homologie des groupes de deux
façons (version algébrique et version topologique) et nous
donnerons des exemples et des applications élémentaires.
Feuille
d'exercices (calculs élémentaires):
Feuille
n°3
Suites spectrales en algèbre et en topologie. (3 à 4
séances)
Nous introduirons
les suites spectrales "du point de vue de l'utilisateur",
et donnerons des exemples classiques: suite spectrale d'un complexe
filtré, suite spectrale de Hochschild-Serre, suite spectrale d'une
fibration. Nous donnerons des applications en algèbre et en
topologie.
Feuilles d'exercices:
Feuille
n°4
Feuille
n°5
Théorèmes d'engendrement fini. (2 à 3 séances)
Dans
cette partie, nous donnerons une démontration topologique (reposant
sur l'utilisation des classes caractéristiques) et une
démonstration algébrique du théorème d'engendrement fini des
algèbres de cohomologie des groupes finis (reposant sur
l'utilisation de la norme dans les suites spectrales).
Compléments.
Si le
temps le permet, nous aborderons des résultats plus récents.
On prend comme prérequis un cours de topologie algébrique de
base. (Assurant un minimum de familiarité avec l'homologie et la
cohomologie singulière d'un espace topologique, les complexes de
(co)chaines, les notions de catégorie et de foncteur)
Une
bonne référence sur ce sujet est le livre de Hatcher "algebraic
topology" (disponible en ligne sur la page de A. Hatcher)
[Br] K. Brown, "Cohomology of
groups"
[Ben1] D. Benson, "Representations and
cohomology", tome 1
[Ben2] D. Benson, "Representations
and cohomology", tome 2
[E] L. Evens, "cohomology of
groups"
[MC] J. McCleary, "A user's guide to spectral
sequences"
[ML] S. Mac Lane, "Homology"
[Mil] J.
Milnor, "Characteristic classes"
[W] C. Weibel, "An
Introduction to Homological Algebra"
Partie 1:
bases d'algèbre homologique.
Partie 2: Homologie et cohomologie des groupes
[Br, Chap I à V]
[Ben2, Chap 2]
[E, Chap 1 à 4]
[W, Chap 6]
Partie 3: Suites spectrales
[Ben2, chap 3]
[E, chap 7]
[MC]
[ML, chap XI]
[W, chap 5]
Partie 4: Propriétés de finitude
[Br, Chap VIII]
[Ben2, Chap 3 et 4]
[E, Chap 6 et 7]
[Mil] pour les classes caractéristiques
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Antoine Touzé