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Antoine Touzé

Cours école doctorale (niveau M2) 

à Paris 13:

Cohomologie des groupes algébriques

Informations pratiques:

Résumé:  L'objectif du cours est d'introduire la cohomologie des groupes algébriques et de donner un aperçu aussi complet que possible de la démonstration du théorème suivant.

Thm (2008): Soit k un corps. Soit G un schéma en groupes algébriques affines sur k. Soit A une k-algebre de type fini sur laquelle G agit par automorphismes d'algèbres. Si G est réductif, alors l'algèbre de cohomologie H^*(G,A) est de type fini.

(Ce théorème résout par l'affirmative la conjecture de Van der Kallen.)


Programme du cours
| Prérequis | Bibliographie


Programme détaillé du cours:

Déroulement prévu du cours.

22 mars: parties 1 et 2
29 mars: parties 3 et 4
12 avril: parties 5 et 6

(Une estimation de la durée approximative des différentes parties est donnée entres parenthèses)

Partie 1: Introduction (3h).

On introduira (rapidement) les groupes algébriques affines sur un corps infini ou algébriquement clos, et leurs représentations.

Le but de cette partie est de fournir une gamme d'exemples concrets. A partir de ces exemples on introduira les concepts concernant:

Partie 2: Schémas en groupes algébriques affines, représentations (2h).

On introduira les schémas en groupes algébriques affines et leurs représentations sur un corps quelconque, en les reliant au notions présentées dans l'introduction.

Partie 3: Cohomologie des schémas en groupes (2h)

On introduira la cohomologie des schémas en groupes algébriques, et quelques techniques cohomologiques usuelles (foncteurs d'induction et la suite spectrale de Hochschild-Serre)

Partie 4: Représentations et cohomologie des schémas en groupes réductifs (3h).

Dans cette partie on s'intéressera aux représentations et à la cohomologie des groupes réductifs. L'objectif est :

Partie 5: Propriétés d'engendrement fini (2h).

Dans cette partie, on au problème d'engendrement fini des algèbres d'invariants et des algèbres de cohomologie. On donnera les liens entre différentes notions de réductivité pour les schémas en groupes (par forcément lisses):

(Il est facile de voir que la propriété (ECF) implique la propriété (EF). La conjecture de van der Kallen dit précisément que les propriétés (EF) et (ECF) sont équivalentes.)

Partie 6: La démonstration de la conjecture de Van der Kallen (3h)

Dans cette partie on donnera une idée de la démonstration de la conjecture de van der Kallen.
(i.e. de la démonstration du théorème mentionné dans le résumé)


Prérequis:

Les prérequis pour le cours sont essentiellement les bases de l'algèbre homologique:

  1. Foncteurs, catégories, équivalences de catégorie, lemme de Yoneda.

  2. Catégories abéliennes, injectifs, projectifs, extensions.

  3. Connaissances de base sur les suites spectrales (ne seront utilisées que dans la partie 5)


Des références possibles ces trois sujets sont:

  1. Sur les catégories:

  2. Pour les bases de l'algèbre homologique:

  3. Comme introduction aux suites spectrales, on pourra consulter un des ouvrages suivants:


    D'autres réferences possibles sur les suites spectrales:



Bibliographie pour les différentes parties du cours

[H]  Humphreys, Linear algebric groups
[J]    Jantzen, Representations of algebraic groups
[S]   Springer, Linear algebraic groups
[S2] Springer, Invariant theory
[W] Whaterhouse, Introduction to affine group schemes


Partie 1: introduction.


Partie 2: schémas algébriques affines et leurs représentations.


Partie 3: cohomologie.


Partie 4: Représentations et cohomologie des schémas en groupes réductifs
.

Partie 5: Engendrement fini.

Partie 6: Conjecture de van der Kallen.



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Antoine Touzé