La détermination de l'homologie des groupes d'automorphismes des groupes libres à coefficients entiers (ou même rationnels) constitue un problème difficile, qui a été récemment résolu par Galatius dans le domaine stable (c'est-à-dire en degré homologique assez petit devant le rang des groupes libres en question), où le morphisme canonique depuis l'homologie des groupes symétriques est un isomorphisme. Dans des travaux liés à la structure fine de ces groupes d'automorphismes, Kawazumi a par ailleurs introduit des classes de cohomologie fondamentales de ces groupes à coefficients tordus par des représentations convenables (données par des foncteurs ou des bifoncteurs appliqués à l'abélianisation des groupes libres). Quelques calculs en petit degré homologique ont été menés à bien par Satoh, mais, même dans le domaine stable, la structure générale de tels groupes de (co)homologie demeure très largement inconnue.
Dans cet exposé, j'évoquerai un travail en collaboration avec Christine Vespa dans lequel nous montrons que l'homologie des groupes d'automorphismes des groupes libres à coefficients tordus par un foncteur polynomial réduit sur les groupes libres (par exemple, une puissance tensorielle de l'abélianisation) est stablement nulle. Notre approche repose sur l'utilisation de l'homologie des foncteurs ; elle est indépendante des méthodes utilisées par Galatius, Kawazumi, Satoh ou Hatcher et Wahl (qui avaient déjà démontré ce résultat pour le foncteur d'abélianisation).
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