| Cours (6-8 heures)
| | Michel Langlais,
Bordeaux 2 | |
| | Modèles -- déterministes -- de populations structurées
- Modèles à une population
- - modèles de croissances non structurés, de discret à continu; Malthus (exponentiel), Verhulst (logistique), Allee (bistable);
- - modèles structurés en âge, de discret (Leslie) à continu (Lotka et al.), avec densité dépendance;
- - modèles structurés en espace, approche discrète, approche continue; Skellam, Fisher et KPP.
- Populations en interactions
- - modèles prédateurs-proies classiques avec structuration spatiale;
- - un exemple prédateurs-proies en environnement insulaire ;
- - modèles de propagation d'épidémies avec structuration spatiale de type SI à SEIRS;
- - incidence / structuration sociale / taux de contacts / transmission amicale ou hostile; le cas des virus de populations de chats; (collaboration avec Dominique Pontier)
- - hétérogénéités spatiales et persistance;
- - modèles avec contamination indirecte par le sol; la manip de l'île Marion.
- Les outils mathématiques
- - principe du maximum, comparaison et invariance;
- - existence locale;
- - existence globale et estimations a priori; résultats de N. Alikakos, M. Pierre et al., J.J. Morgan et al.;
- - calculs explicites.
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| Philip Maini,
Oxford | |
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In this course I will aim to give an overview of certain modelling
approaches that have been used to describe spatio-temporal dynamics in
developmental biology, wound healing, and cancer. The course will review a
selection of models and describe some mathematical techniques, including
linear stability theory and travelling wave analysis. The course will
consist of 4 lectures:
- Lecture 1: The Turing reaction-diffusion theory for pattern formation.
Development of the partial differential equation (PDE) model. Analysis to
reveal the properties of the system. Applications to chemistry and biology.
- Lecture 2: Alternative approaches to pattern formation that include cell
movement. PDE models for chemotaxis. Application to aggregation in the
cellular slime mold.
- Lecture 3: Some PDE models for normal and abnormal wound healing. Model
derivation. Analysis of travelling waves.
- Lecture 4: A multi-scale model for avascular tumour growth. Derivation of
a model that couples tissue level dynamics described by systems of PDEs to
determine nutrient distribution to intercellular processes modelled via
coupled systems of ordinary differential equations which model, for example,
the cell cycle.
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| Sylvie Méléard,
Paris 10 | |
| | Modèles probabilistes en dynamique adaptative.
On s'intéressera dans ce cours à l'étude de modèles probabilistes
en dynamique adaptative. Il s'agit de modéliser des problèmes de dynamique des populations où l'on
prend en compte l'effet des mutations et de la sélection. On introduira
tout d'abord un modèle microscopique qui décrit grâce à un processus à
valeurs mesures l'évolution d'un trait génétique de la population. On en
donnera une représentation trajectorielle algorithmique et on mettra en
évidence certaines propriétés de martingales. Ces propriétés seront
utilisées par la suite pour étudier, sous différentes renormalisations des
paramètres du modèle, la convergence du processus, soit vers la solution
d'une équation (déterministe) de type intégrale, ou de type
réaction-diffusion, soit vers un processus à valeurs mesures de type
super-processus non linéaire. Nous utiliserons entre autres pour obtenir
ces résultats des critères de convergence en loi pour des processus à
valeurs mesures, qui seront introduits à cette occasion.
Dans une dernière partie, on décrira un modèle monomorphique, et l'équation
canonique, outil fondamental en dynamique adaptative, qui lui est associée.
On montrera que cette équation peut être obtenue comme limite de processus
ponctuels quand l'amplitude des sauts dus à la mutation tend vers 0. On
étudiera certaines approximations du second ordre de ces processus qui
conduisent à des solutions d'équations différentielles stochastiques à
coefficients dégénérés. |
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| Benoît Perthame,
ENS | |
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- Aspects mathématiques du chimiotactisme
- - Le système de Keller-Segel: Existence et aggrégation
- - Le cas des cellules endothéliales
- - Aspect cinétique et asymptotique
- Dynamique adaptative: un point de vue déterministe
- - Sélection, mutations: le modèle structuré
- - Méthode asymptotique
- - Bifurcations et dimorphisme
- Populations structurées. Le point de vue entropique.
- - modèles structurés en âge, en taille, en maturation
- - Entropies
- - Convergence vers l'état stationnaire
- - est-ce réaliste?
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