This talk is about new proofs of some old but celebrated results in the model theory of henselian valued fields. A key example is the Ax-Kochen-Ersov transfer principle that for a given "elementary" assertion about rings we have the following for almost all primes p: the assertion is true in the ring of p-adic integers if and only if it is true in the ring of formal power series over the field with p elements. In the talk we will give an easy proof of this and related results, using a deep result in algebraic geometry, namely the theorem of Abramovich and Karu on toroidalization of morphisms.
As shown by van der Waerden, `almost all' monic integer polynomials of given degree n have the full symmetric group S(n) as Galois of their splitting field over the rationals. The strongest quantitative form of this statement known so far is due to Gallagher, making use of the Large Sieve. We want to discuss how one can apply more recent tools on bounding the number of integral points on curves and surfaces to improve on Gallagher's result.
L'exposé expliquera comment, en partant d'une question de théorie algébrique des nombres, et via la théorie analytique, on aboutit à une quantité, connue, en théorie additive/combinatoire des nombres, sous le nom de constante de Davenport. On montrera ensuite comment des résultats de théorie des codes peuvent être utilisés pour déduire de nouvelles bornes sur ces constantes. (Travail en commun avec Wolfgang Schmid).
Dans cet exposé, nous expliquerons comment prolonger une méthode d'analyse fonctionnelle introduite par Beurling et Nyman pour donner des disques explicites sans zéro pour une large classe de série de Dirichlet. Ces résultats améliorent des résultats récents de Nikolski et de Roton et permettent également d'obtenir un critère fonctionnel pour le problème du zéro de Siegel. Il s'agit d'un travail en collaboration avec C. Delaunay, E. Mosaki et O. Robert.
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