Getaltheorie in het Vlakke land

Arithmétique en plat pays

APP 2011

Lundi 20 juin 2011

journée printanière

à

Calais.

LMPA, Amphi C002

Programme

11h-12h Thomas Stoll (Marseille)

Sur un problème de Stolarsky : La somme de chiffres de valeurs polynomiales

Soit q un entier ≤ 2 et notons par s_q(n) la somme des chiffres de n en base q. En 1978, Stolarsky a demontré que

liminf_n→∞ ^s₂(n²)⁄_s₂(n) = 0. Il a conjecturé que ce liminf est 0 pour toutes les puissances n^h, h ≥ 2, à la place de n². Nous exposerons la preuve recente (obtenue en collaboration avec K. Hare et S. Laishram) de cette conjecture en montrant que pour tout p(x)=a_h x^h+ a^h-1 x^h-1 + ... + a₀ ∈ Z[x], h ≥ 2 et a_h>0 et toute base q, liminf_n→∞ ^s_q(p(n))⁄ _{s_q(n)}= 0. Les méthodes nous permettent d'obtenir l'ordre de grandeur maximal et minimal de ^s_q(p(n))⁄ _{s_q(n)} dont nous donnerons des exemples d'application.

14h-15h Guy Henniart(Orsay)

Vers une correspondance de Langlands explicite

On sait maintenant que les courbes elliptiques sur Q sont modulaires : une conséquence est le Grand Théorème de Fermat. Ces résultats s'intègrent au programme de Langlands, qui conjecture un lien précis entre les représentations galoisiennes et les formes modulaires et leurs généralisations. Ces conjectures ont un versant local, pour les corps p-adiques, et ce lien précis entre représentations galoisiennes de degré n et représentations de GL(n), pour les corps p-adiques, a pu être prouvé . Si n est premier à p, les deux côtés de la correspondance obtenue ont une description explicite simple, mais décrire explicitement la correspondance est un cauchemar que j'aurai plaisir à partager...

15h-16h Jorge Ramirez Alfonsin (Montpellier)

Le problème diophantien de Frobenius : algorithmes et généralisations

Au début du siècle dernier, F.G. Frobenius proposa le problème suivant (communément appelé 'problème diophantien de Frobenius'): étant donné des entiers positifs a₁,...,a_n, premiers entre eux, quel est l'entier le plus grand (appelé 'nombre de Frobenius') qui n'est pas une combinaison linéaire de a₁,...,a_n à coefficients positifs ? L'étude et la compréhension de ce problème ont été l'objet de nombreux articles de recherche. Dans cet exposé, seront évoqunées différents méthodes algébriques et géométriques visant à calculer le nombre de Frobenius. On parlera aussi des notions liées au problème de Frobenius comme le 'dénumérant' et les trous d'un semigroupe numérique. On finira en discutant quelques généralisations.

16h30-17h30 Bruno Martin (Calais)

Etude de l'autocorrélation multiplicative de la fonction partie fractionnaire

Pour λ≥ 0, on pose

A(λ)= ∫_₀^∞^{{t} {λ t }}⁄ _t² dt
où {.} désigne la fonction partie fractionnaire. Cette fonction intervient dans une reformulation du critère de Nyman pour l'hypothèse de Riemann. Son étude a été initiée par Báez-Duarte, Balazard, Landreau et Saias en 2005. Ils établissent en particulier que A n'est dérivable en aucun nombre rationnel. Dans ce travail, nous caractérisons les points de dérivabilité de A, en faisant intervenir le développement en fraction continue d'un nombre réel. Nous fournissons également un équivalent du module de continuité uniforme de A, c'est-à-dire de la quantité

sup_{|x-y|≤ h} |A(x)-A(y)| lorsque h tend vers zéro.

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