La partie théorique de ce mémoire consiste à faire une synthèse de différents travaux anciens qui concernent les polynômes quasi-orthogonaux (Chihara, Dickinson, Fujiwara, Sen et Rangachariar, Shibata, Shohat, livre de Szegö) et du travail récent de Brezinski-Driver-Redivo Zaglia.

La partie pratique du mémoire consistera à étudier numériquement le comportement des racines de polynômes quasi-orthogonaux d'ordre supérieur à 2 afin de voir s'il est possible d'en tirer des conclusions générales.

Les documents correspondants seront fournis.

Ce travail pourra être poursuivi comme sujet de thèse.

Le but de ce mémoire est d'étudier les techniques de régularisation à un ou plusieurs termes pour les systèmes d'équations linéaires introduites par C. Brezinski et al. dans deux articles. En particulier, on y verra le choix du ou des paramètres de régularisation grâce à la courbe L ou à des techniques appropriées.

Ensuite, le couplage de la régularisation et du préconditionnement sera envisagé.

Dans la partie pratique, divers essais numériques seront réalisés afin de mettre en lumière l'apport de telles techniques.

Les documents correspondants seront fournis.

En analyse numérique, de nombreuses méthodes itératives produisent des suites de vecteurs. Quand une suite de vecteurs converge lentement, on peut essayer de la transformer en une autre suite qui converge plus vite vers la même limite. Diverses transformations de suites de vecteurs existent dans la littérature. Le but de ce mémoire est de faire une synthèse des transformations les plus importantes. Pour certaines d'entre elles, on y introduira le concept d'inverse généralisé (à gauche ou à droite ou le pseudo-inverse) afin de voir s'il conduit à une simplification de la présentation ou à des résultats nouveaux. On verra aussi s'il est possible d'obtenir de nouvelles transformations en se basant sur des estimations de l'erreur comme c'est le cas pour les suites scalaires.

Dans la partie pratique, on essayera d'accélérer la convergence d'un certain nombre de méthodes itératives (de résolution des systèmes d'équations linéaires et non linéaires) à l'aide de ces transformations de suites.

Les documents correspondants seront fournis.

Université du Littoral
Calais
P. Deuring

Le but des estimations a posteriori consiste à determiner la précision d'une solution numérique d'équations aux dérivées partielles, sans connaître la solution exacte de ces équations. Une telle majoration pour des méthodes d'éléments finis appliqués au système de Navier-Stokes incompressible stationnaire a été proposée dans un article d'Arnica et Padra.

Comme sujet de mémoire, je propose d'élaborer certaines parties de cet article, et de faire éventuellement des calculs test.

Références:

D. Arnica, C. Padra: A posteriori error estimators for the steady incompressible Navier-Stokes equations. Numer. Methods Partial Diff. Equ. 13 (1997), 561-574.

Lorsqu'on résout numériquement le système de Navier-Stokes, on n'est pas toujours intéressé à calculer la vitesse et la pression. Plutôt on aimerait trouver une approximation d'une quantité qui dépend de la vitesse et de la pression, par example, la force exercée sur un objet dans l'écoulement du fluide en question. Pour le cas de solutions approchées dans des espaces d'éléments finis, un article de C. Becker propose une méthode de majoration de l'erreur commise lors du calcul d'une telle quantité, sans qu'on sache la solution exacte du problème.

Un mémoire à ce sujet consisterait d'une élaboration d'une partie de cet article.

Références:

C. Becker: An optimal-control approach to a posteriori error approximation for finite element discretizations of the Navier-Stokes equations. East-West J. Numer. Math. 8 (2000), 257-274.

Pour le calcul numérique des écoulements de Navier-Stokes, on utilise souvent des méthodes dites ``de projection'', qui consistent à partager le système en plusieurs sous-systèmes plus simples tels qu'une fonction qui résout tous les sous-systèmes à la fois serait une solution de Navier-Stokes. Une telle décomposition donne lieu à des algorithmes numériques où les sous-systèmes sont résolus à tour de rôle, dans l'espoir qu'une telle itération mène à une solution du système de Navier-Stokes.

Dans l'article de Popa, une telle méthode de projection est considérée. Il est démontré qu'une suite de solutions exactes des sous-systèmes en question converge vers un écoulement de Navier-Stokes.

Cet article peut donner lieu à un mémoire qui comporterait une élaboration de la théorie présentée par Popa.

Références:

C. Popa: On the convergence of the Euler-Stokes splitting to the Navier-Stokes equations. Diff. Int. Equ. 15 (2002), 657-670.

Ce mémoire a pour objet l'étude et la mise en uvre des schémas aux différences finies d'ordre élevé pour simuler les équations de Navier-Stokes, instationnaires, bidimensionnelles et incompressibles. Le cas test considéré est celui de la cavité entrainée, régularisée ou non, qu'on prendra dans sa formulation champ de courant-vorticité, [2]. La tâche à effectuer s'organise essentiellement autour des étapes suivantes :

• La formulation w-Y et un premier schéma de discrtétisation d'ordre 2 du problème. Validation du code avec des résultats de la littérature [1,3].
• Schéma d'ordre 4 [4]. Etude et mise en uvre.

Les simulations seront réalisées à l'aide de MATLAB.

Références:

[1] F. Pascal, thèse de l'Université Paris XI, Orsay, 1992.
[2] R. Peyret and R. Taylor, Computational Methods for Fluid Flow, Springer Series in Computational Physics (Springer, New-York, 1983).
[3] J. Shen, Hopf bifurcation of the unsteady regularized driven cavity flow, J. Comp. Phys. Vol. 95, 228-245 (1991).
[4] C. Wang, J-G Liu, Analysis of finite difference schemes for unsteady Navier-Stokes equations in vorticity formulation. Numer. Math. 91 (2002), no. 3, 543-576.

Franck Wielonsky, wielonsk@athena.univ-lille1.fr, (33) 03 20 43 45 62
Bureau 110B, Labo. Math. Applis, UFR Math, Batiment M3
Universite des sciences de Lille
59655 Villeneuve d'Ascq CEDEX, FRANCE

Résumé : Cet article étudie les approximants de Padé en l'infini de fonctions de Markov

Résumé : Les auteurs de cet article infirment une conjecture de Baker et Graves-Morris concernant une version du théorème de Montessus de Ballore pour les sous-suites d'une ligne fixée dans la table de Padé. Dans le même registre, ils établissent une généralisation de ce théorème pour les fonctions méromorphes ayant au plus m poles dans le plan complexe.
Après s'être attaché à la compréhension de la preuve, on pourra effectuer divers essais numériques pour vérifier ces résultats.

Homogénisation des circuits électriques

Directeur: D. Mercier, Laboratoire MACS, Valenciennes

Thème : Nous considérons des circuits électriques périodiques (période e) contenant des composantes tels que résistances, amplicateurs... Le sujet consiste à étudier l'homogénisation de tels circuits (c'est-à-dire à étudier le modèle obtenu par passage à la limite quand la période e tend vers 0). Ceci conduit généralement à des équations aux dérivées partielles.

De tels problèmes s'inscrivent dans un cadre plus large qu'est l'étude des matériaux intelligents. Ces matériaux sont maintenant en voie de développement dans les industries de transports aérospatial, aéronautique et terrestre.

Le travail à effectuer sera à la fois théorique et numérique:

1. Etude des résultats d'existence concernant les circuits incluant les quatre types d'amplificateurs (voltage-voltage, voltage-courant, courant-voltage et courant-courant)

2. Compléter des programmes MatLab pour le calcul des modèles homogénéisés

3. Traiter quelques exemples numériques concrets de circuits périodiques

Méthodes d'éléments finis nonconformes pour la résolution du problème de Dirichlet

Directeur: S. Nicaise, Laboratoire MACS, Valenciennes

Dans ce travail, nous proposons d'étudier le problème de Dirichlet dans un polygone ou un polyhèdre droit non convexe. Utilisant les résultats de régularié de la solution, on considèrera une méthode d'éléments finis raffinée non conforme en utilisant des éléments finis de Crouzeix-Raviart. Des tests numériques seront effectués en 2D pour montrer l'efficacité du raffinement de maillage.

1truecm

Références:

Th. Apel, S. Nicaise et J. Schöberl, Crouzeix-Raviart type finite elements on anisotropic meshes, Numer. Math., 89, 2001, p. 193-223.

P. G. Ciarlet, The finite element method for elliptic problems, North-Holland, Amsterdam, 1978.

H. El Bouzid et S. Nicaise, Nonconforming finite element methods and singularities in polygonal domains, Advances in Mathematical Sciences and Applications, 7, 1997, p. 935-962.

V. Girault et P.-A. Raviart, Finite element methods for Navier-Stokes equations, Theory and algorithms, Springer Series in Computational Mathematics, 5, Springer, Berlin, 1986.

Singularité des problèmes de transmission 1truecm

Directeurs: A. Maghnouji et S. Nicaise, Laboratoire MACS, Valenciennes

1truecm

Dans ce travail, nous proposons d'étudier le problème de Dirichlet pour un problème dit de transmission dans un polygone. Ce problème correspond au cas où le domaine est constitué de différents matériaux. Des résultats de régularité de la solution seront démontrés et des calculs numériques d'exposants singuliers seront effectués.

1truecm

Références:

S. Nicaise, Polygonal interface problems, Methoden und Verfahren Math. Physik, 39, Peter Lang Verlag, 1993.

S. Nicaise et A. M. Sandig, General interface problems I, Mathematical Methods in the Applied Sciences, 17, 1994, p. 395-429.

D. Mercier, Problèmes de transmission sur des réseaux polygonaux pour des systèmes d'EDP Annales de la Fac. Sc. Toulouse, 10, 2001, p. 107-162.

Singularité des problèmes de transmission 1truecm

Directeurs: A. BOUHAMIDI and A. SALAM , Laboratoire de Mathématiques Pures et Appliquées, Université du Littoral-Côte d'Opale, C.U. de la Mi-Voix, 50 rue F. Buisson, B.P. 699, 62228 Calais, Cedex, France.
Ahmed.Salam@lmpa.univ-littoral.fr, A.Bouhamidi@lmpa.univ-littoral.fr

Il s'agit de faire la synthèse d'un certain nombre de travaux récents, sur les splines cubiques de classe C² sous tension, principalement le travail de M. Shrivastava et J. Joseph.

Mots clés: Interpolation, spline rationnelle, paramètres de tension, monotonie, convexité.

Références:

M. Shrivastava and J. Joseph, C²-rational cubic spline involving tension parameters, Proc. Indian Acad. Sci. (Math. Sci.) Vol. 110, N°. 3, August 2000, pp. 305-314.

R. Delbourgo and J. A. Gregory, Shape preserving piecewise rational interpolation, SIAM J. Sci. Stat. Comput. 6 (1985) 967-975.

DEA MA ULCO, USTL et UVHC 2002/2003

1. Théorie qualitative des équations paraboliques sous des conditions au bord dynamiques, d'après J. von Below et C. De Coster, A qualitative theory for parabolic problems under dynamical boundary conditions, Journal of Inequalities and Applications 5 (2000) 467-486.

   
   

2. Méthodes des différences finies pour les équations paraboliques, d'après J. W. Thomas, Numerical PDE Chap. 4 pp. 147-203, L. Collatz, The numercial treatment of PDE 1960, Th. Meis & P. Markowitch Numercial solution of PDE e.a.

   
   

3. Le laplacien sur un réseau topologique, d'après J. von Below, A characteristic equation associated to an eigenvalue problem on c²-networks, Linear Algebra and its applications, 71 (1985) 309-325, e.a.

   
   

4. Problèmes paraboliques périodiques, d'après Peter Hess, Periodic-parabolic boundary value problems and positivity, Pitman Research Notes in Mathematics Series, 247 (1991) Longman Publ.

Bernhard Beckermann
Laboratoire Mathématiques Appliquées (ANO), Université de Lille 1
Bâtiment M3, 1er étage, bureau 110b
Bernhard.Beckermann@univ-lille1.fr

Dans l'estimation d'erreur d'une méthode itérative en algèbre linéaire numérique (comme par exemple la méthode du gradient conjugué), on est amené à chercher pour un nombre naturel n un polynôme P_n qui soit de valeur 1 en zéro et le plus petit possible sur un ensemble continu ou discret S. Ici S peut être par exemple le spectre de la matrice du gradient conjugué. Après transformation, on est amené à minimiser || xⁿ - Q ||_w,S avec Q de degré au plus n-1, et || f ||_w,S = sup{ |w(x) f(x)| : x Î S }, w étant continue et ¹ 0 dans l'envelope convexe de S.

Dans une première étape, on étudiera le théorème de Chebyshev disant qu'il existe un unique polynôme minimal Q caractérisé par une alternante [1]. Ensuite on appliquera ce théorème au gradient conjugué [2,3], en tenant également compte des transformations polynômiales [4]. Les estimations d'erreur seront validés par Matlab, en discutant des systèmes d'équations linéaires provenant de la discrétisation du problème de Poisson par la méthode des differences finis. En particulier on peut envisager d'étudier le cas Du = f avec un second membre rationnel.

Bibliographie :
[1] G. Meinardus, Approximation of functions: Theory and numerical methods, Springer (1967).
[2] Y. Saad, Iterative methods for sparse linear systems, PWS Publishing, Boston, MA (1996).
[3] A. Greenbaum, Comparisions of splittings used with the conjugate gradient algorithm, Numer. Math. 33 (1979), pp. 181-194.
[4] B. Fischer, F. Pehersdorfer, Chebyshev Approximation via polynomial mappings and the convergence behavior of Krylov subspace methods, ETNA 12 (2001) 205-215.

En algèbre linéaire, on dispose souvent d'une suite de matrices (par variation d'un paramètre de discretisation) ayant un spectre asymptotique commun. On cherche à approcher le spectre d'une telle matrice d'ordre N par les zéros du nième polynôme orthogonal associé (avec mesure d'orthogonalité a N points). Pour n,N ® ¥, n/N® t Î (0,1), des résultats de convergence ont été proposés dans [1]. On compara ces résultats avec la convergence des zéros des polynômes extremaux par rapport à une norme Hölderienne [2], et présentera des résultats numériques (Matlab).

Bibliographie :
[1] A.B.J. Kuijlaars, Which eigenvalues are found by the Lanczos method? SIAM J. Matrix Anal. Appl. 22 (2000), 306-321.
[2] P.D. Dragnev and E.B. Saff, Constrained energy problems with applications to orthogonal polynomials of a discrete variable, J. d'Analyse Math. 72 (1997), pp. 223-259.

1. Titre : Sur le rôle des coniques en modélisation géométrique

   Directeurs : Gudrun Albrecht et Olivier Gibaru

   Il s'agit d'abord de représenter les coniques en forme rationnelle de Bézier et d'étudier les propriétés de cette représentation. Ensuite, ces segments de coniques sont à utiliser pour des applications pratiques comme la construction de splines géométriques et l'approximation de la courbe parallèle ou ``offset''. Les résultats théoriques obtenus peuvent être illustrés au moyen d'une implémentation MATLAB ou MATHEMATICA / MAPLE.

   Références :

   • G. Farin, Curvature Continuity and Offsets for Piecewise Conics, ACM Transactions on Graphics, Vol. 8, No. 2, April 1989, 89 - 99.

   • G. Farin, Curves and Surfaces for Computer Aided Geometric Design, A Practical Guide, Academic Press, Boston, 1990, 213 - 230.

   • G. Farin, NURBS from Projective Geometry to Practical Use, AK Peters, 1999, 43 - 105.

2. Titre : Courbes ``PH'' pour le contrôle de machines à commande numérique

   Directeurs : Gudrun Albrecht et Olivier Gibaru

   Il s'agit d'étudier une classe de courbes polynomiales paramétrées particulièrement bien adaptées pour controler des machines à commande numérique. Ces courbes ``pythagorean-hodograph'' permettent une représentation polynomiale de la norme de la dérivée première, elles possèdent donc des courbes parallèles ou courbes ``offset'' rationnelles. Les résultats théoriques obtenus peuvent être illustrés au moyen d'une implémentation MATLAB ou MATHEMATICA / MAPLE.

   Références :

   • R.T. Farouki, Pythagorean-hodograph curves in practical use, Geometry Processing for Design and Manufacturing, R.E. Barnhill, ed., SIAM, Philadelphia, 1992, 3 - 33.

   • R.T. Farouki, Pythagorean-hodographs, IBM Journal of Research and Development, 34, 1990.

3. Titre : Courbes et surfaces rationnelles en forme B-Spline

   Directeurs : Gudrun Albrecht et Olivier Gibaru

   Il s'agit d'étudier la représentation rationnelle de courbes en utilisant les fonctions B-Spline et de comparer cette nouvelle représentation à la représentation polynomiale connue. Les résultats obtenus pour les courbes peuvent ensuite être généralisés aux surfaces. Les résultats théoriques obtenus peuvent être illustrés au moyen d'une implémentation MATLAB ou MATHEMATICA / MAPLE.

   Références :

   • L. Piegl, W. Tiller, Curve and surface construction using rational B-Splines, Computer-Aided Design 19, 9, 1987, 485 - 498.

   • G. Farin, Curves and Surfaces for Computer Aided Geometric Design, A Practical Guide, Academic Press, Boston, 1990, 213 - 230.

   • G. Farin, NURBS from Projective Geometry to Practical Use, AK Peters, 1999, 43 - 105.

4. Titre : Splines géométriques

   Directeurs : Gudrun Albrecht et Olivier Gibaru

   Il s'agit d'étudier des courbes cubiques par morceaux, continues en courbure. Des représentations en forme Bézier et B-Spline de ces courbes sont à déterminer. Les résultats théoriques obtenus peuvent être illustrés au moyen d'une implémentation MATLAB ou MATHEMATICA / MAPLE.

   Références :

   • W. Boehm, Curvature continuous curves and surfaces, Computer Aided Geometric Design 2, 1985, 313 - 323.

   • G. Farin, Visually C² cubic splines, Computer-Aided Design 14, 1982, 137 - 139.

   • G. Farin, Some remarks on V²-splines, Computer Aided Geometric Design 2, 1985, 325 - 328.

Le but de ce mémoire est d'étudier un modèle stochastique (appelé modèle de Black, Scholes et Merton) qui provient de la finance. Ce modèle utilise les notions de martingales, mouvement brownien et les équations différentielles stochastiques. Ce modèle fait le lien entre la théorie des options et celle du portefeuille, et conduit aux régles modernes d'évaluation et de couverture des produits dérivés.

Le document à étudier est le suivant:

N. Elkaroui, Modèles stochastiques en finance, Ecole Polytechnique, Edition 2000.

Titre. L'énergie d'un système de particules collantes.

Coordonnées du directeur. Mikhail Lifchits, P.A.S.T. à Lille et professeur de l'université de St-Petersbourg, Russie.

e-mail:  lifshits@lps.univ-lille1.fr, lifts@mail.rcom.ru.

Résumé de la tâche. Etudier des propriétés de modèle uni-dimensionnel d'un système stochastique de particules collantes. Faire une modélisation d'un tel système. Etudier les propriétés d'énergie cinétique de système. Essayer de démontrer la loi des grands nombres pour l'énergie à temps fixé.

• P.A.Martin, J.Piasecki.  Aggregation dynamics in a self-gravitating one-dimensional gas. J.Stat.Phys. (1996) 84, 837-857.

• J.C.Bonvin, P.A.Martin, J.Piasecki, X.Zotos.   Statistics of mass aggregation in a self-gravitating one-dimensional gas. J.Stat.Phys. (1998) 91, 177-197.

• M.A.Lifshits, Z.Shi.  Analysis of a system of self-attracting particles. Notes de cours. (2002) 20 p.

• T.Suidan.   A one-dimensional gravitationally interacting gas and the convex minorant of Brownian motion. Russian Math. Surveys 56 (2001), no. 4, 687-708.

Les modèles Markov cachés et les automates probabilistes

Sujet proposé pour un mémoire de DEA
par Régis Beuscart et par Hoang Ngoc Minh
STIC & Santé, Faculté de médecine, Université Lille 2

Description du sujet

Les modèles Markov cachés (Hidden Markov Modèle ou HHMs) ont été introduits par Baum et al.. Ils sont utilisés pour modéliser des séquences d'observations (reconnaissance de textes manuscrits, l'analyse des séquences biologiques, la génération de séquences de test pour circuit microélectronique, ...). Ils peuvent être utilisés également pour l'extraction d'informations à partir des données de masse des micro-arrays (i.e. les puces à ADN). Ces dernières permettent l'analyse simultanée de plusieurs milliers de gènes dans un échantillon biologique sain ou tumoral, aussi bien au niveau de son génome que dans son transcriptome.

Chaque HMM peut être simulé par un automate probabiliste (AP) défini par une structure composée d'états et de transitions, et par un ensemble de distributions de probabilité sur les transitions. A chaque transition est associé un symbole d'un alphabet fini.

L'objectif est d'étudier les principaux algorithmes des HMMs en tant que APs.

Bibliographie:

L.E. Baum, T. Petrie, G. Soules, N. Weiss. A maximization technique occuring in statistical analysis of probabilistic function in Markov chains.

R. Durbin, S. Eddy, A. Krog, G. Mitchison. Biological sequence analysis.

D. Freitag, A. McCallum. Information Extraction with HMM and Shrinkage.

K. Seymore, A. McCallum, R. Rosenfeld. Learning hidden Markov model structure for Information Extraction.

Elias OULD-SAID (ULCO)

ESTIMATION DE LA DENSITE ET DE LA FONCTION DE REPARTITION DE L'ERREUR DANS UN MODELE DE REGRESSION NON LINEAIRE

Resume: Le but du mémoire est l'étude détaillée d'un article paru en novembre 2002.
Il s'agit de résultats de convergence uniforme presque sure et en probabilité ainsi que la convergence L₁ de l'estimateur à noyau de la densité g_e de l'aléa e dans un modèle de régression non linéaire Y = m(X)+e où m(.) est la fonction de régression. De même, la convergence ( avec des vitesses) de l'estimateur empirique de la fonction de répartition G_e(x) = P[e £ x] ont été établi.

Des simulations pour illustrer (et confirmer) ces résultats sont à faire.

Références:
1) F. CHENG (2002) Consistency of error density and d.f. estimator in nonparametric regression. Statist. Probab. Letters, 59, 257-270.
2)M.V. Boldin (1982) Estimation of distribution of noise in an autoregression scheme. Theory Probab. Appl., 27, 866-871.

Jean-Louis Bon
Laboratoire Mathématiques Appliquées (StatProba), Université de Lille 1

Méthodes d'accélération de simulation pour des modèles markoviens raides

Dans le cas des modèles markoviens de fiabilité, les méthodes analytiques classiques montrent vite leur limite. Il est possible d'utiliser des approximations de type exponentiel ou des méthodes de type Monte-Carlo. Mais dans le cas des systèmes hautement réparables la probabilité de défaillance est trés faible et la simulation exige beaucoup trop de temps machine. Des méthodes d'accélération (en particulier : importance sampling method) peuvent améliorer la simulation de ces événements rares. Il s'agit de faire un rapide tour d'horizon de ces méthodes d'accélération et d'envisager son application dans le domaine des systèmes hautement fiables.

La base de travail peut se trouver dans le chapitre ßimulation" du livre de Kovalenko, Kuznetsov, Pegg de 1997 (Wiley) mais aussi dans les Proceedings du congres "Probabilistic Analysis of Rare Events" de 1999 à Riga. D'autres références seront fournies en fonction de l'évolution du travail.

Ce mémoire doit servir de base pour des applications industrielles concrètes dans le domaine de la sureté nucléaire

Dans le cadre d'un projet européen, l'équipe MIIRE (Multimédia, Images, Indexation et REconnaissance) de l'ENIC-Telecom Lille 1 s'intéresse au filtrage des images de l'Internet.

L'objet de ce stage est de réaliser un filtre qui prend en entrée une image provenant de l'Internet et indique en sortie s'il s'agit d'une image naturelle ou d'une image de synthèse. L'extrême diversité des images issues de l'Internet rend cette tâche difficile.

L'équipe MIIRE dispose de grands catalogues d'images. Dans un premier temps l'étudiant définira les jeux de données pertinents pour son travail. Dans un second temps, l'étudiant devra proposer des attributs de l'image pouvant différentier les images naturelles des images de synthèse. Les images naturelles contiennent beaucoup d'information. L'entropie de l'image pourrait constituer un tel attribut. Les études récentes sur les caractéristiques fines des images naturelles [1],[2],[3] pourront aussi servir à identifier des attributs pertinents. Dans un troisième temps, l'étudiant proposera une famille d'algorithmes de classification. Les méthodes de maximum d'entropie sur la moyenne pourront être utiles pour combiner plusieurs attributs. Les algorithmes proposés seront ensuite étudiés d'une part en évaluant leur performances sur des jeux de données vierges et dautre part en examinant autant que cela est possible leur performances asymptotiques.

Le stage se déroulera au sein de l'équipe MIIRE, à l'ENIC-Telecom Lille 1 sur le campus de l'USTL.

[1] Natural Image Statistics and Efficient Coding Olshausen BA, Field DJ (1996). Presented at the Workshop on Information Theory and the Brain, September 4-5, 1995, University of Stirling, Scotland. Published in Network, 7: 333-339.

[2] Invariant Statistics and Coding of Natural Microimages D. Geman and A. Koloydenko, Proceedings of the IEEE Workshop on Statistical and Computational Theories of Vision, Fort Collins, CO, June 1999.

[3] Natural image statistics for computer graphics Erik Reinhard, Peter Shirley and Tom Troscianko UUCS-01-002 School of Computing University of Utah Salt Lake City, January 2002