Non-unicité pour les équations différentielles rugueuses avec réflexion

Orateur: 
Paul Gassiat
Affiliation: 
Université Paris Dauphine
Dates: 
Mercredi, 13 Janvier, 2021 - 10:30 - 11:30
Résumé: 
La solution d'une EDS réfléchie est un processus contraint à rester dans un domaine D de l'espace. Quand le signal sous-jacent à l'équation est une semi-martingale, le caractère bien posé de ces équations est bien connu depuis les années 80. Plus récemment, la théorie des trajectoires rugueuses de Lyons permet de définir des intégrales (le long de signaux irréguliers) de façon très robuste, ce qui permet d'avoir une notion de solution pour des EDS allant bien au-delà du cadre des semi-martingales. Une question naturelle est de savoir si ces méthodes peuvent s'appliquer aux équations avec réflexion. Des résultats d'existence assez généraux ont été prouvés par Aida mais l'unicité est seulement connue dans des cas particuliers (si le bruit est assez régulier, ou dans un cadre uni-dimensionnel).  
Dans cet exposé, je présenterai un contre-exemple qui montre qu'en général une équation avec réflexion multi-dimensionnelle peut avoir de multiples solutions si le signal sous-jacent est assez irrégulier. Dans le cadre de cet exemple, je présenterai un critère précis sur les modules de continuité pour lesquels l'unicité a lieu, et je discuterai également le cas du mouvement brownien fractionnaire.