La matrice de Hilbert, et après

Leçons d'analyse

Lieu: 
M3 - salle Duhem
Orateur: 
Hervé Queffelec
Dates: 
Mardi, 10 Mars, 2020 - 15:30 - 17:00
Résumé: 
Cet exposé commencera par de « l'histoire des maths ». Au début du vingtième siècle, D. Hilbert, qui a quarante ans, donne le premier exemple de forme quadratique (ou matrice infinie) $$ Q(x)=\sum_{j,k\geq 1} a_{j,k} x_j x_k $$ bornée mais à coefficients de carré non-sommable : $$ |Q(x)|\leq C\sum_{j}x_{j}^{2} \quad\text{ mais }\sum_{j,k}|a_{j,k}|^2=\infty. $$ Hilbert prend $$ a_{j,k}=\frac{1}{j+k} \text{ et obtient } C=2\pi $$ (il obtient en réalité $C=\pi$ !!).
Son travail (publié dans la thèse de H.Weyl) est suivi par une importante contribution de Schur (1914), qui prouve entre autres l'optimalité de la constante $C=\pi$.
Ce « vulgaire exemple » se révélera étonnamment central, et la preuve de Hilbert étonnamment moderne.

Dans une seconde partie, plus mathématique, on donnera au moins trois preuves de l'inégalité de Hilbert (il en existe maintenant des dizaines, comme pour la loi de réciprocité quadratique), dont la preuve initiale avec sa pseudo-coquille.
Puis on parlera de la postérité, étonnante, avec les opérateurs de Hankel, l'inégalité du grand crible, etc., et d'une d'actualité encore plus « brûlante », avec la nouvelle matrice de Hilbert multiplicative.