Collège de France, Cours Peccot de M. Najib Idrissi (thèse au Laboratoire Painlevé en 2017)

Najib Idrissi, ancien doctorant de l'Université de Lille, est lauréat du cours Peccot 2019-2020 du Collège de France pour son travail de thèse réalisé en 2017 au Laboratoire Painlevé. Le cours Peccot récompense chaque année des mathématiciens de moins de trente ans s'étant signalés par des travaux prometteurs.

Les recherches de Najib Idrissi se situent dans le domaine de la topologie, la branche des mathématiques qui étudie les propriétés d'objets géométriques préservées par déformation continue. Le sujet de sa thèse est la topologie des espaces de configuration. Les espaces de configuration considérés en mathématiques décrivent les positions que peuvent occuper des collections de points dans un espace ambiant donné.

La figure suivante présente ainsi une « configuration » de 4 points (nommés $P_1$, $P_2$, $P_3$, $P_4$) sur une surface.

En général, on suppose seulement que les points d’une configuration occupent des positions différentes dans l’espace ambiant. L’espace de configuration de $k$ points associé à un espace ambiant donné $M$ (où $k = 2, 3, \ldots$) va ainsi décrire l’ensemble des positionnements de $k$ points $P_1$ $P_2$ … $P_k$ dans $M$ de telle sorte que l’on ait la condition $P_i\not=P_j$ pour tout couple d’indices $i\not=j$.

Etudier la topologie des espaces de configuration signifie étudier des propriétés globales, préservées par déformation continue, de ces espaces. Le problème fondamental qui se pose mathématiquement est de comprendre comment la topologie de l’espace ambiant détermine la topologie d’un espace de configuration. Les espaces de configuration associés à des espaces ambiants équivalents par déformation continue sont-ils eux-mêmes équivalents par déformation continue (comme l’illustre la figure ci-dessous dans le cas d’une déformation d’un tore) ?

Il s’agit de trouver une notion de déformation continue « admissible » qui permet d’assurer cette propriété d’invariance topologique en étant la plus générale possible.

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Pour commencer, on peut étudier le cas des surfaces, qui du point de vue topologique, sont classifiées par leur genre (leur nombre de trous):

Des surfaces sont équivalentes à déformation continue près si et seulement si elles ont même genre.

Le résultat de classification va en fait plus loin. Il montre qu’en dimension 2, si on a des surfaces équivalentes à déformation continue près, alors on peut envoyer l’une sur l’autre par une transformation continue inversible (on parle de propriété d’homéomorphisme).

Pour illustrer cette propriété, on peut considérer le cas simple d’un disque $D_1$ de rayon $1$, que l’on peut déformer continument (en le comprimant progressivement) sur un disque $D_2$ de rayon $1/2$ (voir figure ci-dessous).

Le changement d’échelle de facteur $1/2$ définit une transformation continue qui envoie le disque $D_1$ sur le disque $D_2$. Le changement d’échelle de facteur 2 définit une transformation continue qui envoie $D_2$ sur $D_1$ et qui est inverse de la précédente: si on applique le changement d’échelle de facteur $1/2$ à un point $P_1$ de $D_1$, on obtient un point $P_2$ de $D_2$; si on applique le changement d’échelle de facteur $2$ à $P_2$, alors on revient au point $P_1$ de départ, et vice versa si on applique nos opérations de changement d’échelle dans l’ordre inverse.

Un homéomorphisme peut effectuer des opérations plus compliquées qu’un simple changement d’échelle. En général, la seule condition que l’on impose à une transformation d’homéomorphisme est d’être une opération inversible, avec une opération inverse continue.

La notion d’homéomorphisme est la notion d’équivalence la plus forte que l’on peut considérer en topologie: des espaces homéomorphes, considérés abstraitement, ont des topologies indiscernables.

Il est possible d’appliquer une transformation d’homéomorphisme de l’espace ambiant au niveau des configurations (comme dans la figure de tore déformé de la section précédente) sans mettre en défaut la contrainte que les points doivent garder des positions différentes dans une configuration, car une transformation d’homéomorphisme définit nécessairement une correspondance bijective (un-pour-un) entre les points de nos espaces.

Il s’ensuit que les espaces de configurations associés à des surfaces topologiquement équivalentes sont eux-mêmes homéomorphes, et sont donc topologiquement équivalents. Dans le cas de la dimension 2, ceci résout complètement notre problème, mais qu’en est-il en dimension plus supérieure, pour la notion de variété qui est la généralisation abstraite de la notion de surface ?

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La notion d’équivalence à déformation continue près la plus générale que l’on considère en topologie est la notion d’équivalence d’homotopie, qui est moins rigide que la notion d’homéomorphisme, mais il est plus simple de classifier des espaces à équivalence d’homotopie près.

Pour donner une idée de ce concept, on peut revenir à l’exemple des déformations continues du disque considéré dans la section précédente. En poursuivant le processus d’écrasement du disque $D_1$ jusqu’à sa limite, on aboutit à un disque de rayon nul $D_0$, donc réduit au point $O$ de notre figure. La transformation qui envoie tout le disque $D_1$ sur le point $O$ est un exemple d’équivalence d’homotopie (on passe de la transformation identique du disque à cette opération par une famille continue de transformations, les changements d’échelle de facteur $t$, pour un paramètre $t$ qui varie continument de $1$ à $0$), mais cette équivalence d’homotopie n’est pas un homéomorphisme (ainsi elle ne définit pas une correspondance bijective entre les points de nos espaces puisqu’elle envoie tous les points de $D_1$ sur le même point $O$). Le disque $D_1$ est donc homotopiquement équivalent (mais pas homéomorphe) au point $O$.

En dimension 2, il résulte de la classification que des surfaces homotopiquement équivalentes sont homéomorphes. En dimension 3, le résultat célèbre de la conjecture de Poincaré (démontrée par Grigori Perelman) montre que toute variété homotopiquement équivalente à la sphère est homéomorphe à la sphère. Néanmoins on peut trouver des exemples de variétés de dimension 3 (et plus grande) qui, à la différence des surfaces, sont homotopiquement équivalentes sans être homéomorphes. De tels exemples sont fournis par les espaces lenticulaires, des variétés construites à partir de la boule de dimension 3 par des recollements sur le bord de la boule (voir figure en annexe).

Les équivalences d’homotopie ne préservent pas les configurations en général (à la différence des homéomorphismes). L’exemple du disque $D_1$ homotopiquement équivalent au point $O$ permet de montrer les difficultés qui se posent de façon immédiate. Il n’est évidemment pas possible de placer deux points à des positions différentes sur un espace réduit à un seul point $O$. L’espace de configuration de deux points sur $O$ est donc vide, tandis que l’espace de configurations de deux points sur le disque $D_1$ n’est pas vide. Il s’ensuit que les espaces de configurations de deux points sur $D_1$ et $O$ ne sont pas homotopiquement équivalents (on ne peut pas passer continument d’un espace non-vide à un espace vide) bien que les espaces $D_1$ et $O$ soient eux-mêmes homotopiquement équivalents.

Néanmoins, on peut se poser la question suivante, qui est optimiste, mais qui dans l’affirmative montre que les espaces de configurations satisfont une propriété d’invariance topologique la meilleure que l’on puisse espérer :

Est-ce que les espaces de configuration sur des variétés de dimension fixée égale homotopiquement équivalentes sont eux-mêmes homotopiquement équivalents? Si cette propriété est satisfaite, alors on dit que les espaces de configuration sont des invariants du type d’homotopie des variétés.

Hélas Ricardo Longoni (de l’Université la Sapienza de Rome) et Paolo Salvatore (de l’Université de Rome Tor Vergata) ont montré que des exemples d’espaces de configurations de deux points sur des espaces lenticulaires fournissaient une réponse négative à cette question en dimension 3. L’exemple du disque montre aussi qu’il est nécessaire de considérer des variétés de dimension fixée égale pour avoir cette propriété d’invariance homotopique.

L’une des particularités des espaces lenticulaires est qu’ils ne forment pas des variétés simplement connexes – une variété est simplement connexe lorsque toute courbe fermée tracée sur la variété peut se déformer continument en un point (en restant sur la variété).

Dans le cas des surfaces (et aussi des variétés de dimension 3 d’après la conjecture de Poincaré), seule la sphère est simplement connexe. Tout autre type de surface contient des courbes fermées qui ne peuvent se déformer continument en un point sans quitter la surface, comme la courbe en rouge dans la figure du tore ci-dessous.

La simple connexité est une hypothèse classique que l’on a souvent besoin de supposer vérifiée en théorie de l’homotopie. Il est donc naturel d’intégrer cette hypothèse dans notre question :

Est-ce que la propriété d’invariance homotopique des espaces de configuration reste vraie en toute dimension quand on se restreint à des variétés simplement connexes?

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Pour aborder ce type de problème, on dispose des outils de la topologie algébrique : l’idée est de classifier les structures topologiques en leur associant des structures algébriques (c'est-à-dire définies en termes de nombres, d'équations linéaires, polynomiales, ...), et que l’on appelle des invariants. Par exemple, en associant à une surface (topologique) son genre/nombre de trous (un nombre entier), on utilise une construction de topologie algébrique élémentaire.

Les travaux de Najib Idrissi se placent dans le cadre de la théorie de l’homotopie réelle.

Les structures algébriques que l’on considère ont généralement des éléments paramétrés par des coefficients numériques. Dans certains cas, des structures algébriques peuvent être définies avec des coefficients pris dans l’ensemble de tous les nombres réels. Ce sont les invariants topologiques associés à de telles structures algébriques, les invariants à coefficients réels de la topologie, qui définissent la théorie de l’homotopie réelle : on se concentre sur l’information détectée par ces invariants. On dit ainsi que des espaces ont même type d’homotopie réel s’ils sont reliés par des transformations continues (qui ne sont pas nécessairement des équivalences d’homotopie mais) qui préservent tous les invariants à coefficients réels. La théorie de l’homotopie réelle est plus simple que la théorie de l’homotopie « entière » basique, car elle permet de négliger des phénomènes de torsion qui sont très techniques à étudier. Lorsque l’on travaille avec des variétés, on peut aussi exprimer les invariants à coefficients réels de la topologie algébrique au moyen des outils du calcul différentiel. On dispose ainsi d’une approche pour déterminer le type d’homotopie réel des variétés.

Dans sa thèse, Najib Idrissi a démontré qu'un modèle algébrique (relativement simple) permettait de reconstituer le type d'homotopie réel des espaces de configuration associés à des variétés simplement connexes.

Il s’agit d’une problématique générale de la théorie de l’homotopie réelle : fournir un modèle algébrique simple qui permet de déterminer le type d’homotopie réel d’un espace donné. Mathématiquement, le modèle des espaces de configuration obtenu par Najib Idrissi est déterminé par un modèle de la variété de départ, défini en termes d’invariants de calcul différentiel, auquel on adjoint des produits de formes différentielles $\Omega_{i j}$ qui modélisent le phénomène où des couples de points $P_i P_j$ s’approchent indéfiniment dans une configuration $P_1$ $P_2$ ... $P_k$.

Les résultats obtenus par Najib Idrissi dans sa thèse (ainsi que des résultats obtenus par d’autres auteurs, Ricardo Campos et Thomas Willwacher à l’Ecole Polytechnique Fédérale de Zürich) montrent que les espaces de configuration sont des invariants du type d'homotopie réel pour les variétés simplement connexes, question qui reste ouverte pour le type d’homotopie entier.

Références:

  1. R. Campos et T. Willwacher : A model for configuration spaces of points. Prépublication arXiv:1604.02043 (2016).
  2. R. Campos, N. Idrissi, P. Lambrechts et T. Willwacher : Configuration spaces of manifolds with boundary. Prépublication arXiv:1802.00716 (2016).
  3. N. Idrissi : The Lambrechts-Stanley model of configuration spaces. Invent. Math. 216 (2019), no. 1, 1-68.
  4. R. Longoni et P. Salvatore : Configuration spaces are not homotopy invariant. Topology 44 (2005), no. 2, 375-380.

Lien vers la page du cours sur le site du Collège de France : http://www.college-de-france.fr/site/cours-peccot/

Annexe. L’exemple des espaces lenticulaires

La figure ci-contre donne la visualisation d’une construction de l’espace lenticulaire « L(5,1) ».

En général, l’espace lenticulaire $L(p,q)$ s’obtient en recollant des triangles sphériques sur le bord d’une boule de dimension 3. On place $p$ points équidistants $M_0$ $M_1$ … $M_{p-1}$ sur l’équateur de la sphère bordant la boule ($p=5$ dans notre exemple). On note aussi par convention $M_{p+i}=M_i$ (le point $M_{p+i}$ correspond à $M_i$ après une rotation d’un tour de la sphère). On découpe chaque hémisphère en $p$ triangles sphériques $P M_i M_{i+1}$ où $P$ est le pôle (le pôle Nord $P=N$ pour l’hémisphère supérieur, le pôle Sud $P=S$ pour l’hémisphère inférieur). Ensuite on recolle abstraitement chaque triangle de l’hémisphère supérieur $N M_i M_{i+1}$ sur le triangle de l’hémisphère inférieur qui lui correspond par une rotation de q/p tour, soit sur le triangle $S M_{q+i} M_{q+i+1}$. (On envoie le pôle Nord $N$ sur le pôle Sud $S$, le sommet $M_i$ sur le point $M_{q+i}$ et le sommet $M_{i+1}$ sur le point $M_{q+i+1}$.) On a matérialisé cette correspondance par des identités de couleurs dans les triangles de la figure. (Le triangle vert $P M_0 M_1$ par exemple est recollé sur le triangle $S M_1 M_2$.)

Cette opération de recollement revient à identifier les points de l’hémisphère supérieur aux points de l’hémisphère inférieur de latitude opposée et de longitude décalée de $q/p$ x 360°. Par exemple, dans le cas de notre figure, on applique un décalage de 1/5 x 360° = 72° et on identifie ainsi le point $P$ dans le triangle vert de l’hémisphère supérieur au point P’ de l’hémisphère inférieur.

L’espace lenticulaire est une variété fermée sans bord: par exemple dans notre figure, un point qui quitte l’intérieur de la boule par le triangle vert de l’hémisphère supérieur re-rentre dans la boule par le triangle vert correspondant de l’hémisphère inférieur (comme dans le jeu « Pacman », sauf que l’on se trouve dans un espace de dimension 3 au lieu de 2 pour le jeu de « Pacman » classique).

Les espaces lenticulaires ne sont pas simplement connexes en général : dans notre exemple, on peut prouver que la courbe fermée qui part du centre de la boule $O$ en ligne droite vers le point $P$, re-rentre dans la boule en $P’$ et revient au centre $O$ en ligne droite, ne peut se déformer continument en un point dans l’espace lenticulaire (cette courbe est tracée en pointillés rouges sur la figure).

Les espaces lenticulaires $L(7,1)$ et $L(7,2)$ sont des exemples de variétés homotopiquement équivalentes mais pas homéomorphes. Longoni et Salvatore ont montré que les espaces de configurations de deux points sur ces espaces ne sont pas homotopiquement équivalents eux-mêmes.