Laboratoire Paul Painlevé (UMR - CNRS/USTL 8524)


Aspects analytiques et algébriques des équations différentielles et fonctionnelles.   Liens avec Galois classique et arithmétique


16 - 18 Juin 2010, Lille
Organisateurs : Elie Compoint,   Stéphane Malek,   Changgui Zhang

Ceci est la suite de notre dernier colloque
organisé en 2004 par Anne Duval et Changgui Zhang et
c'est aussi une occasion de rendre hommage à notre collègue Anne lors de son départ à la retraite.

Le colloque est co-financé par :
Laboratoire Paul Painlevé, UMR CNRS 8524, USTL
ANR DIOPHANTE (L. Di Vizio)
GDR RTN (L. Habsieger)


Programme


Les conférences ont lieu dans la salle de Réunion, 1er étage du bâtiment M2

Mercredi 16 Juin

13h30 - 14h30 : Accueil, Café

14h30 - 15h30 : J.-P. Ramis .

15h30 - 16h15 : B. Braaksma On the Stokes phenomenon in a nonlinear system of ODE's.

16h15 - 16h45 : Pause café

16h45 - 17h30 : R. Schaefke Etude d'une famille de difféomorphismes tangents à l'identité dépendant d'un grand paramètre.
Jeudi 17 Juin

9h00 - 9h45 : L. Di Vizio Arithmétique des groupes de Galois génériques des équations aux q-différences.

9h50 - 10h20 : Ch. Hardouin Caractérisation arithmétique des D-groupoides d'équations aux q-différences linéaires.

10h20 - 11h00 : Pause café

11h00 - 11h30 : J. Roques Monodromie q-hypergéométrique.

11h35 - 12h20 : J. Sauloy Problème inverse en théorie de Galois locale des équations aux q-différences.

12h30 - 14h30 : Pause déjeuner

14h45 - 15h30 : G. Immink On the summation of formal solutions of nonlinear difference equations (results and loose ends).

15h30 - 15h45 : Pause café

15h45 - 16h30 : G. Casale .

19h30 - 21h30 : Diner
Vendredi 18 Juin

9h00 - 9h45 : D. Bertrand Application de la théorie de Galois diff\'erentielle \`a la th\'eorie de Galois classique.

9h50 - 10h20 : S. Michalik Summability of formal solutions of inhomogeneous partial differential equations .

10h20 - 11h00 : Pause café

11h00 - 11h30 : A. Sebbar .

11h35 - 12h20 : E. Corel Stable Flags, Bruhat-Tits buildings and the Riemann-Hilbert problem.

12h30 - 14h30 : Pause déjeuner

14h45 - 15h30 : B. Malgrange Théorie de Galois différentiel non-linéaire :quelques exemples.

15h30 - 16h15 : Y. André Fonctions analytiques discrètes, équations aux différences et confluence. Un survol.

16h15 - 17h00 : Pot

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Y. André (ENS Paris, France) : Fonctions analytiques discrètes, équations aux différences et confluence. Un survol


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D. Bertrand (Paris VI, France) : Application de la théorie de Galois diff\'erentielle \`a la th\'eorie de Galois classique
Soient $A$ une vari\'et\'e ab\'elienne sur un corps de fonctions $K$ de type $C(z)$. Le degr\'e de transcendance $\delta_P$ du corps engendr\'e sur $K$ par les logarithmes de $P$ est contr\^ol\'e par la th\'eorie de Galois diff\'erentielle; il a \'et\'e d\'ecrit dans ce cadre par Y. Andr\'e. Le degr\'e (tout court) $d_P$ du corps engendr\'e sur $K$ par les points de division de $P$ fait l'objet de la th\'eorie de Kummer; la m\'ethode \'elabor\'ee par Ribet pour le contr\^oler quand $K$ est un corps de nombres ne s'\'etend pas sans pr\'ecaution au cas fonctionnel. Nous montrerons comment, gr\^ace \`a un th\'eor\`eme de Nori, on peut passer directement de $\delta_P$ \`a $d_P$.

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B.L. Braaksma (Groningen, Pays-Bas) : On the Stokes phenomenon in a nonlinear system of ODE's
We consider a nonlinear system of ODE's with levels 1 and 2. Given a formal power series solution we show that it is (1,2)-summable and that its sum can be analytically continued by means of certain transseries.

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G. Casal (Rennes, France) :


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E. Corel (Paris VI, France) : Stable Flags, Bruhat-Tits buildings and the Riemann-Hilbert problem
We will explain in what measure the geometry of the local Bruhat-Tits building can shed some light on problems involving meromorphic connections, such as the Riemann-Hilbert problem.

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L. Di Vizio (Paris VI, France) : Arithmétique des groupes de Galois génériques des équations aux q-différences
Nous donnons ici une description arithmétique du groupe de Galois générique d'une équation aux q-différences. En particulier, nous exhibons une liste de générateurs liés aux points de "dégénérescence" de la structure galoisienne. Pour les q différences, ces dégénérescences apparaissent lorsque q est une racine de l'unité ie lors des spécialisations de l'équation, modulo p si le paramètre initial q est algébrique ou modulo q=mu_n si q est transcendant. Cette caractérisation est l'analogue pour les q-différences de la conjecture ouverte de Groethendieck-Katz pour les équations différentielles qui prédit que le comportement des solutions de l'équation différentielle L est entièrement déterminé par les réductions de L modulo les nombres premiers. Pour les q-différences, elle permet donc de donner une description par les courbures des groupes de Galois génériques algébriques et différentiels et ainsi de cerner le comportement algébro-différentiel des solutions de l'équation. (Travail en commun avec Ch. Hardouin.)

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Ch. Hardouin (Toulouse, France) : Caractérisation arithmétique des D-groupoides d'équations aux q-différences linéaires
Récemment, A. Granier introduisit la notion de D-groupoide d'une équation aux q-différences linéaires en se basant sur les travaux de B. Malgrange. Lorsque le système aux q-différences initial est à coefficients constants, A. Granier démontre que le D-groupoide a pour solution le groupe de Galois algébrique de la théorie de Picard-Vessiot. Nous appuyant sur la caractérisation arithmétique des groupes de Galois différentiels génériques, nous démontrons que dans le cas non-constant le D-groupoide d'un système aux q-différences est de nature différentielle et a les mêmes solutions que le groupe différentiel générique attaché au système.

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G. Immink (Groningen, Pays-Bas) : On the summation of formal solutions of nonlinear difference equations (results and loose ends)
I'll discuss some results concerning summation of divergent power series solutions of locally analytic difference equations with a level $1^+$. In one case there seems to be room for improvement...

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B. Malgrange (Grenoble, France) : Théorie de Galois différentiel non-linéaire :quelques exemples.
Résumé.Je parlerai de quelques exemples,le plus important étant celui des systèmes hamiltoniens intégrables.L'objet essentiel qui intervient est (en gros),la variation de périodes de l'action.Dans le cas des systèmes algébriquement intégrables;on trouve des groupes différentiels abéliens ,par exemple ,pour le pendule ,l'équation de Painlevé 6-Picard.
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Michalik (Warszawa, Pologne) : Summability of formal solutions of inhomogeneous partial differential equations
We consider the Cauchy problem for inhomogeneous linear partial differential equations in two complex variables with constant coefficients. We obtain necessary and sufficient conditions for the summability of formal solutions in terms of analytic continuation properties and growth estimates of some functions connected with the inhomogeneity and the Cauchy data.

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J.P. Ramis (Toulouse, France) :


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J. Roques (Grenoble, France) : Monodromie q-hypergéométrique
AC.

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J. Sauloy (Toulouse, France) : Problème inverse en théorie de Galois locale des équations aux q-différences
Nous déterminons la structure du groupe de Galois local d'une équation aux q-différences irrégulière à pentes entières et appliquons le résultat au problème inverse. (Travail en commun avec Jean-Pierre Ramis.)

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R. Schaefke (Strasbourg, France) : Etude d'une famille de difféomorphismes tangents à l'identité dépendant d'un grand paramètre
Je parlerai de l'équation aux différences z(x+1) = z(x) + 1 + B/z(x) contenant un grand paramètre B et du comportement de ses invariants d'Ecalle-Voronin par rapport au paramètre. L'exemple et deux des résultats viennent de travaux de Buff, Ecalle, Epstein et Petersen ; le but de l'exposé est d'illustrer l'utilisation de plusieurs techniques développées avec Augustin Fruchard pour ce cas. (Travail en commun avec A. Fruchard.)

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A. Sebbar (Bordeaux, France) :


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