Qu’est-ce que la dérivée Schwarzienne ?

23-24 Novembre 2011, Lille 1

Organisateurs : Laurent Guieu et Barbara Tumpach

Salle de réunion, bâtiment M2

   Affiche schwarz.pdf


Programme du mercredi 23 novembre :

13h30-14h00 : Accueil autour d’un café

                                (bâtiment M2, 1er étage)

14h00-15h00 : Claude Roger (Lyon 1)

                                Introduction et propriétés cohomologiques.

  15h05-16h05 : Laurent Guieu (Montpellier 2)

                                     Dérivée de Schwarz I - A propos des définitions...

  16h10-17h10 : Valentin Ovsienko (Lyon 1)

                                      La dérivée de Schwarz comme courbure,  autour du théorème des 4 sommets


Programme du jeudi 24 novembre :

  9h00-9h30 :  Accueil autour d’un café

                               (bâtiment M2, 1er etage)    

  9h30-10h30 : Claude Roger (Lyon 1)

                                Propriétés cohomologiques (suite)

                                et relation avec la Théorie des Champs Conformes.

10h35-11h35 : Jean-Philippe Michel (Luxembourg)

                                Birapport et dérivée schwarzienne sur le supercercle

11h40-12h40 : Valentin Ovsienko (Lyon 1)

                                La dérivée de Schwarz et les systèmes intégrables.

12h40-14h00 : Pause déjeuner

14h00-15h00 : Discussions autour d’un café gourmand

                                 (bâtiment M3, 3ème étage, salle de convivialité)

15h00-16h00 : Laurent Guieu (Montpellier 1)

                                  Dérivée de Schwarz II - Sur quelques applications géométriques.

16h05-17h05 : Juan-Carlos Alvarez-Paiva (Lille 1)

                                  La géométrie cachée de la dérivée schwarzienne

                                  et la théorie des connexions.




Résumés :


                                   Claude Roger (Lyon 1)

                                   Introduction et propriétés cohomologiques.


                                 La dérivée schwarzienne peut se définir par une suite de calculs élémentaires, permettant de            

                                 dégager ses propriétés d'invariance, et la notion de 1-cocycle. Les éléments indispensables de

                                 cohomologie des groupes, des algèbres de Lie, et leur aspect symplectique (cocycle de Souriau)

                                 seront introduits ensuite.




                                   Laurent Guieu (Montpellier 2)

                                         Dérivée de Schwarz I - A propos des définitions..


                                          On s'attachera à décrire les différentes définitions/caractérisations possibles de la dérivée de

                                   Schwarz dans différents contextes :


                                       - Homographie osculatrice en un point à un difféomorphisme de la droite projective

                                       - Potentiel d'une équation de Hill

                                       - Structures projectives sur la droite ou le cercle

                                       - Invariant différentiel projectif d'une courbe dans RP^1

                                       - Géométrie lorentzienne de l'hyperboloïde à une nappe


                                  Les liens entre les différentes définitions seront données et les propriétés de la dérivée de

                                  Schwarz seront établies de manière économe, à chaque fois, en utilisant la caractérisation

                                  la mieux adaptée.




                                    Valentin Ovsienko (Lyon 1)

                                            La dérivée de Schwarz comme courbure,  autour du théorème des 4 sommets   

                                

                                   ``The Schwarzian derivative is... but curvature!'' Celui qui a dit 

                                   ça pour la première fois n'était pas un homme banal, mais tous 

                                   les autres qui l'ont repété, oui! En effet, cette phrase nous dit 

                                   tout et rien à la fois.


                                   Yes, but! ``Curvature of what?'' et dans quel contexte géométrique ?

                                   et quelles conclusions peut-on en déduire ? C'est précisément 

                                   ce que je vais raconter.




                                    Claude Roger (Lyon 1)

                                    Propriétés cohomologiques (suite)

                                    et relation avec la Théorie des Champs Conformes.


                                   Nous essaierons de montrer comment la dérivée schwarzienne apparait naturellement en

                                   Théorie des Champs Conformes (TCC) pour d=2. La TCC est la généralisation de la Théorie

                                   Quantique des Champs obtenue en étendant le groupe des symétries du groupe de Poincaré au

                                   groupe conforme; pour d=2, ce dernier groupe s'identifie à deux copies du groupe des

                                   difféomorphismes du cercle, et c'est précisément son action (projective) sur le terme central qui

                                   fait apparaître la dérivée schwarzienne.





                                    Jean-Philippe Michel (Luxembourg)

                                    Birapport et dérivée schwarzienne sur le supercercle

                                

                                   Nous généralisons  au supercercle, de dimension 1|N, les trois géométries du cercle:

                                   euclidienne, affine et projective. Chacune est caractérisée par l'action d'un supergroupe.

                                   La notion de p|q-transitivité, en termes de superpoints, nous permet de construire les

                                   invariants fondamentaux de ces géométries, en particulier les super-birapports pairs et impairs.


                                   Dans le cadre de la géométrie de contact du supercercle, la formule de Cartan se généralise

                                   si N=1,2, et conduit aux invariants différentiels associés, notamment la dérivée schwarzienne.

                                   Une subtilité notoire est le distinguo qui apparait entre différentielles quadratiques et densités.


                                   Enfin, la caractérisation cohomologique des trois géométries du cercle perdure en dimension 1|1.


                              



                                     Valentin Ovsienko (Lyon 1)

                                     La dérivée de Schwarz et les systèmes intégrables.


                                   Le lien entre la dérivée de Schwarz, et plus généralement la 

                                   géométrie projective, et les systèmes intégrables est un sujet 

                                   passionnant en plein dévelopement. L'interêt principal de ce sujet 

                                   est dû au fait que plusieurs notions de géométrie, algèbre et 

                                   combinatoire apparaissent de manière surprenante, comme par exemple 

                                   les frises de Coxeter, les espaces de modules, etc. Mon exposé sera 

                                   basé sur des exemples les plus connus, tels que l'équation KdV 

                                   (classique et discrète).





                                    Laurent Guieu (Montpellier 1)

                                    Dérivée de Schwarz II - Sur quelques applications géométriques.


                                   Il sera question ici, sans aucune prétention à l'exhaustivité, de mettre en lumière

                                   quelques jolies applications géométrique de la dérivée de Schwarz


  1. -                                 - Théorème de Singer des quatre sommets pour une courbe du plan

  2. -                                   hyperbolique - Liens avec le théorème de Ghys et la géométrie lorentzienne conforme.


                                   - Méthode de Halley-Newton


  1. -                                 - Et si le temps le permet : Norme de Nehari, fonctions univalentes

  2. -                                   et plongement de Bers de l'espace de Teichmüller universel.




                                    Juan-Carlos Alvarez-Paiva (Lille 1)

                                    La géométrie cachée de la dérivée schwarzienne et la théorie des connexions.


                                  L'interprétation géométrique standard de la dérivée schwarzienne (classique ou matricielle)

                                  nous dit que celle-ci est une version infinitésimale du birapport. Une compréhension plus        

                                  profonde de cet objet remarquable dévoile une géométrie plus riche qui

                                  découle aisément d'une tautologie: l'identification canonique du cotangent de la grassmannienne      

                                  de sous-espaces n-dimensionnels de R^{2n} avec l'ensemble de matrices  2n x 2n nilpotentes 

                                  dont le carré est zéro et le noyau est de dimension n.  Cette idée permet aussi de découvrir la

                                  géométrie sous-jacente aux différents formalismes qui décrivent les connexions

                                  associées aux équations différentielles de deuxième ordre sur des variétés.














Cette conférence est financée par le BQR ``Flots géodésiques et leurs quantifications’’


Informations utiles :

  1. Pour connaître la fédération de recherche mathematiques du Nord-Pas-de-Calais, cliquer ici

  2. Pour connaître Lille, cliquer ici.

  3. Pour connaître l'Université de Lille 1, cliquer ici.

  4. Pour connaître le Laboratoire Paul Painlevé, cliquer ici.

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