Qu’est-ce que la dérivée Schwarzienne ?
23-24 Novembre 2011, Lille 1
Organisateurs : Laurent Guieu et Barbara Tumpach
Salle de réunion, bâtiment M2
Programme du mercredi 23 novembre :
13h30-14h00 : Accueil autour d’un café
(bâtiment M2, 1er étage)
14h00-15h00 : Claude Roger (Lyon 1)
Introduction et propriétés cohomologiques.
15h05-16h05 : Laurent Guieu (Montpellier 2)
Dérivée de Schwarz I - A propos des définitions...
16h10-17h10 : Valentin Ovsienko (Lyon 1)
La dérivée de Schwarz comme courbure, autour du théorème des 4 sommets
Programme du jeudi 24 novembre :
9h00-9h30 : Accueil autour d’un café
(bâtiment M2, 1er etage)
9h30-10h30 : Claude Roger (Lyon 1)
Propriétés cohomologiques (suite)
et relation avec la Théorie des Champs Conformes.
10h35-11h35 : Jean-Philippe Michel (Luxembourg)
Birapport et dérivée schwarzienne sur le supercercle
11h40-12h40 : Valentin Ovsienko (Lyon 1)
La dérivée de Schwarz et les systèmes intégrables.
12h40-14h00 : Pause déjeuner
14h00-15h00 : Discussions autour d’un café gourmand
(bâtiment M3, 3ème étage, salle de convivialité)
15h00-16h00 : Laurent Guieu (Montpellier 1)
Dérivée de Schwarz II - Sur quelques applications géométriques.
16h05-17h05 : Juan-Carlos Alvarez-Paiva (Lille 1)
La géométrie cachée de la dérivée schwarzienne
et la théorie des connexions.
Résumés :
Claude Roger (Lyon 1)
Introduction et propriétés cohomologiques.
La dérivée schwarzienne peut se définir par une suite de calculs élémentaires, permettant de
dégager ses propriétés d'invariance, et la notion de 1-cocycle. Les éléments indispensables de
cohomologie des groupes, des algèbres de Lie, et leur aspect symplectique (cocycle de Souriau)
seront introduits ensuite.
Laurent Guieu (Montpellier 2)
Dérivée de Schwarz I - A propos des définitions..
On s'attachera à décrire les différentes définitions/caractérisations possibles de la dérivée de
Schwarz dans différents contextes :
- Homographie osculatrice en un point à un difféomorphisme de la droite projective
- Potentiel d'une équation de Hill
- Structures projectives sur la droite ou le cercle
- Invariant différentiel projectif d'une courbe dans RP^1
- Géométrie lorentzienne de l'hyperboloïde à une nappe
Les liens entre les différentes définitions seront données et les propriétés de la dérivée de
Schwarz seront établies de manière économe, à chaque fois, en utilisant la caractérisation
la mieux adaptée.
Valentin Ovsienko (Lyon 1)
La dérivée de Schwarz comme courbure, autour du théorème des 4 sommets
``The Schwarzian derivative is... but curvature!'' Celui qui a dit
ça pour la première fois n'était pas un homme banal, mais tous
les autres qui l'ont repété, oui! En effet, cette phrase nous dit
tout et rien à la fois.
Yes, but! ``Curvature of what?'' et dans quel contexte géométrique ?
et quelles conclusions peut-on en déduire ? C'est précisément
ce que je vais raconter.
Claude Roger (Lyon 1)
Propriétés cohomologiques (suite)
et relation avec la Théorie des Champs Conformes.
Nous essaierons de montrer comment la dérivée schwarzienne apparait naturellement en
Théorie des Champs Conformes (TCC) pour d=2. La TCC est la généralisation de la Théorie
Quantique des Champs obtenue en étendant le groupe des symétries du groupe de Poincaré au
groupe conforme; pour d=2, ce dernier groupe s'identifie à deux copies du groupe des
difféomorphismes du cercle, et c'est précisément son action (projective) sur le terme central qui
fait apparaître la dérivée schwarzienne.
Jean-Philippe Michel (Luxembourg)
Birapport et dérivée schwarzienne sur le supercercle
Nous généralisons au supercercle, de dimension 1|N, les trois géométries du cercle:
euclidienne, affine et projective. Chacune est caractérisée par l'action d'un supergroupe.
La notion de p|q-transitivité, en termes de superpoints, nous permet de construire les
invariants fondamentaux de ces géométries, en particulier les super-birapports pairs et impairs.
Dans le cadre de la géométrie de contact du supercercle, la formule de Cartan se généralise
si N=1,2, et conduit aux invariants différentiels associés, notamment la dérivée schwarzienne.
Une subtilité notoire est le distinguo qui apparait entre différentielles quadratiques et densités.
Enfin, la caractérisation cohomologique des trois géométries du cercle perdure en dimension 1|1.
Valentin Ovsienko (Lyon 1)
La dérivée de Schwarz et les systèmes intégrables.
Le lien entre la dérivée de Schwarz, et plus généralement la
géométrie projective, et les systèmes intégrables est un sujet
passionnant en plein dévelopement. L'interêt principal de ce sujet
est dû au fait que plusieurs notions de géométrie, algèbre et
combinatoire apparaissent de manière surprenante, comme par exemple
les frises de Coxeter, les espaces de modules, etc. Mon exposé sera
basé sur des exemples les plus connus, tels que l'équation KdV
(classique et discrète).
Laurent Guieu (Montpellier 1)
Dérivée de Schwarz II - Sur quelques applications géométriques.
Il sera question ici, sans aucune prétention à l'exhaustivité, de mettre en lumière
quelques jolies applications géométrique de la dérivée de Schwarz
-
- - Théorème de Singer des quatre sommets pour une courbe du plan
-
- hyperbolique - Liens avec le théorème de Ghys et la géométrie lorentzienne conforme.
- Méthode de Halley-Newton
-
- - Et si le temps le permet : Norme de Nehari, fonctions univalentes
-
- et plongement de Bers de l'espace de Teichmüller universel.
Juan-Carlos Alvarez-Paiva (Lille 1)
La géométrie cachée de la dérivée schwarzienne et la théorie des connexions.
L'interprétation géométrique standard de la dérivée schwarzienne (classique ou matricielle)
nous dit que celle-ci est une version infinitésimale du birapport. Une compréhension plus
profonde de cet objet remarquable dévoile une géométrie plus riche qui
découle aisément d'une tautologie: l'identification canonique du cotangent de la grassmannienne
de sous-espaces n-dimensionnels de R^{2n} avec l'ensemble de matrices 2n x 2n nilpotentes
dont le carré est zéro et le noyau est de dimension n. Cette idée permet aussi de découvrir la
géométrie sous-jacente aux différents formalismes qui décrivent les connexions
associées aux équations différentielles de deuxième ordre sur des variétés.
Cette conférence est financée par le BQR ``Flots géodésiques et leurs quantifications’’
Informations utiles :
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