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###  Exo 9  ###
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X=array(data=c(8,4,6,10,8,0,1,6,8,4,2,3,0,5,7,7,5,6),dim=c(6,3))

# calcul à la main de la matrice de variance-covariance

g=colSums(X)/6
e=array(data=c(1),dim=c(6,1))

X2=X-t(array(data=g,dim=c(3,6)))
X-e%*%t(g)

V=1/6*t(X-e%*%t(g))%*%(X-e%*%t(g))

# on peut aussi utiliser la commande var, qui utilise la renormalisation 1/(n-1)

V=5/6*var(X)

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###  Exo 12  ###
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# Matrice X recentree et reduite

Sigma=diag(1/sqrt(diag(V)),3)

Xi=(X-t(array(data=g,dim=c(3,6))))%*%Sigma

Vred=5/6*var(Xi)

cor(X)

# On constate bien qu'on a des 1 sur la diagonale

#### analyse factorielle du tableau réduit "à la main"

decomposition<-eigen(Vred,symmetric=TRUE,only.values=FALSE)

decomposition

#### analyse factorielle avec R

analysefactorielle <- princomp(X,cor=TRUE)
analysefactorielle
analysefactorielle$loadings #vecteurs propres
analysefactorielle$scores #coordonnées sur les axes factoriels
(analysefactorielle$sdev)^2 #on retrouve les valeurs propres
summary(analysefactorielle)

#### graphiques

biplot(analysefactorielle, choices=1:2)

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###  Exo 22 - question 9 ###
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X=array(data=c(0,8,4,8,10,6,3,2,6,1,4,8,6,5,5,0,7,7),dim=c(6,3))

g=colSums(X)/6
e=array(data=c(1),dim=c(6,1))

Xcentree=X-e%*%t(g)

#### Analyse factorielle du nuage des individus

V=5/6*var(X)
eigen(V)

### Analyse du nuage des centres de gravite

G=array(data=c(4,6,8,2.5,3.5,6,5.5,2.5,7),dim=c(3,3))

VG=2/3*var(G)

2*var(G)
eigen(VG)

3*VG%*%array(data=c(2,1,-3),dim=c(3,1))

3*VG%*%array(data=c(4,-5,1),dim=c(3,1))

eigen(VG)


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#  Exo 25   #
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# Question 7

js <- array(data=c(0.284,-0.02,-0.001,0.005,-0.002),dim=c(5,1))

jsprime <- array(data=c(0.283,-0.035,0.052,0.005,0.012),dim=c(5,1))

sum(js^2)

sum(jsprime^2)

sum(js*jsprime)/var(jsprime)