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Antoine Touzé

Cours Peccot au Collège de France.

Informations pratiques:

Titre : Invariants, cohomologie et représentations fonctorielles des groupes algébriques.

Résumé:  Le point de vue du cours est de voir quels résultats l'utilisation conjointe de la théorie classique des invariants et des représentations fonctorielles permettent d'obtenir sur la cohomologie des groupes algébriques.

Affiche du cours 

Fichiers beamer du cours:



Résumé des quatre leçons (prévision) :

Leçon 1: Introduction.

La leçon 1 présentera une introduction générale du cours (aspect historique, questions traitées et principaux résultats abordés), puis rappellera plus en détail les concepts de base du cours avec des exemples.

Plan de la leçon 1:
-Introduction, vue d'ensemble des problèmes traités et plan du cours
-Schémas en groupes algébriques affines
-Cohomologie
-Foncteurs strictement polynomiaux [C2,C3,C4]

Leçon 2: Calculs avec les foncteurs strictement polynomiaux.

La leçon 2 montrera l'intérêt d'utiliser les foncteurs strictement polynomiaux pour étudier la cohomologie stable du groupe linéaire. En particulier on présentera des calculs simples et efficaces qui permettent de comprendre l'effet de la torsion de Frobenius sur la cohomologie.

Plan de la leçon 2:
- Motivations: intervention de la torsion de Frobenius dans les problèmes d'engendrement fini et pour la cohomologie des groupes finis [B2,D4].
- Techniques de calcul [C3,C4]: adjonctions à la source, lemmes d'annulation.
- Applications [C3,C4,C5]: produits tensoriels, structures algébriques gratuites sur la cohomologie stable
- Complexes fonctoriels, complexes de Troesch [C6]
- Application: la "formule magique" de Chalupnik [C1] et ses applications.

Leçon 3: Prolongements de la theorie classique des invariants.

La leçon 3 abordera les liens entre la théorie classique des invariants et la cohomologie. Tout d'abord les "premiers théorèmes fondamentaux" (FFTs) permettent d'étendre le lien entre foncteurs strictement polynomiaux et groupe linéaire aux groupes classiques. Puis on abordera un deuxième aspect de la théorie des invariants: l'engendrement fini des algèbres d'invariants (théorème de Haboush) et son extension aux algèbres de cohomologie (Conjecture de Van der Kallen).

Plan de la leçon 3:
- Introduction: theorie classique des invariants [A1,A2]
- Application des FFTs: lien entre foncteurs strictement polynomiaux et cohomologie des groupes classiques. Applications [A1,B1,C5].
- Engendrement fini des algèbres de cohomologie: conjecture de Van der Kallen [A1,D4].



Leçon 4: Résolution de la conjecture de Van der Kallen [D1-D4].

La leçon 4 sera la suite de la leçon 3. On présentera la résolution de la conjecture de Van der Kallen. On présentera notamment la construction de "classes cohomologiques universelles" en réutilisant certains outils fonctoriels déjà abordés dans la leçon 2.



Quelques références:

A. Théorie des invariants

  1. C. de Concini, C. Procesi, A characteristic free approach to invariant theory. Advances in Math. 21 (1976), no. 3, 330–354.

  2. W.J. Haboush, Reductive groups are geometrically reductive. Ann of Math. (2) 102  (1975), no. 1, 67--83.

B. Cohomologie des groupes algébriques

  1. H.H. Andersen, J.C. Jantzen, Cohomology of induced representations for algebraic groups. Math. Ann. 269 (1984), no. 4, 487–525.

  2. E. Cline, B. Parshall, L. Scott, W. van der Kallen, Rational and generic cohomology, Invent. Math. 39 (1977), 143-163.

  3. Une référence générale:
    J.-C. Jantzen, Representations of Algebraic Groups, Mathematical Surveys and Monographs vol. 107, Amer. Math. Soc., Providence, 2003.

C. Foncteurs strictement polynomiaux

  1. M. Chalupnik, Extensions of strict polynomial functors. Ann. Sci. école Norm. Sup. (4) 38 (2005), no. 5, 773-792.

  2. V. Franjou, E. Friedlander, Cohomology of bifunctors, Proc. London Math. Soc. (2008), doi: 10.1112/plms/pdn005.

  3. V. Franjou, E. Friedlander, A. Scorichenko, A. Suslin, General linear and functor cohomology over finite fields, Ann. of Math. (2) 150 (1999), no. 2, 663–728.

  4. E. M. Friedlander, A. A. Suslin, Cohomology of finite group schemes over a field, Invent. Math. 127 (1997), 209–270.

  5. A. Touzé, Cohomology of classical algebraic groups from the functorial viewpoint, à paraître dans Adv. in Math (2010). ArXiv (2009)

  6. A. Troesch, Une résolution injective des puissances symétriques tordues. (French) [Injective resolution of twisted symmetric powers] Ann. Inst. Fourier (Grenoble) 55(2005), no. 5, 1587–1634.

D. Conjecture de Van der Kallen

  1. V. Srinivas, W. Van der Kallen. Finite Schur filtration dimension for modules over an algebra with Schur filtration. Transform. Groups 14 (2009), no. 3, 695--711.

  2. A. Touzé, Universal classes for algebraic groups, Duke J. Math (2) 151 (2010), 219-249. ArXiv (2008)

  3. A. Touzé, W. Van der Kallen, Bifunctor cohomology and Cohomological finite generation for reductive groups, Duke J. Math (2) 151 (2010), 251-278.  ArXiv (2008)

  4. W. van der Kallen, Cohomology with Grosshans graded coefficients, In: Invariant Theory in All Characteristics, Edited by: H. E. A. Eddy Campbell and David L. Wehlau, CRM Proceedings and Lecture Notes, Volume 35 (2004) 127-138, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2004.

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