Retour à la page
d'accueil
Antoine Touzé
Informations pratiques:
Dates: les lundi 22 et 29 mars, et le lundi 12 avril 2010.
Horaires:
Lundi matin de 9h45 à 11h 45
Lundi après midi de 13h45 à 17h
Lieu: Salle C306,
Institut Galilée, Paris 13 (Villetaneuse).
Plan
du campus
Comment
venir à Paris 13
Résumé: L'objectif du cours est d'introduire la cohomologie des groupes algébriques et de donner un aperçu aussi complet que possible de la démonstration du théorème suivant.
Thm (2008): Soit k un corps. Soit G un schéma en groupes algébriques affines sur k. Soit A une k-algebre de type fini sur laquelle G agit par automorphismes d'algèbres. Si G est réductif, alors l'algèbre de cohomologie H^*(G,A) est de type fini.
(Ce théorème résout par l'affirmative la
conjecture de Van der Kallen.)
Programme
du cours | Prérequis | Bibliographie
22 mars: parties 1 et 2
29 mars: parties 3 et 4
12 avril:
parties 5 et 6
(Une estimation de la durée approximative des
différentes parties est donnée entres parenthèses)
On introduira (rapidement) les groupes algébriques affines sur un
corps infini ou algébriquement clos, et leurs représentations.
Le
but de cette partie est de fournir une gamme d'exemples concrets. A
partir de ces exemples on introduira les concepts concernant:
Les représentations des groupes algébriques (caractères, représentations simples, extensions de G-modules, groupes linéairement réductifs)
La classification des groupes algébriques (groupes résolubles, unipotents, réductifs).
On introduira les schémas en groupes algébriques affines et leurs représentations sur un corps quelconque, en les reliant au notions présentées dans l'introduction.
On introduira la cohomologie des schémas en groupes algébriques, et quelques techniques cohomologiques usuelles (foncteurs d'induction et la suite spectrale de Hochschild-Serre)
Dans cette partie on s'intéressera aux représentations et à la cohomologie des groupes réductifs. L'objectif est :
Résumer la structure des groupes réductifs (systèmes de racines)
Construire les modules costandards, classifier les modules simples
Enoncer le théorème de Kempf et donner des applications.
Introduire les bonnes filtrations
Dans cette partie, on au problème d'engendrement fini des algèbres d'invariants et des algèbres de cohomologie. On donnera les liens entre différentes notions de réductivité pour les schémas en groupes (par forcément lisses):
Réductivité linéaire
Réductivité géométrique
Réductivité
Propriété (EF) d'engendrement fini des algèbres d'invariants
Propriété (ECF) d'engendrement fini des algèbres de cohomologie
(Il est facile de voir que la propriété (ECF) implique la propriété (EF). La conjecture de van der Kallen dit précisément que les propriétés (EF) et (ECF) sont équivalentes.)
Dans cette partie on donnera une idée de la démonstration de la
conjecture de van der Kallen.
(i.e. de la démonstration du
théorème mentionné dans le résumé)
Les prérequis pour le cours sont essentiellement les bases de l'algèbre homologique:
Foncteurs, catégories, équivalences de catégorie, lemme de Yoneda.
Catégories abéliennes, injectifs, projectifs, extensions.
Connaissances de base sur les suites spectrales (ne seront utilisées que dans la partie 5)
Des références possibles ces trois sujets sont:
Sur les catégories:
S. Mac Lane, "Categories for
the working mathematician", chapitres I et III
Pour les bases de l'algèbre homologique:
Comme introduction aux suites spectrales, on pourra consulter un des ouvrages suivants:
J. McCleary, "A user's guide to spectral sequences", Part I (surtout l'introduction)
R. Bott, L. Tu, "Differential forms in algebraic topology", chapitre III.
D'autres réferences possibles sur
les suites spectrales:
D. Benson, "Representations and cohomology", tome II, chapitre 3
S. Mac Lane, "Homology", chapitre XI
[H] Humphreys, Linear algebric groups
[J]
Jantzen, Representations of algebraic groups
[S]
Springer, Linear algebraic groups
[S2] Springer, Invariant
theory
[W] Whaterhouse, Introduction to affine group
schemes
Partie 1: introduction.
Définitions élémentaires de variétés affines, groupes algébriques affines etc. sur corps infini, voir [W, Chap 4].
Pour les groupes résolubles, unipotents, diagonalisables,
etc.
[S, Chap 2,3,5,6], [H, Chap VI,VII,VIII], [W, Chap
7,8,9,10].
Partie 2: schémas algébriques affines et leurs
représentations.
[W, Chap 1,2,3,4] ou [J, Partie I, Chap 1,2]
Partie 3: cohomologie.
[J, Partie I, Chap 4]
pour les quotients de schémas en groupes algébriques
affines:
[W, Chap. 13,14,15,16]
Partie 4: Représentations et cohomologie des schémas en
groupes réductifs.
Structure des groupes réductifs
et systèmes de racines:
[S, Chap 7,8] ou [H, Chap IX,X] ou [J,
Partie II, chap 1]
Représentations et cohomologie:
[H, Chap XI], [J, Partie
II, Chap 2 et 4]
Partie 5: Engendrement fini.
[S2, Chap 1,2] et les articles:
Borsari, Ferrer Santos, Geometrically reductive Hopf algebras (1992)
Evens, The cohomology ring of a finite group (1961)
Friedlander Suslin, Cohomology of finite group schemes over a field (1997)
Touzé, van der Kallen, Bifunctor cohomology and cohomological finite generation for reductive groups (2010)
Waterhouse, Geometrically affine group schemes (1994)
Partie 6: Conjecture de van der Kallen.
les articles:
Friedlander Suslin, Cohomology of finite group schemes over a field (1997)
van der Kallen, Cohomology with Grosshans graded coefficients (2004)
Srinivas, van der Kallen, Finite schur filtration dimension for modules over an algebra with Schur filtration (2009)
Touzé, van der Kallen, Bifunctor cohomology and cohomological finite generation for reductive groups (2010)
retour
à la page d'accueil
Antoine Touzé