Colloquium du Laboratoire
AGAT, 2001 
11h15, Salle des Réunions
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Déformations isomonodromiques et variétés de Frobenius
Résumé La théorie des déformations isomonodromiques est une machine à produire des systèmes non linéaires d'équations différentielles ou aux dérivées partielles dans le domaine complexe et ce, à partir d'une équation ou d'un systéme d'équations linéaires d'une variable complexe. Elle donne en même temps un procédé (peu explicite en général) pour les résoudre, ainsi que des propriétés remarquables des solutions de ces systémes (la propriété dite "de Painlevé" notamment). Si, au début, seule était considérée la déeformation d'équations différentielles linéaires d'une variable complexe à coefficients polynomiaux, il est apparu plus tard que la déformation des systémes linéaires de plusieurs équations pouvait jeter une lumière nouvelle sur la question, par l'usage d'outils de la géométrie algébrique ou différentielle: fibrés vectoriels, connexions, etc. Une belle application de cette théorie est l'introduction de la notion de structure de Frobenius sur une variété. Si cette notion était clairement apparue dans les articles de Kyoji Saito sur les déploiements de singularités de fonctions holomorphes, ce n'est qu'avec Boris Dubrovin, à la suite de motivations issues de la physique, qu'elle s'est réellement développée, ouvrant des perspectives sur des sujets apparemment très éloignés (singularités, cohomologie quantique, symétrie miroir).
Rigidity of closed surfaces in R^3.
Abstract It is still not known whether a smooth closed ( compact and without boundary ) surface in R^3, can be continuously deformed to a non-congruent surface without changing the intrinsic metric. There are flexible polyhedron, and there are rigid polyhedra; Cauchy proved a convex polyhedron is rigid. In this talk we will present some old and new results concerning rigidity.
Problèmes élémentaires: consequences non élémentaires
Aperçu Certains problèmes élémentaires de type "Olympiade internationale de mathématiques" conduisent à des solutions non élémentaires, qui sont intéressantes en algèbre, théorie des nombres et analyse mathématique.
Orbites d'actions de groupes linéaires, ensembles fermés invariants par un groupe d'automorphismes du tore et marches aléatoires.
Résumé 1) Quelques problèmes sur les ensembles fermés invariants et sur les mesures invariantes par certaines chaines de Markov . On considère plusieurs exemples sur lesquels on explicite les résultats et on relie les propriétés de mélange à une équation de type cohomologique. 2) Ensembles limites pour des groupes linéaires. Une équation de type cohomologique. On étudiera les ensembles fermés invariants de R^n par un groupe linéaire en se basant sur les propriétés des marches aléatoires et de leurs mesures invariantes. 3) Quelques résultats: on précisera les considérations précédentes dans deux directions : les ensembles fermés invariants par un groupe d'automorphismes du tore et le théorème de renouvellement pour un produit de matrices aleatoires indépendants.
Monodromie et systèmes intégrables
Aperçu
Le point sur les classes caractéristiques des variétés singulières
Résumé Le théorème classique de Poincaré-Hopf exprime la caractéristique d'Euler-Poincaré d'une variété (lisse, compacte, sans bord) comme l'obstruction à la construction d'un champ de vecteur tangent à la variété. Dans le cas d'une variété (algébrique complexe) singuliére, plusieurs définitions ont été proposées en vue de généraliser ce résultat. Entre autres, les classes de Schwartz-MacPherson (créées à Lille) et les classes de Fulton. Dans le cas de singularités isolées, la différence entre ces classes est égale à la somme des nombres de Milnor en les points singuliers. L'exposé montrera, à partir de l'historique du problème, comment ce résultat s'écrit dans le cas général et on fera le point sur les problèmes actuels.
Méthodes pseudoholomorphes en topologie et en systemes dynamiques - quelques resultats récents
Résumé Je vais présenter les relations étroites entre trois objets qui ont marqué le développement de la topologie symplectique: (1) les sytèmes dynamiques hamiltoniens, (2) les EDP de type elliptique en topologie et (3) une nouvelle géométrie de type $L^{\infty}$ sur le groupe des difféomorphismes hamiltoniens qui est la seule métrique naturelle intrinséque sur ce groupe. En partant d'un exemple simple de dynamique sur le cylindre (espace de phase du cercle), je présenterai certaines des idées et des principes qui menent naturellement à introduire la cohomologie quantique et à ses applications en géométrie, en théorie de jauge, et en topologie.