Evolutions de l'enseignement des probabilités

Page mise à jour le 18 juin 2004

Analyse

Une des innovations dans la mise en place du LMD à l'UFR de Mathématiques de Lille I est la restructuration de l'enseignement des Probabilités et de la Statistique en Licence. L'objectif est de proposer une formation mieux adaptée aux besoins de notre public. Actuellement, le cours IFP constitue (avec le cours AR) un véritable goulot d'étranglement. Force est de constater que seulement un tiers de nos étudiants est capable de l'assimiler et ceci quels que soient les efforts pédagogiques déployés.

L'acquisition des bases mathématiques de la théorie des probabilités via la construction de l'intégrale abstraite (fondamentale aussi en vue de l'Analyse, mais au niveau Licence, seules les Probabilités fournissent un champ d'illustrations assez riche pour motiver le dépassement de l'intégrale de Riemann) est clairement une nécessité pour les étudiants souhaitant poursuivre leur formation mathématique en vue d'un Master ou de l'Agrégation. Pour ces étudiants il y a donc une marche d'approche assez longue avant d'en arriver à la statistique (qu'il est alors possible de traiter sur une base mathématique rigoureuse) et aux problèmes de modélisation qui ne seront abordés qu'au niveau Bac+4. Pour eux l'actuel cours d'IFP a été éclaté en 3 modules : Math304 (Intégration et Probabilités 1), Math313 (Intégration et Probabilités 2) et Math312 (Analyse Hilbertienne), seuls les deux premiers étant obligatoires dans ce parcours.

Pour les étudiants dont le projet professionnel ne nécessite pas l'engagement dans un Master de Mathématiques, notamment ceux visant le CAPES, l'actuel cours d'IFP a été remplacé par les deux modules Math306 (Intégration et Probabilités élémentaire) et Math314 (Initiation à la statistique). Le bagage théorique dans ces deux modules est moins lourd et en contrepartie l'on arrive plus vite à la statistique et à la modélisation. Il paraît utile de préciser ici deux points. D'abord, il ne s'agit pas d'enseigner des mathématiques au rabais, mais de faire en sorte en délimitant clairement les résultats théoriques admis, que ces étudiants se plongent plus rapidement dans la résolution de problèmes pour acquérir une culture statistique et probabiliste. Ensuite cet enseignement est essentiel pour la formation des futurs enseignants du secondaire, vu la place croissante prise par les probabilités et la statistique dans les nouveaux programmes du secondaire.

Programmes

Parcours vers CAPES : Math306-314

Intégration et probabilités élémentaires (S5, Math306, 6 ECTS)

• Séries doubles, familles sommables. Espaces de probabilité discrets. Probabilités conditionnelles. Indépendance. (12 h)
• Variables aléatoires discr\`etes. Moments. (8 h)
• L'intégrale de Riemann sur R, R^d. Variables aléatoires à densité. (16 h)
• Vecteurs aléatoires. Vecteurs gaussiens. (8 h)
• Loi faible des grands nombres. Loi forte (admise). (8 h)
• Théorème limite central (admis) et applications. (8 h)

Initiation à la statistique (S6, Math314, 5 ECTS)

• Simulation de variables aléatoires. Applications. (8 h, TP inclus)
• Estimation de paramètres. Intervalles de confiance. (10 h)
• Notions sur les tests. Tests sur les échantillons gaussiens. (12 h)
• Tests du chi-deux. (10 h)
• Modèle linéaire : Analyse de la variance, régression. (10 h)

Parcours vers Agrégation et Master : Math304-313 (obligatoire) Math312 (optionnel)

Intégration et probabilités 1 (S5, Math304, 6 ECTS)

• Tribus et mesures (12 heures). Tribus, génération de tribus, Théorème de Dynkin (admis), tribus boréliennes. Mesures, propriétés générales. Fonctions de répartition. Théorème d'extension (admis) et d'unicité. Mesures de Stieltjes sur R, mesure de Lebesgue sur R^d et ses propriétés.
• Mesurabilité et lois (8 heures). Topologie et tribu borélienne de R (R barre). Applications mesurables, théorème d'approximation par les fonctions étagées. Variables et vecteurs aléatoires, exemples. Mesure image, loi d'une variable ou d'un vecteur aléatoire.
• Intégration des fonctions positives (10 heures). Intégrale des fonctions mesurables positives, théorème de Beppo Levi, lemme de Fatou. Mesures à densité. Théorème de transfert et application au calcul d'espérance de v.a. positive.
• Intégration (15 heures). Intégrale relativement à une mesure. Propriétés. Théorème de transfert. Inégalité de Markov. Premier lemme de Borel Cantelli. Classes modulo l'égalité presque partout. Espaces L¹.
• Convergence dominée (15 heures). Le théorème et ses applications : comparaison des intégrales de Riemann et de Lebesgue, changement de variable dans R, lien entre fonction de répartition et densité, intégrales dépendant d'un paramètre.

Intégration et probabilités 2 (S6, Math313, 5 ECTS)

• Intégration sur un espace produit (18 heures). Construction de mesures produit. Application aux calculs de volume et d'espérance. La mesure de Lebesgue sur $R^d$ vue comme mesure produit. Théorème de Fubini. Intégrales multiples. Changement de variable dans $R^d$. Calcul de lois de vecteurs aléatoires.
• Indépendance (12 heures). Indépendance de tribus, de suites de variables ou vecteurs aléatoires. Deuxième lemme de Borel Cantelli. Convolution de probabilités et de fonctions $L^1$.
• Lois des grands nombres (12 heures). Inégalité de Tchebycheff et loi faible des grands nombres. Inégalité de Kolmogorov. Loi forte des grands nombres de Kolmogorov et L.F.G.N. de Khintchine (cas i.i.d. et variables $L^1$). Théorème de Glivenko-Cantelli.
• Simulation (4 heures + 4 heures de TP). Notions sur la simulation de variables et vecteurs aléatoires. Algorithme du rejet.

Analyse hilbertienne (S6, Math312, 5 ECTS)

• Espaces de Hilbert : théorème de la projection, bases orthonormales, inégalité de Bessel, identité de Parseval, procédé de Gram-Schmidt. Exemples : l², L², polynômes orthogonaux, système de Haar. (20 heures).
• Système trigonométrique. Théorie L² des séries de Fourier. (10 heures).
• Espaces L^p. Inégalités de Hölder et Minkowski. Théorème de convergence dominée dans L^p. Complétude de L^p. Inclusions topologiques des L^p(m) lorsque m est une mesure finie. Théorèmes de densité. (20 heures)