Résumé :
Ce livre est une introduction à l'itération rationnelle. Les aspects les plus classiques de cette théorie font l'objet des quatre premiers chapitres. On y passe en revue les propriétés essentielles des ensembles de Julia et de leurs complémentaires les ensembles de Fatou avec, comme point d'orgue, la classification des composantes de Fatou périodiques et le théorème de non-errance de Sullivan. La seconde partie du livre présente quelques thèmes plus spécifiques. Deux classes d'exemples sont d'abord étudiées: les fractions chaotiques et les fractions hyperboliques. Les derniers chapitres sont plus ouverts; l'étude des familles holomorphes de fractions rationnelles met en perspective le célèbre problème de Fatou sur la densité des fractions hyperboliques, quant à l'exposé des méthodes potentialistes, il effleure les aspects ergodiques et prépare aux généralisations en dimension supérieure.

Certains des développements traités le sont pour la première fois sous forme de livre et plusieurs démonstrations sont originales.

Mots clefs : Ensemble de Julia, ensemble de Fatou, méthodes quasiconformes, théorème de non-errance de Sullivan, hyperbolicité, dimension de Hausdorff, familles holomorphes, mesure de Green

Abstract:
An introduction to holomorphic dynamics
This book is an introduction to rational iteration theory. In the first four chapters we deal with the classical theory. The basic properties of the Julia set and its complement the Fatou set are presented; the highpoints of our treatment being the classification of the components of the Fatou set and Sullivan's non-wandering theorem. The second part of the book is consecrated to the study of several topics in more detail. We begin by considering at length two classes of rational maps: the chaotic maps and the hyperbolic maps. In the closing chapters we include respectively a study of holomorphic families of rational maps with a view to discussing Fatou's famous problem concerning the density of hyperbolic maps and an exposition of the methods of potential theory, touching on questions of ergodicity, which may serve as a preparation for generalizations in higher dimensions.

A number of the developments treated in this text appear for the first time in book form and we present several original proofs.

Key words: Julia set, Fatou set, quasiconformal methods, non-wandering Sullivan's theorem, hyperbolicity, Hausdorff dimension, holomorphic families, Green's measure

Class. math. : 37F50, 37F15, 30C62, 37F45, 37A25, 31A05