Étude asymptotique du spectre de grandes matrices aléatoires. Applications aux modèles de matrices.

Cette thèse apporte plusieurs contributions à l'étude mathématique des modèles de matrices.

Notre premier résultat est une justification mathématique de la méthode de développement en caractères utilisée pour traiter les modèles à plusieurs matrices, sous des hypothèses nécessaires de positivité. La preuve passe par l'obtention d'un résultat un peu plus général de grandes déviations pour la mesure empirique des tableaux d'Young.
Nous obtenons ainsi la convergence de la fonction de partition dans le modèle de Yang-Mills sur un cylindre ainsi que dans le modèle dit des graphes doublement pondérés .

Nous étudions par ailleurs les asymptotiques de l'intégrale sphérique de deux matrices hermitiennes ou symétriques dans le régime où l'une des deux matrices est de rang fini ou du moins beaucoup plus petit que la dimension. Nous établissons en particulier les asymptotiques complètes de l'intégrale sphérique lorsqu'une matrice est de rang 1 ainsi que la généralisation en rang supérieur quand les valeurs propres de la matrice de rang faible sont assez petites.
Ces asymptotiques fournissent une nouvelle preuve de l'additivité de la R-transformée par convolution libre ainsi qu'une nouvelle heuristique pour l'interprétation de cette transformée.

Nous appliquons enfin ces résultats à l'étude des déviations de la plus grande valeur propre d'une matrice aléatoire gaussienne symétrique réelle perturbée par une matrice de rang 1. Nous établissons des conditions sous lesquelles cette valeur propre se détache ou non du support de la loi semi-circulaire.

Mots-clés :
Matrices aléatoires ; Grandes déviations ; R-transformée ; Probabilités libres.
Code matière AMS :
15A52 ; 60F10 ; 46L54.

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