Benoit Fresse : Enseignement 2004-05

Propositions de stage

Je propose un stage sur les associaèdres et les permutoèdres pour les étudiants (de L3 ou de M1) du magistère de l'ENS Lyon.

2ème Semestre : Licence, 1ière année, parcours PC, cours Math 104

Informations :

Plan du cours :

  1. Structure d'espace vectoriel
  2. Systèmes d'équations linéaires
  3. Bases et espaces de dimension finie
  4. Applications linéaires
  5. Théorie du rang pour les applications linéaires
  6. Déterminants

Devoirs maisons (fichiers .pdf) :

  1. Sous-espaces, familles libres et génératrices de vecteurs
  2. Applications linéaires

Contrôles :

1er Semestre : Master, 2ième année, algèbre homologique et catégories modèles

Informations :

But du cours :

Le but de ce cours est d'introduire les constructions fondamentales de l'algèbre homologique en reprenant des idées et l'intuition de la topologie.

Pour expliquer ce sujet en quelques lignes, on associe classiquement à un objet mathématique (groupe, variété, polyèdre, anneau, ...) des groupes d'homologies que l'on définit en prenant le quotient d'un module de cycles - le noyau d'une application linéaire - par un module de bords - l'image d'une application linéaire. On obtient ainsi un module invariant par une classe de morphismes (isomorphismes de groupes, difféomorphismes, ..., selon le contexte). L'algèbre homologique permet ainsi de ramener des problèmes de classification à des questions d'algèbre linéaire.

La théorie des catégories modèles fournit des méthodes universelles pour construire des théories homologiques en généralisant les idées de la topologie algébrique. On exposera cette théorie dans son cadre général en développant les exemples classiques, espaces topologiques, complexes de chaînes, algèbres différentielles graduées, de façon parallèle. On donnera de nombreux compléments sous forme de problèmes.

Prérequis : les notions de bases de l'algèbre linéaire (modules sur un anneau, modules quotients, ...) ; les notions fondamentales de la topologie générale (espaces topologiques, espaces connexes, ...).

Plan du cours :

  1. Le langage des catégories : catégories, foncteurs, transformations naturelles, constructions universelles, foncteurs adjoints, ...
  2. Catégories modèles : espaces topologiques, complexes de chaînes, algèbres différentielles graduées
  3. Extensions cellulaires et cofibrations : CW-complexes, objets projectifs, algèbres quasi-libres
  4. Catégories homotopiques
  5. Foncteurs dérivés et théories d'homologies

Références :

  1. W.G. Dwyer, J. Spalinski, Homotopy theories and model categories, in "Handbook of algebraic topology (éditeur : I. James)", North-Holland (1995), 73-126.
  2. S. Mac Lane, Categories for the working mathematician, Graduate Texts in Mathematics 5, Springer-Verlag, 1971.
  3. D. Quillen, Homotopical algebra, Lecture Notes in Mathematics 43, Springer-Verlag, 1967.
  4. C.A. Weibel, An introduction to homological algebra, Cambridge Studies in Advanced Mathematics 38, Cambridge University Press, 1994.
  5. G.W. Whitehead, Elements of homotopy theory, Graduate Texts in Mathematics 61, Springer-Verlag, 1978.

Exercices, problèmes, notes et compléments (fichiers .pdf) :

  1. Suites exactes et diagrammes
  2. Catégories et foncteurs
  3. Produits tensoriels
  4. Limites
  5. Résolutions
  6. Homologie, homotopie et foncteurs dérivés
  7. Foncteurs adjoints
  8. Produits tensoriels de torsion

Mémoires :

Examen :

1er Semestre : Licence, 2ième année, parcours MASS, cours d'analyse

Informations :

Plan du cours :

  1. Suites
  2. Séries numériques
  3. Séries de fonctions
  4. Fonctions de plusieurs variables

Feuilles d'exercices (fichiers .pdf) :

  1. Comparaison des suites
  2. Convergence des suites (rappels et compléments)
  3. Suites de fonctions
  4. Convergence des séries positives
  5. Convergence des séries alternées
  6. Séries entières
  7. Fonctions de plusieurs variables

Contrôles :

Back (3/3/2003)