Benoit Fresse: travaux de recherche


Présentation

Je travaille sur la théorie des opérades et ses applications en topologie algébrique et en algèbre homologique. Une opérade est une structure algébrique dont les éléments représentent des opérations. Les catégories d'algèbres usuelles, comme les algèbres associatives et commutatives, les algèbres associatives, les algèbres de Lie, et les algèbres de Poisson, sont toutes associées à des types d'opérations qui engendrent des opérades. La notion d'opérade a été introduite en topologie, fin des années 60, pour étudier la structure des espaces de lacets itérés. Les opérades ont été utilisées fructueusement dans d'autres domaines depuis lors et il est devenu clair que cette notion fournit un outil conceptuel et effectif pour gérer des structures algébriques multiples dans des contextes variés.

Une idée centrale de mes travaux est l'utilisation de modules sur les opérades pour comparer les catégories d'algèbres associées à des opérades. La forme la plus aboutie de ces recherches a été publiée dans la publication [14]. Le principal résultat nouveau de cette monographie est un théorème d'invariance homotopique général affirmant que, sous des hypothèses de cofibration habituelles en théorie de l'homotopie, des foncteurs associés aux modules sur les opérades préservent les équivalences d'homotopies.

Les travaux de J.-P. Serre dans les années 50 ont introduit l'idée d'utiliser l'homologie d'espaces de lacets en topologie. Mes recherches actuelles, utilisant les modules sur les opérades, m'ont permis de construire un modèle algébrique, effectif et conceptuel, pour les lacets itérés. Un résultat principal de l'article [18] montre ainsi que la cohomologie d'un espace de lacets n-itéré sur un espace X se détermine par une théorie homologique opéradique, définie de façon purement algébrique, que l'on applique à l'algèbre des cochaînes de X. Une des visées de mes recherches en cours est d'utiliser ce modèle pour comprendre la cohomologie de certains espaces de lacets itérés et déterminer des classes d'homotopies.

Publications

  1. Cogroupes dans les algèbre sur une opérade, Thèse de doctorat de l'Université Louis Pasteur (Strasbourg 1), 1996, 107 pages.
  2. Opérations de Cartan pour les algèbres simpliciales sur une opérade, C. R. Acad. Sci. Paris Sér. I Math. 325 (1997), 247-252. Publication. Revues MR 98c:18009 et Zbl 0981.18011.
  3. Lie theory of formal groups over an operad, J. of Algebra 202 (1998), 455-511. Publication. Revues MR 99c:14063 et Zbl 1041.18009.
  4. Homologie de Quillen pour les algèbres de Poisson, C. R. Acad. Sci. Paris Sér. I Math. 326 (1998), 1053-1058. Publication. Revues MR 99j:16001 et Zbl 0922.17014.
  5. Cogroups in algebras over an operad are free algebras, Comment. Math. Helv. 73 (1998), 637-676. Publication. Revues MR 99i:18010 et Zbl 0929.16033.
  6. Algèbre des descentes et cogroupes dans les algèbres sur une opérade, Bull. Soc. Math. Fr. 126 (1998), 407-433. Publication. Revues MR 2000c:16049 et Zbl 0940.18004.
  7. On the homotopy of simplicial algebras over an operad, Trans. Amer. Math. Soc., 352 (2000), 4113-4141. Publication. Revues MR 2000m:18015 et Zbl 0958.18005.
  8. Structures de Poisson sur une intersection complète à singularitées isolées, C. R. Acad. Sci. Paris Sér. I Math. 335 (2002), 5-10. Publication. Revues MR 2003g:13017 et Zbl 1095.13525.
  9. Une décomposition prismatique de l'opérade de Barratt-Eccles, avec Clemens Berger, C. R. Acad. Sci. Paris Sér. I Math. 335 (2002), 365-370. Publication. Revues MR 2003m:55006 et Zbl 1016.18005.
  10. La construction bar d'une algèbre comme algèbre de Hopf E-infini, C. R. Acad. Sci. Paris Sér. I Math. 337 (2003), 403-408. Publication. Revues MR 2004h:18008 et Zbl 1068.57035.
  11. Combinatorial operad actions on cochains, avec Clemens Berger, Math. Proc. Cambridge Philos. Soc. 137 (2004), 135-174. Publication. Revues MR2075046 (2005e:18013) et Zbl 1056.55006.
  12. Koszul duality of operads and homology of partition posets, in "Homotopy theory and its applications (Evanston, 2002)", Contemp. Math. 346, Amer. Math. Soc. (2004), 115-215. Manuscrit , Publication. Revues MR2066499 (2005g:18015) et Zbl 1077.18007.
  13. Théorie des opérades de Koszul et homologie des algèbres de Poisson, Ann. Math. Blaise Pascal 13 (2006), 237-312. Publication. Revues MR2275449 (2009b:17051) et Zbl 1141.55006.
  14. Modules over operads and functors, Lecture Notes in Mathematics 1967, Springer Verlag, 2009, 318 pages. Manuscrit, Publication. Revues MR2494775 et Zbl 1178.18007.
  15. Operadic cobar constructions, cylinder objects and homotopy morphisms of algebras over operads, in "Alpine perspectives on algebraic topology (Arolla, 2008)", Contemp. Math. 504, Amer. Math. Soc. (2009), 125-189. Manuscrit, Publication. Revues MR 2581912 et Zbl 1283.18007.
  16. The bar complex of an E-infinity algebra, Adv. Math. 223 (2010), pp. 2049-2096. Publication, Revues MR 2601008 et Zbl 1208.57017.
  17. Props in model categories and homotopy invariance of structures, Georgian Math. J. 17 (2010), pp. 79-160. Manuscrit, Publication. Revues MR 2640648 et Zbl 1227.18007.
  18. Iterated bar complexes of E-infinity algebras and homology theories, Alg. Geom. Topol. 11 (2011), pp. 747-838. Manuscrit, Publication. Revues MR 2782544 et Zbl 1238.57034.
  19. On mapping spaces of differential graded operads with the commutative operad as target, Math. Res. Lett. 18 (2011), pp. 215-230. Manuscrit, Publication. Revues MR 2784668 et Zbl 1241.55006.
  20. Koszul duality of En-operads, Selecta Math. 17 (2011), 363-434. Manuscrit, Publication. Revues MR 2803847 et Zbl 1248.55003. Exposé au 3rd Arolla Topology Conference, Arolla, Switzerland (2008), Présentation PDF.
  21. La catégorie des arbres élagués de Batanin est de Koszul, in"Opérades 2009 (Luminy, 2009)", Sém. Congrès 26, Soc. Math. Fr. (2013), 99-144. Manuscrit, Publication. Revues MR 2803847 et Zbl 1277.57030.
  22. Koszul duality complexes for the cohomology of iterated loop spaces of spheres, in "An Alpine expedition through algebraic topology (Arolla, 2012)", Contemp. Math. 617, Amer. Math. Soc. (2014), 165-188. Manuscrit, Publication. Revues MR 3243398 et Zbl 1339.55013.
  23. Iterated bar complexes and En-homology with coefficients, avec Stephanie Ziegenhagen, J. Pure Appl. Algebra 220 (2016), 683-710. Manuscrit, Publication. Revues MR 3399385 et Zbl 1348.57052.
  24. The cotriple resolution of differential graded algebras, Proc. Amer. Math. Soc. 144 (2016), 4693-4707. Manuscrit, Publication. Revues MR 3544521 et Zbl 1366.18007.
  25. Homotopy of operads & Grothendieck-Teichmüller groups, Mathematical Surveys and Monographs 217, American Mathematical Society, 2017, xl+534 pages (premier volume), xxxi+704 pages (second volume).
  26. The homotopy theory of operad subcategories, avec Victor Turchin et Thomas Willwacher, J. Homotopy Relat. Struct. 13 (2018), 689-702. Manuscrit, Publication.
  27. The extended rational homotopy theory of operads, Georgian Math. J. (2018). Manuscrit, Publication.

Prépublications

  1. The intrinsic formality of En-operads, avec Thomas Willwacher, prépublication arXiv:1503.08699 (2015), à paraître dans J. Eur. Math. Soc. (JEMS). Manuscrit.
  2. The rational homotopy of mapping spaces of En operads, avec Victor Turchin et Thomas Willwacher, prépublication arXiv:1703.06123 (2017). Résumé, Manuscrit.
  3. Little discs operads, graph complexes and Grothendieck-Teichmüller groups, prépublication arXiv:1811.12536 (2018). Travail en préparation pour un nouveau "handbook of homotopy theory" (Haynes Miller editeur). Manuscrit.

Notes diverses et rapports internes

  1. Functor homology and operadic homology, notes (2014). Brouillon de l'article.
  2. Iterated bar complexes and the poset of pruned trees. Addendum to the paper "Iterated bar complexes of E-infinity algebras and homology theories", notes (2008), 13 pages. Résumé, Addendum
  3. Le complexe bar itéré des En-algèbres comme un diagramme homotopique sur la catégorie des arbres élagués, prépublication (2009), 67 pages. Résumé, Article.
  4. The universal Hopf operads of the bar construction, mémoire (2007), 125 pages. Résumé, Texte.
  5. Derived division functors and mapping spaces, prépublication (2002), 34 pages. Devrait être refondu. Résumé, Article.
  6. Homologie de Poisson de surfaces à une singularité isolée, notes de calculs (1998). Article.
  7. Applications polynomiales et foncteurs polynomiaux, notes d'exposé (1997), 24 pages. Article.
  8. Structures d'opérades en algèbre homologique, mémoire d'habilitation à diriger des recherches (2002), 36 pages. Article.

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(1/11/2018)