Benoit Fresse: travaux de recherche

Présentation

Je travaille sur la théorie des opérades et ses applications en topologie algébrique et en algèbre homologique. Une opérade est une structure algébrique dont les éléments représentent des opérations. Les catégories d'algèbres usuelles, comme les algèbres associatives et commutatives, les algèbres associatives, les algèbres de Lie, et les algèbres de Poisson, sont toutes associées à des types d'opérations qui engendrent des opérades. La notion d'opérade a été introduite en topologie, fin des années 60, pour étudier la structure des espaces de lacets itérés. Les opérades ont été utilisées fructueusement dans d'autres domaines depuis lors et il est devenu clair que cette notion fournit un outil conceptuel et effectif pour gérer des structures algébriques multiples dans des contextes variés.

L'idée la plus importante introduite dans mes travaux est l'utilisation de modules sur les opérades pour comparer les catégories d'algèbres associées à des opérades. La forme la plus aboutie de ces recherches a été publiée dans la publication [14]. Le principal résultat nouveau de cette monographie est un théorème d'invariance homotopique général affirmant que, sous des hypothèses de cofibration habituelles en théorie de l'homotopie, des foncteurs associés aux modules sur les opérades préservent les équivalences d'homotopies.

Les travaux de J.-P. Serre dans les années 50 ont introduit l'idée d'utiliser l'homologie d'espaces de lacets en topologie. Mes recherches actuelles, utilisant les modules sur les opérades, m'ont permis de construire un modèle algébrique, effectif et conceptuel, pour les lacets itérés. Un résultat principal de la prépublication [2] montre ainsi que la cohomologie d'un espace de lacets n-itéré sur un espace X se détermine par une théorie homologique opéradique, définie de façon purement algébrique, que l'on applique à l'algèbre des cochaînes de X. Mon but est d'utiliser ce modèle pour comprendre la cohomologie de certains espaces de lacets itérés et déterminer des classes d'homotopies.

Publications

1. Cogroupes dans les algèbre sur une opérade, Thèse de doctorat de l'Université Louis Pasteur (Strasbourg 1), 1996, 107 pages.
2. Opérations de Cartan pour les algèbres simpliciales sur une opérade, C. R. Acad. Sci. Paris Sér. I Math. 325 (1997), 247-252. MR 98c:18009
3. Lie theory of formal groups over an operad, J. of Algebra 202 (1998), 455-511. MR 99c:14063, Publication.
4. Homologie de Quillen pour les algèbres de Poisson, C. R. Acad. Sci. Paris Sér. I Math. 326 (1998), 1053-1058. MR 99j:16001
5. Cogroups in algebras over an operad are free algebras, Comment. Math. Helv. 73 (1998), 637-676. MR 99i:18010, Publication.
6. Algèbre des descentes et cogroupes dans les algèbres sur une opérade, Bull. Soc. Math. Fr. 126 (1998), 407-433. MR 2000c:16049, Publication.
7. On the homotopy of simplicial algebras over an operad, Trans. Amer. Math. Soc., 352 (2000), 4113-4141. MR 2000m:18015 Publication.
8. Structures de Poisson sur une intersection complète à singularitées isolées, C. R. Acad. Sci. Paris Sér. I Math. 335 (2002), 5-10. MR 2003g:13017, Publication.
9. Une décomposition prismatique de l'opérade de Barratt-Eccles, avec Clemens Berger, C. R. Acad. Sci. Paris Sér. I Math. 335 (2002), 365-370. MR 2003m:55006, Publication.
10. La construction bar d'une algèbre comme algèbre de Hopf E-infini, C. R. Acad. Sci. Paris Sér. I Math. 337 (2003), 403-408. MR 2004h:18008, Publication.
11. Combinatorial operad actions on cochains, avec Clemens Berger, Math. Proc. Cambridge Philos. Soc. 137 (2004), 135-174. MR2075046 (2005e:18013), Publication.
12. Koszul duality of operads and homology of partition posets, in "Homotopy theory and its applications (Evanston, 2002)", Contemp. Math. 346, Amer. Math. Soc. (2004), 115-215. MR2066499 (2005g:18015), Article en PDF.
13. Théorie des opérades de Koszul et homologie des algèbres de Poisson, Ann. Math. Blaise Pascal 13 (2006), 237-312. MR2275449 (2009b:17051), Publication.
14. Modules over operads and functors, Lecture Notes in Mathematics 1967, Springer Verlag, 2009, 318 pages.
    • Résumé
    • Publication
    • Manuscrit (version finale) en PDF
15. Operadic cobar constructions, cylinder objects and homotopy morphisms of algebras over operads, in "Alpine perspectives on algebraic topology (Arolla, 2008)", Contemp. Math. 504, Amer. Math. Soc. (2009), 125-189. Résumé, Article en PDF.
16. The bar complex of an E-infinity algebra, Adv. Math. 223 (2010), pp. 2049--2096. Résumé, Publication.
17. Props in model categories and homotopy invariance of structures, Georgian Math. J. 17 (2010), pp. 79--160. Résumé, Publication, Manuscrit (version finale) en PDF.
18. Iterated bar complexes of E-infinity algebras and homology theories, Alg. Geom. Topol. 11 (2011), pp. 747--838. Résumé, Publication, Manuscrit (version finale) en PDF.
19. On mapping spaces of differential graded operads with the commutative operad as target, Math. Res. Lett. 18 (2011), pp. 215--230. Résumé, Publication, Manuscrit (version finale) en PDF.
20. Koszul duality of E_n-operads, Selecta Math. (sous presse), 72 pages. Résumé, Publication, Manuscrit (version finale) en PDF. Exposé au 3rd Arolla Topology Conference, Arolla, Switzerland (2008), Présentation PDF.

Prépublications sous forme finale et soumises pour publications

1. La catégorie des arbres élagués de Batanin est de Koszul, prépublication (2009), 44 pages. Résumé, Article en PDF.
2. Koszul duality complexes for the cohomology of iterated loop spaces of spheres, prépublication (2010), 23 pages. Résumé, Article in PDF.

Travaux en cours

1. Operads and Grothendieck-Teichmüller groups :
   • Preprint hal-00656333, 2012, 200 pages. Extrait du livre en préparation, et référence de travail pour le cours Operads 2012.
   • Texte de présentation des idées principales en PDF et son résumé.
   • Présentation PDF au colloque "Functor Calculus and Operads", Banff, Canada (2011).
   • Présentation PDF au colloque "16th NRW Topology Meeting", Bochum, Allemagne (2011).
2. Iterated bar complexes and the poset of pruned trees. Addendum to the paper "Iterated bar complexes of E-infinity algebras and homology theories", notes (2008), 13 pages. Résumé, Addendum en PDF
3. Le complexe bar itéré des E_n-algèbres comme un diagramme homotopique sur la catégorie des arbres élagués, prépublication (2009), 67 pages. Résumé, Article en PDF.
4. The universal Hopf operads of the bar construction, mémoire (2007), 125 pages. Résumé, Texte en PDF.
5. Derived division functors and mapping spaces, prépublication (2002), 34 pages. Devrait être refondu. Résumé, Article en PDF.
6. Homologie de Poisson de surfaces à une singularité isolée, notes de calculs (1998). Article en PDF.

Rapports internes

1. Applications polynomiales et foncteurs polynomiaux, notes d'exposé (1997), 24 pages. Article en PDF.
2. Structures d'opérades en algèbre homologique, mémoire d'habilitation à diriger des recherches (2002), 36 pages. Article en PDF.