Le complexe bar itéré des E_n-algèbres comme un diagramme homotopique sur la catégorie des arbres élagués

par Benoit Fresse
Prépublication (2009).

Résumé :

On a montré dans un précédent travail que le complexe bar n-itéré usuel des algèbres commutatives s'étend aux E_n-algèbres et détermine l'homologie naturelle associée à cette catégorie d'algèbres. On montre dans cet article que le complexe bar n-itéré d'une E_n-algèbre forme un diagramme sur un remplacement cofibrant de la catégorie des arbres élagués à n niveaux. On utilise cette construction pour montrer que l'homologie du complexe bar n-itéré de toute E_n-algèbre possède une interprétation en termes de foncteur Tor catégorique. On obtient ainsi l'extension, dans son cadre naturel, d'un résultat obtenu par Livernet et Richter pour les algèbres commutatives.

La clé de notre travail consiste à mettre en oeuvre des méthodes de la dualité de Koszul des algèbres dans le contexte des catégories différentielles graduée. On détermine par ce moyen un modèle minimal de la catégorie des arbres élagués et un petit complexe, calculant les foncteurs Tor sur cette catégorie, que l'on identifie ensuite au complexe bar n-itéré pour obtenir notre théorème principal.

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(27/8/2009)