M1 Ingénierie Mathématique. Ouverture à la physique: mécanique quantique
-- S1 Janvier 2012 - Mars 2012
Programme
Le
but de se cours est de vous familiariser suffisamment avec la mécanique
quantique pour vous permettre de lire les livres de physique sur le
sujet et d'en apprendre plus. En effet, on ne peut pas apprendre grand
chose de la mécanique quantique en vingt-quatre heures de cours-TD et l'unique moyen d'approfondir ses connaissances est la
lecture des livres de physique sur le sujet. Mais cette tâche est
difficile pour un mathématicien parce que le langage mathématique y est
utilisée de façon un peu désinvolte. Cela déroute le mathématicien qui
n'est pas habitué à suivre des raisonnements dont les hypothèses ne
sont que très partiellement explicitées. Une difficulté supplémentaire
provient de l'utilisation par les physiciens de notations un peu
étonnantes, et d'un langage coloré pour des objets mathématiques par
ailleurs simples, et souvent bien connus sous un autre nom par les
mathématiciens. Mon but est donc de vous aider à décoder tout
cela et de vous familiariser avec quelques éléments de base:
fonction d'onde, principe d'incertitude, équation de Schrödinger,
niveaux d'énergie, quantification de l'énergie et du moment cinétique,
effet tunnel, etc. L'espoir est que vous ne serez pas perdus si vous
serez, plus tard, confrontés à des problèmes de calcul scientifique sur
des modèles physiques comprenant des éléments de physique quantique.
Cours 1 et 2. Introduction à la mécanique classique. Pours un apprentissage rapide et efficace de la mécanique
quantique, quelques notions de mécanique classique, et notamment de
mécanique hamiltonienne, sont fort utiles. Je commencerai donc le cours
par une brève introduction à la mécanique classique, décrite
sommairement dans le polycopié que j'ai distribué (pages 9-17 du
document disponible ici).
Vous devriez par ailleurs revoir les bases de la mécanique du point
matériel. N'importe quel livre de mécanique élémentaire vous permettra
de le faire. J'ai fouillé pour vous à la bibliothèque et trouvé par
exemple le [BFR] dont je vous conseille d'étudier les sections
suivantes:
Chapitre 2, sections 2-6,8,9;
Chapitre 4, sections 1-6;
Chapitre 5, sections 1-4;
Chapitre 7, sections 1-4;
Chapitre 9, sections 1-2;
Chapitre 10
J'ai traité toute cette matière dans mes deux premiers cours, ce n'est
vraiment pas grand chose! Je vous recommande très vivement de prendre
le temps de lire ces passages.
IMPOPRTANT: N'oubliez par ailleurs pas de faire les exercices que je vous ai indiqués.
Cours 3. L'équation de Schrödinger. Énoncé de l'équation. Interprétation de la fonction d'onde et de sa transformée de Fourier. Équations d'Ehrenfest. Voir le poly,
pages 27-35. Un deuxième polycopié sera disponible
dès mardi 1 février, au secrétariat du M2. IMPORTANT: Allez le
chercher!!!
Cours 4. I. Deux cas solubles. (a) La particule libre: V=0. Solution explicite de l'équation de Schrödinger. Solution des équations d'Ehrenfest.
(b) L'oscillateur harmonique: V(y)=mwy^2/2. Quantification de
l'énergie. États stationnaires. État fondamental. Solution des équations d'Ehrenfest.
II. Le principe d'incertitude. Énoncé et preuve. Interprétation.
Cours 5. Potentiels carrés. États stationaires et états de diffusion. Effet tunnel. Résonances.
Cours 6. Présentation
des mini-projets: évolution libre de paquet Gaussien, définition et
étude des états cohérents semi-classiques, transmission et réflexion à
une barrière de potentiel.
L'atome d'hydrogène: un survol.
IMPORTANT: La matière traitée dans les cours 3 à 6 se
trouve dans les chapitres suivants des deux ouvrages [CTDL] et [M], qui
sont des textes universitaires classiques pour l'apprentissage de la
mécanique quantique:
[M] Ch. II.12,13,14,16,17; Ch. III ; Ch. IV.1-11; Ch. IX et XII
[CTDL] Ch. I B-C-D et Compléments G-H-J de ce chapitre; Ch.
III, Compléments A, B, C; Ch. IV TOUT (ou presque); Ch. VII TOUT
(ou presque)
Je vous recommande vivement la lecture (ou plutôt l'étude) de ces ouvrages, en accompagnement de mes cours et polycopiés.
Bibliographie
[BFR] M. Bertin, J.P. Faroux, J. Renault, Mécanique 1 (Dunod)
[CTDL] C. Cohen-Tannoudji, B. Diu, F. Laloe, Mécanique Quantique, Volume 1
[M] A. Messiah, Mécanique Quantique, Volume 1 (Dunod)
Contrôles et note finale Chacun
de vous présentera devant la classe, pendant vingt minutes à
peu près, un mini-projet, à choisir dans la liste ci-dessous (que j'élargirai au courant de la semaine prochaine), et rendra
un texte de quelques pages sur le sujet traité, par ailleurs. Les
mini-projets feront parti de la matière du cours. Il y aura un DS sur
le cours de mécanique quantique, qui aura lieu en mars. La note associée à la partie mécanique quantique du cours sera calculé de la façon suivante:
max((mini-projet+DS)/2, DS).
Une note semblable sera concoctée pour l'électromagnétisme, et la note
finale de l'unité ``Ouverture à la physique'' sera la moyenne des deux.
C'est limpide!
Projets Il est important de choisir vos projets RAPIDEMENT: au plus tard lundi 6 février. Vous pouvez travailler à deux sur le III ou le IV.
I. Présenter le problème de Kepler. (Basé sur les cours 1 et 2)
II. Présenter le Complément G du Chapitre I de [CTLD]. (Basé sur le cours 3)
III. Présenter le Complément G du Chapitre V de [CTLD]. (Basé sur le cours 4)
IV. Présenter le Complément J du Chapitre I de [CTLD]. (Basé sur le cours 5)
Exercices
Annales
L'examen de Mars 2011 est disponible ici.