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Changements de repères, applications affines, isométries

Exercice 2031 On considère les 4 points $ A$, $ B$, $ C$, $ D$ donnés. $ (A,\vec{AB},\vec{AC},\vec{AD})$ définit-il bien un nouveau repère ? Dans ce cas, trouver les formules de changements de repère exprimant les coordonnées $ (x,y,z)$ dans $ (O,\vec i, \vec j,\vec k)$ en fonction de celles $ (x',y',z')$ dans $ (A,\vec{AB},\vec{AC},\vec{AD})$.

  1. $ A(2,-1,0)$, $ B(7,-1,-1)$, $ C(-3,0,-2)$, $ D(3,-6,-3)$
  2. $ A(4,1,4)$, $ B(7,3,1)$, $ C(9,0,0)$, $ D(5,2,3)$
  3. $ A(0,-1,3)$, $ B(5,-6,4)$, $ C(-4,1,-2)$, $ D(-3,3,6)$
  4. $ A(1,1,0)$, $ B(1,5,2)$, $ C(0,-1,1)$, $ D(3,4,-1)$
  5. $ A(2,-1,4)$, $ B(0,0,1)$, $ C(3,2,-1)$, $ D(1,3,4)$
  6. $ A(4,4,2)$, $ B(5,3,2)$, $ C(4,3,3)$, $ D(3,5,2)$
  7. $ A (1,3,1)$ ,$ B (1,2,2)$ , $ C (2,-1,-4)$, $ D(0,8,6)$.


Exercice 2032 Les formules suivantes définissent-elles bien un changement de repère ? Dans ce cas, donner le changement de repère inverse.

  1. $ \left\{
\begin{array}{l}
x' = y - z + 1 \\
y' = -x - 4y + 5z + 2 \\
z' = x - 5y + 5z + 1
\end{array}\right. $

  2. $ \left\{
\begin{array}{l}
x' = 5x + 4y + 3z - 2 \\
y' = 2x + 3y + z + 2 \\
z' = 4x - y + 3z + 2
\end{array}\right. $

  3. $ \left\{
\begin{array}{l}
x' = -2x - 4y + 2z - 2 \\
y' = x + y - 5z + 1 \\
z' = -3x - 4y + 4z - 2
\end{array}\right. $

  4. $ \left\{
\begin{array}{l}
x' = 3x - 5y + z + 2 \\
y' = 2x - y + z - 1 \\
z' = -3x - 4y - z - 5
\end{array}\right. $

  5. $ \left\{
\begin{array}{l}
x' = 2x - z + 1 \\
y' = -2x + 2y + 2z - 2 \\
z' = -2x + y - z
\end{array}\right. $

  6. $ \left\{
\begin{array}{l}
x' = x - 2y - 3z + 5 \\
y' = -3x + 4y + z - 2 \\
z' = 2x - y + 6z + 3
\end{array}\right. $


Exercice 2033

On considère les droites et les plans suivants dont les équations sont données dans le repère $ (O,{\buildrel\rightarrow \over i},{\buildrel\rightarrow \over j}
,{\buildrel\rightarrow \over k})$. Donner leurs équations dans le nouveau repère $ (A,
{\buildrel\rightarrow \over {AB}}, {\buildrel\rightarrow \over {AC}},
{\buildrel\rightarrow \over {AD}})$, sachant que dans $ (O,{\buildrel\rightarrow \over i},{\buildrel\rightarrow \over j}
,{\buildrel\rightarrow \over k})$ les points $ A, B, C$ et $ D$ ont pour coordonnées respectives $ A (4,-1,2)$, $ B (2, -5, 4)$, $ C(5, 0, -3)$, $ D(1,-5,6)$.

  1. $ P : x+y=1 $
  2. $ P : 2x -3y +4z -1=0$
  3. $ P : x-y+z+3=0 $
  4. $ P : \left\{
\begin{array}{l}
x = 2t +3s + 1 \\
y = t -s +2 \\
z = 4t - 2s - 3
\end{array}\right. $

  5. $ (D):\left\{ \begin{array}{l} x+y+z=1 \ 2x-y+4z=3 \end{array}\right. $
  6. $ (D):\left\{ \begin{array}{l} 3x-y-z=-1 \ 4x-3y-z=-2 \end{array}\right. $


Exercice 2034 On considère la droite $ (D): \left\{ \begin{array}{l} y-z=3\ -x-y+2=0 \end{array} \right. $.

  1. On considère le point $ A (-2,4,1) $, les vecteurs $ {\buildrel\rightarrow \over {u}}
(1,1,1), {\buildrel\rightarrow \over {v}} (2,2,-4) $, $ {\buildrel\rightarrow \over {w}} (3,-1,,1)$ et le repère $ (A, {\buildrel\rightarrow \over {u}} ,
{\buildrel\rightarrow \over {v}} , {\buildrel\rightarrow \over {w}}) $. On note $ x',y'$et $ z'$ les coordonnées dans ce repère. Donner les formules analytiques du changement de repère exprimant $ x,y,z$ en fonction de $ x',y',z'$.

  2. Utiliser ce changement de repère pour donner dans le repère $ (A, {\buildrel\rightarrow \over {u}} ,
{\buildrel\rightarrow \over {v}} , {\buildrel\rightarrow \over {w}}) $ une équation de $ D$ .

  3. Donner les formules analytiques du changement de repère inverse.


Exercice 2035[Transformations affines et Isométries]

Soit $ P$ un plan muni d'un repère $ (O,{\buildrel\rightarrow \over i},
{\buildrel\rightarrow \over j})$ quelconque.

  1. On considère $ D$ une droite d'équation cartésienne $ 2x-y+3=0$ et $ {\buildrel\rightarrow \over u}(3,-2).$
    1. Soit $ A(4,2).$ Donner une équation paramétrique de $ D_A$ droite passant par $ A$ de direction $ {\buildrel\rightarrow \over u}.$ En déduire les coordonnées de $ A'=D_A\cap D$ projeté de $ A$ sur $ D$ selon $ {\buildrel\rightarrow \over u}.$

    2. Définir plus généralement analytiquement la projection sur $ D$ selon $ {\buildrel\rightarrow \over u}$ en exprimant les coordonnées $ x',$ $ y'$ de $ M'$ projeté de $ M(x,y)$ en fonction de $ x$ et $ y.$
  2. Définir analytiquement les projections sur $ D$ selon $ \Delta$ dans les cas suivants :
    1. $ \Delta$ d'équation $ x-2y+1=0.$
    2. $ \Delta$ d'équation $ 3x+2y+2=0.$
    3. $ \Delta$ d'équation $ x+y-1=0.$
    4. $ \Delta$ d'équation $ 2x-2y+4=0.$


Exercice 2036 Soit $ P$ un plan muni d'un repère $ (O,{\buildrel\rightarrow \over i},
{\buildrel\rightarrow \over j})$ quelconque.

  1. Donner l'expression analytique de la translation $ t_1$ de vecteur $ (1,2).$
  2. Donner l'expression analytique de la translation $ t_2$ de vecteur $ (-1,2).$
  3. Donner l'expression analytique de l'homothétie $ h_1$ de centre l'origine du repère et de rapport 2 et de l'homothétie $ h_2$ de centre $ A(2,-1)$ de rapport 3.
  4. Donner l'expression analytique de $ t_1\circ h_1,$ $ t_2\circ h_2,$ $ h_1\circ t_1,$ $ h_2\circ t_2.$
  5. Soit $ M(x,y)$ un point de $ P$. Donner les coordonnées du symétrique de $ M$ par rapport à la droite d'équation $ y=ax+b.$


Exercice 2037

  1. On considère $ S_1$ la transformation du plan définie par le système d'équations suivant :

    $ x'= {\sqrt 3 \over 2} x + {1 \over 2} y -1,\
y'=-{1\over 2}x + {\sqrt 3 \over 2}y +2.$ Reconnaître cette transformation.

  2. De même avec la transformation $ S_2$ définie par $ x'= 5{\sqrt 2} x + 5{\sqrt 2} y,\
y'=-5{\sqrt 2}x + 5{\sqrt 2}y.$

  3. On compose $ S_1$ avec $ S_2$. Donner l'expression de $ S_1 \circ S_2$, et trouver la nature de cette transformation.


Exercice 2038

  1. Soit $ f$ la transformation de l'espace définie analytiquement par

    $\displaystyle \left\{\begin{array}{ll}x'=&-3x+2y-2z+4\ y'=&-8x+5y-4z+8\ z'=&-4x+2y-z+4
\end{array}\right.$

    1. Déterminer l'ensemble $ P$ des points invariants par $ f.$

    2. Montrer que pour $ M$ d'image $ M',$ le milieu de $ [MM']$ est dans $ P,$ (MM') est parallèle à une direction fixe.

    3. En déduire une description simple de $ f.$

  2. Soit $ f$ la transformation de l'espace définie analytiquement par

    $\displaystyle \left\{\begin{array}{ll}x'={1\over 3}(&2x-y-z+1)\ y'={1\over 3}(&-x+2y-z+1)\ z'={1\over 3}(&-x-y+2z+1)
\end{array}\right.$

    1. Déterminer l'ensemble $ P$ des points invariants par $ f.$

    2. Montrer que pour $ M$ d'image $ M'$ le vecteur $ \vec{MM'}$ est colinéaire à un vecteur fixe.

    3. En déduire une description simple de $ f.$


Exercice 2039

  1. Définir analytiquement les projections orthogonales suivantes :
    1. sur le plan d'équation $ 2x+2y-z=1.$

    2. sur le plan d'équation $ 2x-3y+z=6.$
    3. sur la droite d'équation $ \left\{\begin{array}{l}x+y+z=1 \ 2x-z=2 \end{array}\right..$
  2. Donner l'expression analytique de la projection sur le plan $ (P)$ contenant le point $ C(2,-1,1)$ et ayant pour vecteurs directeurs $ \vec {u}(0,-1,1)$ et $ \vec {u'}(-2,0,1)$, selon la droite $ AB$, où $ A(1,-1,0)$ et $ B(0,-1,3)$.


Exercice 2040

Dans le plan muni d'un repère orthonormé direct $ (O,\vec{OI},\vec{OJ})$.

  1. Soit $ f$ la transformation du plan définie analytiquement par

    $\displaystyle \left\{\begin{array}{ll}x'=&{1\over \sqrt{5}}(x+2y-1)\ y'=&{1\over \sqrt{5}}
(-2x+y+2)\end{array}\right.$

    1. Calculer les coordonnées de $ O'$, $ I'$, $ J'$ les images par $ f$ des points $ O$, $ I$, $ J$.

    2. Montrer que le repère $ (O',\vec{O'I'},\vec{O'J'})$ est orthonormé, est-il direct ?

    3. En déduire que $ f$ est une isométrie, est-elle directe ?

    4. Déterminer l'ensemble des points invariants par $ f$ et reconnaitre $ f$.

    5. Donner l'expression analytique de la transformation inverse de $ f$.

    6. Calculer l'image par $ f$ la droite d'équation $ 2x-y-1=0$.

  2. Donner l'expression analytique de la rotation de centre $ A(1,1)$ et d'angle $ \pi\over 3$, calculer l'image de 0 par cette transformation.

  3. Même question pour la symétrie d'axe la droite d'équation $ x+y+1=0$

  4. Donner l'expression analytique de la composée des deux applications précédentes.


Exercice 2041 Dans le plan cartésien identifié à $ \mathbb{C}$, un point $ M$ est représenté par son affixe $ z$.

  1. Dessiner les ensembles suivants puis les exprimer en fonction de $ (x,y)$ ($ (z=x+iy)$) :

    (i) $ z+\overline{z}=1$ (ii) $ z-\overline{z}=i$ (iii) $ iz-i\overline{z}=1$

  2. Donner l'expression analytique en complexe des transformations suivantes, puis calculer l'image de $ i$ par ces transformations :
    1. la rotation de centre $ 1+i$ et d'angle $ \pi\over 3$,

    2. la symétrie d'axe la droite d'équation $ iz-i\overline{z}=1$,

    3. la composée des deux applications précédentes.

  3. Soit $ f$ la transformation du plan définie analytiquement par $ z'= (1+i)z+ 1$.

    1. Déterminer l'ensemble des points invariants par $ f$.

    2. Donner l'expression analytique de la transformation inverse de $ f$.

    3. Calculer l'image par $ f$ de l'ensemble $ z+\overline{z}=1$.

    4. Ecrire $ f$ comme la composée d'une homothétie et d'une isométrie.


Exercice 2042 Tout ce problème se situe dans l'espace euclidien tridimensionnel muni d'un repère orthonormé direct $ \mathcal R
= (0,\overrightarrow{i}, \overrightarrow{j},\overrightarrow{k})$.

  1. On considère les deux droites $ d$ et $ D$ données par les systèmes d'équations cartésiennes suivant :

    \begin{displaymath}d \left\lbrace
\begin{array}{ll} x +y-3z& = 0\cr y +z& =0 \end{array}\right.\end{displaymath}et $ D\left\lbrace \begin{array}{ll}x -1& = 0 \cr y - z -1& =0 \end{array}\right.$

      1. Donner un point et un vecteur directeur de $ d$. Donner un point et un vecteur directeur de $ D$.

      2. Dire si les droites $ d$ et $ D$ sont parallèles, sécantes ou non coplanaires.

      3. Justifier l'existence de deux plans parallèles (en donnant pour chacun de ces deux plans un point et deux vecteurs directeurs) tels que $ d$ est contenue dans l'un et $ D$ est contenue dans l'autre.

      1. Soient $ \overrightarrow{u}$ le vecteur de coordonnées $ (4,-1,1)$ dans $ \mathcal R$, $ \overrightarrow{v}$ le vecteur de coordonnées $ (0,1,1)$ dans $ \mathcal R$ et $ \Omega$ le point de coordonnées $ (1,1,0)$ dans $ \mathcal R$.

        Déterminer une équation cartésienne pour le plan $ P$ de repère cartésien $ (O,\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})$, en déduire une équation cartésienne pour le plan $ Q$ de repère cartésien $ (\Omega,\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})$.

      2. Donner des équations paramétriques pour la droite $ \Delta$ normale à $ P$ passant par $ O$. Déterminer les deux points $ \Delta\cap P$ et $ \Delta\cap Q$ puis calculer la distance entre eux.

    Interpréter cette distance.

  2. On considère les vecteurs de l'espace $ \overrightarrow{a} = ({1\over 3}, {2\over 3}, -{2\over 3})$, $ \overrightarrow{b} = ({2\over 3}, {1\over 3}, {2\over 3})$, $ \overrightarrow{c} = ({-2\over 3}, {2\over 3}, {1\over 3}).$

    1. Montrer que $ (0, \overrightarrow{a},\overrightarrow{b},
\overrightarrow{c})$ est un repère orthonormé. Est-il direct ?

    2. Ecrire les formules de changement de repères de $ \mathcal R$ à $ (0, \overrightarrow{a},\overrightarrow{b},
\overrightarrow{c})$.

    3. Quelle est l'équation dans le repère $ (0, \overrightarrow{a},\overrightarrow{b},
\overrightarrow{c})$ du plan d'équation $ x+2y-2z = 0$ dans $ \mathcal R$ ? Même question avec le plan d'équation $ x+2y-2z= 3$ dans $ \mathcal R$.


Exercice 2043 Tout ce problème se situe dans l'espace euclidien tridimensionnel muni d'un repère orthonormé direct $ \mathcal R
= (O,\overrightarrow{i}, \overrightarrow{j},\overrightarrow{k})$. On définit les trois points : $ A=(3, \sqrt{6},3)$, $ B=(3, -\sqrt{6},3)$ et $ C=(4,0,0)$.

    1. Montrer que les points $ O$, $ A$ et $ B$ ne sont pas alignés et donner une équation cartésienne du plan $ P$ contenant $ O$, $ A$ et $ B$.
    2. Calculer les distances $ OA$, $ OB$ et $ AB$. En déduire la nature du triangle $ OAB$.
    3. Les points $ O, A, B$ et $ C$ sont-ils coplanaires ?

  1. Soit $ G$ le barycentre des points $ O$, $ A$, $ B$ et $ C$, c'est à dire, par définition l'unique point $ G$ de l'espace tel que : $ \overrightarrow{GO}+\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=
\overrightarrow{0}$.
    1. Montrer que $ \overrightarrow{OG}= {1\over 4}(
\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}).$
    2. En déduire les coordonnées de $ G$ dans $ \mathcal R$.

    1. Montrer que la droite $ (GC)$ est perpendiculaire au plan $ P$.
    2. Calculer les coordonnées du point d'intersection de la droite $ (GC)$ avec le plan $ P$.

  2. Montrer que la transformation de l'espace définie par les formules : $ (x'=x, y'=-y, z'=z)$ est une isométrie. Quels sont ses points fixes ? Déterminer les images des points $ O,A,B,C$ par cette isométrie. Que remarque-t-on ?


Exercice 2044 L'espace est rapporté à un repère orthonormé direct $ (0,\vec{\strut\imath},\vec{\strut\jmath},\vec{\strut k})$. On définit les points

$\displaystyle A :  (1,2,3) \; ; \quad B :  (2,3,1) \; ; \quad C :  (3,1,2) \; ;
\quad D :\; (1,1,1)$

et le plan

$\displaystyle \Pi : 2x-3y+4z=0.$

  1. Montrer que les points $ A, B, C$ ne sont pas alignés.
  2. Montrer que les points $ A, B, C, D$ ne sont pas coplanaires.
  3. Donner une équation cartésienne du plan $ P$ passant par $ A, B, C$.
  4. Calculer la distance de $ D$ au plan $ P$.
  5. Donner une représentation paramétrique de la droite $ d=P\cap\Pi$.


Exercice 2045 Soient $ A$, $ B$ et $ C$ trois points distincts et non alignés de l'espace affine tridimensionnel $ \mathcal E$. On note $ P$ le plan qui contient $ A$, $ B$ et $ C$. Soit $ O$ un point de $ \mathcal E$ n'appartenant pas à $ P$.

    1. Expliquer rapidement pourquoi $ \mathcal R = (O,\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB},
\overrightarrow{OC})$ est un repère cartésien de $ \mathcal E$.
    2. Dans ce repère $ \mathcal R$, écrire les coordonnées des points $ O$, $ A$, $ B$ et $ C$, et déterminer une équation cartésienne du plan $ P$.

  1. Soit $ A'$ le point de la droite $ (OA)$ tel que $ \overrightarrow{OA'}= 2 \overrightarrow{OA}$. On note $ P'$ le plan parallèle à $ P$ passant par $ A'$. $ P'$ coupe $ (OB)$ en $ B'$ et $ (OC)$ en $ C'$.

    Dans $ \mathcal R$, écrire les coordonnées des points $ A'$, $ B'$ et $ C'$ et déterminer des équations paramétriques pour les droites $ (BC')$ et $ (B'C)$, en déduire des équations cartésiennes de ces droites.

    Calculer les coordonnées des points $ I=(BC')\cap(B'C)$, $ J=(AC')\cap (A'C)$ et $ K=(AB')\cap(A'B)$.

  2. Soit $ A''$ le point de la droite $ (OA)$ tel que $ \overrightarrow{OA''}=-{ 2\over 3} \overrightarrow{OA}$. On note $ P''$ le plan parallèle à $ P$ passant par $ A''$. $ P''$ coupe $ (OB)$ en $ B''$ et $ (OC)$ en $ C''$.

    Montrer que les droites $ (IA'')$, $ (JB'')$, $ (KC'')$ sont parallèles.




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Arnaud Bodin 2004-06-24