Changements de repères, applications affines, isométries

Exercice 2031 On considère les 4 points $A$, $B$, $C$, $D$ donnés. $(A,\vec{AB},\vec{AC},\vec{AD})$ définit-il bien un nouveau repère ? Dans ce cas, trouver les formules de changements de repère exprimant les coordonnées $(x,y,z)$ dans $(O,\vec i, \vec j,\vec k)$ en fonction de celles $(x',y',z')$ dans $(A,\vec{AB},\vec{AC},\vec{AD})$.

1. $A(2,-1,0)$, $B(7,-1,-1)$, $C(-3,0,-2)$, $D(3,-6,-3)$
2. $A(4,1,4)$, $B(7,3,1)$, $C(9,0,0)$, $D(5,2,3)$
3. $A(0,-1,3)$, $B(5,-6,4)$, $C(-4,1,-2)$, $D(-3,3,6)$
4. $A(1,1,0)$, $B(1,5,2)$, $C(0,-1,1)$, $D(3,4,-1)$
5. $A(2,-1,4)$, $B(0,0,1)$, $C(3,2,-1)$, $D(1,3,4)$
6. $A(4,4,2)$, $B(5,3,2)$, $C(4,3,3)$, $D(3,5,2)$
7. $A (1,3,1)$ ,$B (1,2,2)$ , $C (2,-1,-4)$, $D(0,8,6)$.

Exercice 2032 Les formules suivantes définissent-elles bien un changement de repère ? Dans ce cas, donner le changement de repère inverse.

1. $\left\{ \begin{array}{l} x' = y - z + 1 \\ y' = -x - 4y + 5z + 2 \\ z' = x - 5y + 5z + 1 \end{array}\right.$

2. $\left\{ \begin{array}{l} x' = 5x + 4y + 3z - 2 \\ y' = 2x + 3y + z + 2 \\ z' = 4x - y + 3z + 2 \end{array}\right.$

3. $\left\{ \begin{array}{l} x' = -2x - 4y + 2z - 2 \\ y' = x + y - 5z + 1 \\ z' = -3x - 4y + 4z - 2 \end{array}\right.$

4. $\left\{ \begin{array}{l} x' = 3x - 5y + z + 2 \\ y' = 2x - y + z - 1 \\ z' = -3x - 4y - z - 5 \end{array}\right.$

5. $\left\{ \begin{array}{l} x' = 2x - z + 1 \\ y' = -2x + 2y + 2z - 2 \\ z' = -2x + y - z \end{array}\right.$

6. $\left\{ \begin{array}{l} x' = x - 2y - 3z + 5 \\ y' = -3x + 4y + z - 2 \\ z' = 2x - y + 6z + 3 \end{array}\right.$

Exercice 2033

On considère les droites et les plans suivants dont les équations sont données dans le repère $(O,{\buildrel\rightarrow \over i},{\buildrel\rightarrow \over j} ,{\buildrel\rightarrow \over k})$. Donner leurs équations dans le nouveau repère $(A, {\buildrel\rightarrow \over {AB}}, {\buildrel\rightarrow \over {AC}}, {\buildrel\rightarrow \over {AD}})$, sachant que dans $(O,{\buildrel\rightarrow \over i},{\buildrel\rightarrow \over j} ,{\buildrel\rightarrow \over k})$ les points $A, B, C$ et $D$ ont pour coordonnées respectives $A (4,-1,2)$, $B (2, -5, 4)$, $C(5, 0, -3)$, $D(1,-5,6)$.

1. $P : x+y=1$
2. $P : 2x -3y +4z -1=0$
3. $P : x-y+z+3=0$
4. $P : \left\{ \begin{array}{l} x = 2t +3s + 1 \\ y = t -s +2 \\ z = 4t - 2s - 3 \end{array}\right.$

5. $(D):\left\{ \begin{array}{l} x+y+z=1 \ 2x-y+4z=3 \end{array}\right.$
6. $(D):\left\{ \begin{array}{l} 3x-y-z=-1 \ 4x-3y-z=-2 \end{array}\right.$

Exercice 2034 On considère la droite $(D): \left\{ \begin{array}{l} y-z=3\ -x-y+2=0 \end{array} \right.$.

1. On considère le point $A (-2,4,1)$, les vecteurs ${\buildrel\rightarrow \over {u}} (1,1,1), {\buildrel\rightarrow \over {v}} (2,2,-4)$, ${\buildrel\rightarrow \over {w}} (3,-1,,1)$ et le repère $(A, {\buildrel\rightarrow \over {u}} , {\buildrel\rightarrow \over {v}} , {\buildrel\rightarrow \over {w}})$. On note $x',y'$et $z'$ les coordonnées dans ce repère. Donner les formules analytiques du changement de repère exprimant $x,y,z$ en fonction de $x',y',z'$.

2. Utiliser ce changement de repère pour donner dans le repère $(A, {\buildrel\rightarrow \over {u}} , {\buildrel\rightarrow \over {v}} , {\buildrel\rightarrow \over {w}})$ une équation de $D$ .

3. Donner les formules analytiques du changement de repère inverse.

Exercice 2035[Transformations affines et Isométries]

Soit $P$ un plan muni d'un repère $(O,{\buildrel\rightarrow \over i}, {\buildrel\rightarrow \over j})$ quelconque.

1. On considère $D$ une droite d'équation cartésienne $2x-y+3=0$ et ${\buildrel\rightarrow \over u}(3,-2).$
   1. Soit $A(4,2).$ Donner une équation paramétrique de $D_A$ droite passant par $A$ de direction ${\buildrel\rightarrow \over u}.$ En déduire les coordonnées de $A'=D_A\cap D$ projeté de $A$ sur $D$ selon ${\buildrel\rightarrow \over u}.$

   2. Définir plus généralement analytiquement la projection sur $D$ selon ${\buildrel\rightarrow \over u}$ en exprimant les coordonnées $x',$ $y'$ de $M'$ projeté de $M(x,y)$ en fonction de $x$ et $y.$
      
2. Définir analytiquement les projections sur $D$ selon $\Delta$ dans les cas suivants :
   1. $\Delta$ d'équation $x-2y+1=0.$
   2. $\Delta$ d'équation $3x+2y+2=0.$
   3. $\Delta$ d'équation $x+y-1=0.$
   4. $\Delta$ d'équation $2x-2y+4=0.$

Exercice 2036 Soit $P$ un plan muni d'un repère $(O,{\buildrel\rightarrow \over i}, {\buildrel\rightarrow \over j})$ quelconque.

1. Donner l'expression analytique de la translation $t_1$ de vecteur $(1,2).$
   
2. Donner l'expression analytique de la translation $t_2$ de vecteur $(-1,2).$
   
3. Donner l'expression analytique de l'homothétie $h_1$ de centre l'origine du repère et de rapport 2 et de l'homothétie $h_2$ de centre $A(2,-1)$ de rapport 3.
   
4. Donner l'expression analytique de $t_1\circ h_1,$ $t_2\circ h_2,$ $h_1\circ t_1,$ $h_2\circ t_2.$
5. Soit $M(x,y)$ un point de $P$. Donner les coordonnées du symétrique de $M$ par rapport à la droite d'équation $y=ax+b.$

Exercice 2037

1. On considère $S_1$ la transformation du plan définie par le système d'équations suivant :

   $x'= {\sqrt 3 \over 2} x + {1 \over 2} y -1,\ y'=-{1\over 2}x + {\sqrt 3 \over 2}y +2.$ Reconnaître cette transformation.

2. De même avec la transformation $S_2$ définie par $x'= 5{\sqrt 2} x + 5{\sqrt 2} y,\ y'=-5{\sqrt 2}x + 5{\sqrt 2}y.$

3. On compose $S_1$ avec $S_2$. Donner l'expression de $S_1 \circ S_2$, et trouver la nature de cette transformation.

Exercice 2038

1. Soit $f$ la transformation de l'espace définie analytiquement par
   $$\left\{\begin{array}{ll}x'=&-3x+2y-2z+4\ y'=&-8x+5y-4z+8\ z'=&-4x+2y-z+4 \end{array}\right.$$
   1. Déterminer l'ensemble $P$ des points invariants par $f.$

   2. Montrer que pour $M$ d'image $M',$ le milieu de $[MM']$ est dans $P,$ (MM') est parallèle à une direction fixe.

   3. En déduire une description simple de $f.$

2. Soit $f$ la transformation de l'espace définie analytiquement par
   $$\left\{\begin{array}{ll}x'={1\over 3}(&2x-y-z+1)\ y'={1\over 3}(&-x+2y-z+1)\ z'={1\over 3}(&-x-y+2z+1) \end{array}\right.$$
   1. Déterminer l'ensemble $P$ des points invariants par $f.$

   2. Montrer que pour $M$ d'image $M'$ le vecteur $\vec{MM'}$ est colinéaire à un vecteur fixe.

   3. En déduire une description simple de $f.$

Exercice 2039

1. Définir analytiquement les projections orthogonales suivantes :
   1. sur le plan d'équation $2x+2y-z=1.$

   2. sur le plan d'équation $2x-3y+z=6.$
   3. sur la droite d'équation $\left\{\begin{array}{l}x+y+z=1 \ 2x-z=2 \end{array}\right..$
2. Donner l'expression analytique de la projection sur le plan $(P)$ contenant le point $C(2,-1,1)$ et ayant pour vecteurs directeurs $\vec {u}(0,-1,1)$ et $\vec {u'}(-2,0,1)$, selon la droite $AB$, où $A(1,-1,0)$ et $B(0,-1,3)$.

Exercice 2040

Dans le plan muni d'un repère orthonormé direct $(O,\vec{OI},\vec{OJ})$.

1. Soit $f$ la transformation du plan définie analytiquement par
   $$\left\{\begin{array}{ll}x'=&{1\over \sqrt{5}}(x+2y-1)\ y'=&{1\over \sqrt{5}} (-2x+y+2)\end{array}\right.$$
   1. Calculer les coordonnées de $O'$, $I'$, $J'$ les images par $f$ des points $O$, $I$, $J$.

   2. Montrer que le repère $(O',\vec{O'I'},\vec{O'J'})$ est orthonormé, est-il direct ?

   3. En déduire que $f$ est une isométrie, est-elle directe ?

   4. Déterminer l'ensemble des points invariants par $f$ et reconnaitre $f$.

   5. Donner l'expression analytique de la transformation inverse de $f$.

   6. Calculer l'image par $f$ la droite d'équation $2x-y-1=0$.

2. Donner l'expression analytique de la rotation de centre $A(1,1)$ et d'angle $\pi\over 3$, calculer l'image de 0 par cette transformation.

3. Même question pour la symétrie d'axe la droite d'équation $x+y+1=0$

4. Donner l'expression analytique de la composée des deux applications précédentes.

Exercice 2041 Dans le plan cartésien identifié à $\mathbb{C}$, un point $M$ est représenté par son affixe $z$.

1. Dessiner les ensembles suivants puis les exprimer en fonction de $(x,y)$ ($(z=x+iy)$) :

   (i) $z+\overline{z}=1$ (ii) $z-\overline{z}=i$ (iii) $iz-i\overline{z}=1$

2. Donner l'expression analytique en complexe des transformations suivantes, puis calculer l'image de $i$ par ces transformations :
   1. la rotation de centre $1+i$ et d'angle $\pi\over 3$,

   2. la symétrie d'axe la droite d'équation $iz-i\overline{z}=1$,

   3. la composée des deux applications précédentes.

3. Soit $f$ la transformation du plan définie analytiquement par $z'= (1+i)z+ 1$.
   1. Déterminer l'ensemble des points invariants par $f$.

   2. Donner l'expression analytique de la transformation inverse de $f$.

   3. Calculer l'image par $f$ de l'ensemble $z+\overline{z}=1$.

   4. Ecrire $f$ comme la composée d'une homothétie et d'une isométrie.

Exercice 2042 Tout ce problème se situe dans l'espace euclidien tridimensionnel muni d'un repère orthonormé direct $\mathcal R = (0,\overrightarrow{i}, \overrightarrow{j},\overrightarrow{k})$.

1. On considère les deux droites $d$ et $D$ données par les systèmes d'équations cartésiennes suivant :

   $$d \left\lbrace \begin{array}{ll} x +y-3z& = 0\cr y +z& =0 \end{array}\right.$$et $D\left\lbrace \begin{array}{ll}x -1& = 0 \cr y - z -1& =0 \end{array}\right.$

   1. 1. Donner un point et un vecteur directeur de $d$. Donner un point et un vecteur directeur de $D$.

      2. Dire si les droites $d$ et $D$ sont parallèles, sécantes ou non coplanaires.

      3. Justifier l'existence de deux plans parallèles (en donnant pour chacun de ces deux plans un point et deux vecteurs directeurs) tels que $d$ est contenue dans l'un et $D$ est contenue dans l'autre.

   2. 1. Soient $\overrightarrow{u}$ le vecteur de coordonnées $(4,-1,1)$ dans $\mathcal R$, $\overrightarrow{v}$ le vecteur de coordonnées $(0,1,1)$ dans $\mathcal R$ et $\Omega$ le point de coordonnées $(1,1,0)$ dans $\mathcal R$.

         Déterminer une équation cartésienne pour le plan $P$ de repère cartésien $(O,\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})$, en déduire une équation cartésienne pour le plan $Q$ de repère cartésien $(\Omega,\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})$.

      2. Donner des équations paramétriques pour la droite $\Delta$ normale à $P$ passant par $O$. Déterminer les deux points $\Delta\cap P$ et $\Delta\cap Q$ puis calculer la distance entre eux.

   Interpréter cette distance.

2. On considère les vecteurs de l'espace $\overrightarrow{a} = ({1\over 3}, {2\over 3}, -{2\over 3})$, $\overrightarrow{b} = ({2\over 3}, {1\over 3}, {2\over 3})$, $\overrightarrow{c} = ({-2\over 3}, {2\over 3}, {1\over 3}).$
   1. Montrer que $(0, \overrightarrow{a},\overrightarrow{b}, \overrightarrow{c})$ est un repère orthonormé. Est-il direct ?

   2. Ecrire les formules de changement de repères de $\mathcal R$ à $(0, \overrightarrow{a},\overrightarrow{b}, \overrightarrow{c})$.

   3. Quelle est l'équation dans le repère $(0, \overrightarrow{a},\overrightarrow{b}, \overrightarrow{c})$ du plan d'équation $x+2y-2z = 0$ dans $\mathcal R$ ? Même question avec le plan d'équation $x+2y-2z= 3$ dans $\mathcal R$.

Exercice 2043 Tout ce problème se situe dans l'espace euclidien tridimensionnel muni d'un repère orthonormé direct $\mathcal R = (O,\overrightarrow{i}, \overrightarrow{j},\overrightarrow{k})$. On définit les trois points : $A=(3, \sqrt{6},3)$, $B=(3, -\sqrt{6},3)$ et $C=(4,0,0)$.

1. 1. Montrer que les points $O$, $A$ et $B$ ne sont pas alignés et donner une équation cartésienne du plan $P$ contenant $O$, $A$ et $B$.
   2. Calculer les distances $OA$, $OB$ et $AB$. En déduire la nature du triangle $OAB$.
   3. Les points $O, A, B$ et $C$ sont-ils coplanaires ?

2. Soit $G$ le barycentre des points $O$, $A$, $B$ et $C$, c'est à dire, par définition l'unique point $G$ de l'espace tel que : $\overrightarrow{GO}+\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}= \overrightarrow{0}$.
   1. Montrer que $\overrightarrow{OG}= {1\over 4}( \overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}).$
   2. En déduire les coordonnées de $G$ dans $\mathcal R$.

3. 1. Montrer que la droite $(GC)$ est perpendiculaire au plan $P$.
   2. Calculer les coordonnées du point d'intersection de la droite $(GC)$ avec le plan $P$.

4. Montrer que la transformation de l'espace définie par les formules : $(x'=x, y'=-y, z'=z)$ est une isométrie. Quels sont ses points fixes ? Déterminer les images des points $O,A,B,C$ par cette isométrie. Que remarque-t-on ?

Exercice 2044 L'espace est rapporté à un repère orthonormé direct $(0,\vec{\strut\imath},\vec{\strut\jmath},\vec{\strut k})$. On définit les points

$$A : (1,2,3) \; ; \quad B : (2,3,1) \; ; \quad C : (3,1,2) \; ; \quad D :\; (1,1,1)$$

et le plan

$$\Pi : 2x-3y+4z=0.$$

1. Montrer que les points $A, B, C$ ne sont pas alignés.
2. Montrer que les points $A, B, C, D$ ne sont pas coplanaires.
3. Donner une équation cartésienne du plan $P$ passant par $A, B, C$.
4. Calculer la distance de $D$ au plan $P$.
5. Donner une représentation paramétrique de la droite $d=P\cap\Pi$.

Exercice 2045 Soient $A$, $B$ et $C$ trois points distincts et non alignés de l'espace affine tridimensionnel $\mathcal E$. On note $P$ le plan qui contient $A$, $B$ et $C$. Soit $O$ un point de $\mathcal E$ n'appartenant pas à $P$.

1. 1. Expliquer rapidement pourquoi $\mathcal R = (O,\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB}, \overrightarrow{OC})$ est un repère cartésien de $\mathcal E$.
   2. Dans ce repère $\mathcal R$, écrire les coordonnées des points $O$, $A$, $B$ et $C$, et déterminer une équation cartésienne du plan $P$.

2. Soit $A'$ le point de la droite $(OA)$ tel que $\overrightarrow{OA'}= 2 \overrightarrow{OA}$. On note $P'$ le plan parallèle à $P$ passant par $A'$. $P'$ coupe $(OB)$ en $B'$ et $(OC)$ en $C'$.

   Dans $\mathcal R$, écrire les coordonnées des points $A'$, $B'$ et $C'$ et déterminer des équations paramétriques pour les droites $(BC')$ et $(B'C)$, en déduire des équations cartésiennes de ces droites.

   Calculer les coordonnées des points $I=(BC')\cap(B'C)$, $J=(AC')\cap (A'C)$ et $K=(AB')\cap(A'B)$.

3. Soit $A''$ le point de la droite $(OA)$ tel que $\overrightarrow{OA''}=-{ 2\over 3} \overrightarrow{OA}$. On note $P''$ le plan parallèle à $P$ passant par $A''$. $P''$ coupe $(OB)$ en $B''$ et $(OC)$ en $C''$.

   Montrer que les droites $(IA'')$, $(JB'')$, $(KC'')$ sont parallèles.