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Géométrie analytique dans l'espace

Exercice 2010 Les quatre points $ A$, $ B$, $ C$ et $ D$ de l'espace sont-ils coplanaires ? Si oui, donner une équation cartésienne du plan qui les contient :

  1. $ A(1,2,2)$, $ B(-1,-2,-1)$, $ C(3,4,4)$ et $ D(-2,3,1)$.
  2. $ A(0,1,3)$, $ B(1,2,-1)$, $ C(1,1,-1)$ et $ D(1,2,2)$.
  3. $ A(-1,2,4)$, $ B(3,-3,0)$, $ C(1,3,4)$ et $ D(5,1,-6)$.
  4. $ A(2,-1,0)$, $ B(0,-4,5)$, $ C(4,-13,13)$ et $ D(-4,5,-3)$.


Exercice 2011

  1. Trouver une équation du plan $ (P)$ défini par les éléments suivants.

    1. $ A$, $ B$ et $ C$ sont des points de $ (P)$

      1. $ A(0,0,1)$, $ B(1,0,0)$ et $ C(0,1,0)$.
      2. $ A(1,1,1)$, $ B(2,0,1)$ et $ C(-1,2,4)$.
      3. $ A(5,0,-1)$, $ B(1,3,-2)$ et $ C(-2,4,5)$.

    2. $ A$ est un point de $ (P)$, $ \vec{u}$ et $ \vec{v} $ sont des vecteurs directeurs de $ (P)$
      1. $ A(1,2,1)$, $ \vec{u} (4,0,3)$ et $ \vec{v} (1,3,-1)$.
      2. $ A(1,0,2)$, $ \vec u(2,-1,3)$ et $ \vec v(-1,4,5)$.

    3. $ A$ est un point de $ (P)$, $ D$ est une droite contenue dans $ (P)$

      1. $ A(4,1,-3)$ et $ (D) : \left\{ \begin{array}{l}
x + y - z + 3 = 0 \\
4x - y + 2z = 0
\end{array} \right.$
      2. $ A(1,1,0)$ et $ (D) : \left\{ \begin{array}{l}
x = t \\
y = -1 + 2t \\
z = 1 - 3t
\end{array} \right.$

    4. $ D$ et $ D'$ sont des droites contenues dans $ (P)$

      1. $ (D) :\left\{ \begin{array}{l}
x + y - z + 3 = 0\\
x - y - 2 = 0
\end{array} \right.$ et $ (D') : \left\{ \begin{array}{l}
3x - y - z + 5 = 0 \\
x + y - z + 1 =0
\end{array} \right.$

      2. $ (D) :\left\{ \begin{array}{l}
x + 2y - z + 1 = 0\\
x + 3y + z - 4 = 0
\end{array} \right.$ et $ (D') : \left\{ \begin{array}{l}
2x + y - 3z + 7 = 0 \\
3x + 2y + z - 1 =0
\end{array} \right.$
  2. Montrer que les représentations paramétriques suivantes définissent le même plan :

    $ \left\{ \begin{array}{l}x=2+s+2t \ y=2+2s+t \ z=1-s-t \end{array} \right.$ et $ \left\{ \begin{array}{l} x=1+3u-v\ y=3+3u+v\ z=1-2u \end{array} \right.$



Exercice 2012 Les plans suivants sont-ils parallèles ou sécants? Dans ce dernier cas, donner un vecteur directeur de la droite $ (D)=(P) \cap (P')$.

  1. $ (P): 5x-y-1=0$ et $ (P'): z=3$.
  2. $ (P): x+y+z+1=0$ et $ (P'): 2x-y+3z+2=0$.
  3. $ (P): 2x-z+1=0$ et $ (P'): 4x-3y+2z+5=0$.
  4. $ (P): 4x-6y+8z-1=0$ et $ (P'): -6x+12y-9z+11=0$.


Exercice 2013 Quelle est la nature de l'intersection des trois plans suivants? Si c'est un point en donner les coordonnées, si c'est une droite en donner un vecteur directeur.

  1. $ (P): z=1$, $ (P'): x-y-2=0$ et $ (P''): 4x-2y+z+2=0$.
  2. $ (P): 4x-2y+3z+5=0$, $ (P'): 3x+y-z+2=0$ et $ (P''): x-y+z+1=0$.
  3. $ (P): 4x-2y+10z-4=0$, $ (P'): -10x+5y-25z+13=0$ et $ (P''): x+y-z+1=0$.
  4. $ (P): 3x-y+2z-5=0$, $ (P'): x-y+3z-7=0$ et $ (P''): 4x+2y-z+1=0$.
  5. $ (P): x-y+2z-1=0$, $ (P'): 2x+y+z+3=0$ et $ (P''): x-4y+5z-6=0$.
  6. $ (P): x-y+2z-1=0$, $ (P'): 2x+y-z+1=0$ et $ (P''): x+5y-8z+2=0$.


Exercice 2014 Les droites suivantes sont-elles sécantes, parallèles ou non coplanaires ? Si elles sont sécantes donner leur point d'intersection et si elles sont parallèles donner un vecteur directeur.

  1. $ (D) : \left\{ \begin{array}{l}
x+y-z+2=0\\
x+y+z+1=0
\end{array} \right.$ et $ (D') : \left\{ \begin{array}{l}
3x-y+2z-7=0 \\
x-y=0
\end{array} \right.$

  2. $ (D) :\left\{ \begin{array}{l}
x=1-2t \\
y=t+2 \\
z=3t+1
\end{array} \right.$ et $ (D') : \left\{ \begin{array}{l}
x=3t-1 \\
y=-t+2 \\
z=2t
\end{array} \right.$



Exercice 2015 Dans chacun des cas suivants dire si la droite $ (D)$ et le plan $ (P)$ sont parallèles ou sécants. Donner alors leur point d'intersection.

  1. $ (D): \left\{ \begin{array}{l}
5x-3y+2z-5=0 \\
2x-y-z-1=0 \end{array} \right.$ et $ (P): 4x-3y+7z-7=0$.
  2. $ (D): \left\{ \begin{array}{l}
x=3+2t\\
y=5-3t\\
z=2-2t \end{array} \right.$ et $ (P): -3x+2y+3z-5=0$.


Exercice 2016 On considère les cinq points suivants: $ A(1,2,-1)$, $ B(3,2,0)$, $ C(2,1,-1)$, $ D(1,0,4)$ et $ E(-1,1,1)$.

  1. Ces quatre points sont-ils coplanaires ?
  2. Déterminer la nature du triangle $ ABC$. $ A$, $ B$ et $ C$ sont-ils alignés, si non donner une équation catésienne du plan $ P$ qui les contient.
  3. Déterminer les coordonnées du barycentre $ G$ des points $ A$, $ B$, $ C$ et $ D$.
  4. Montrer que $ O$, $ D$ et $ G$ sont alignés et que la droite $ OD$ est perpendiculaire à $ P$.


Exercice 2017 Soient $ D_1$, $ D_2$ et $ D_3$ trois droites concourrantes en $ \Omega$ et soient $ P$, $ P'$ et $ P''$ trois plans tels que aucun ne contient aucune des 3 droites ci dessus. On peut alors définir les 9 points d'intersections : $ P$ coupe $ D_1$, $ D_2$, $ D_3$ en $ A$, $ B$, $ C$ ; $ P'$ coupe $ D_1$, $ D_2$, $ D_3$ en $ A'$, $ B'$, $ C'$ ; $ P'$ coupe $ D_1$ $ D_2$, $ D_3$ en $ A''$, $ B''$, $ C''$ ;

On considère aussi les intersections suivantes : $ I=(AB')\cap (A'B)$ , $ J=(AC')\cap (A'C)$ , $ K=(BC')\cap (B'C)$.

Montrer que les droites $ (A''K)$, $ B''J)$ et $ (C''I)$ sont parallèlles ou concourrantes. (Indication : utiliser un bon repère affine).

Exercice 2018 On considère les quatre points suivants: $ A(2,0,0)$, $ B(-1,\sqrt{3},0)$, $ C(-1,-\sqrt{3},0)$, $ D(0,0,4)$. Déterminer un vecteur directeur de la droite $ (ABC) \cap (ADE)$.

Exercice 2019 Donner une condition sur $ m$ pour que les trois plans suivants se coupent sur une même droite. $ (P): x+my-z+1=0$, $ (P'): (m+1)x+3y+4z-2=0$ et $ (P''): y+(2m+4)z-(2m+2)=0$.

Exercice 2020 On considère la famille de plans $ (P_m)_{m\in \mathbb{R}}$ définis par les équations cartésiennes :

$\displaystyle m^2x+(2m-1)y+mz=3$

  1. Déterminer les plans $ P_m$ dans chacun des cas suivants :
    1. $ A(1,1,1)\in P_m$
    2. $ B(-1,-2,6)\in P_m$
    3. $ C(-1,0,1)\in P_m$

    4. $ \vec{v}(1,1,1)$ est un vecteur directeur de $ P$
    5. $ \vec{n}(0,1,0)$ est normal à $ P$.

  2. Montrer qu'il existe un unique point $ R$ appartenant à tous les plans $ P_m$.


Exercice 2021

  1. Déterminer la distance du point $ A$ au plan $ (P)$

    1. $ A(1,1,1)$ et $ (P): x+y+z-1=0$
    2. $ A(1,0,2)$ et $ (P): 2x+y+z+4=0$.
    3. $ A(3,2,1)$ et $ (P): -x+5y-4z+2=0.$
    4. $ A (4,5,2)$ et $ (P) : 2x-y+z=0$.
  2. Calculer la distance du point $ A(1,1,1)$ à la droite $ (D): \left\{ \begin{array}{l}
x+y+z=1\\
x-y+z=-1 \end{array} \right.$


Exercice 2022

On considère les deux droites $ (D): \left\{ \begin{array}{l} y-z=3\ -x-y+2=0 \end{array} \right. $ et $ (\Delta):\left\{ \begin{array}{l} -x+3z=1 \ -x-3y=2 \end{array} \right. .$

  1. Donner un vecteur directeur de $ D$ et de $ \Delta$.

  2. Donner une équation paramétrique de $ \Delta$.

  3. On fixe un point $ M_{\alpha}$ de $ \Delta$ dépendant du paramètre $ \alpha$$ \alpha$ est l'abscisse de point $ M_{\alpha}$. Donner une équation du plan $ P_{\alpha}$ passant par $ M_{\alpha}$ et contenant $ D$.

  4. Parmi tous ces plans, y en a-t-il un qui est perpendiculaire à $ \Delta$ ? Pour quelle valeur $ \alpha_0$ de $ \alpha$ est il obtenu ? Donner une équation de ce plan. Donner les coordonnées de $ M_{\alpha_0}$.


Exercice 2023

On se donne $ 2$ droites $ D_1$ et $ D_2$ ayant comme vecteurs directeurs respectifs $ \vec{u_1}$ et $ \vec{u_2}$.

  1. Perpendiculaire commune à ces deux droites.

    1. On suppose que $ \vec{u_1}$ et $ \vec{u_2}$ ne sont pas colinéaires et on note $ \vec{n}:=\vec{u_1} \wedge \vec{u_2} $.

      1. Montrer que le plan $ P_1$ contenant $ D_1$ et admettant $ \vec{n}$ comme vecteur directeur et le plan $ P_2$ contenant $ D_2$ et admettant $ \vec{n}$ comme vecteur directeur se coupent en une droite $ \Delta$.

      2. Montrer que $ \Delta$ est une perpendiculaire commune à $ D_1$ et $ D_2$ (c'est à dire $ \Delta$ coupe $ D_1$ et $ D_2$, et est orthogonale à $ D_1$ et à $ D_2$).

      3. Montrer que $ \Delta$ est la seule perpendiculaire commune à $ D_1$ et $ D_2$.

    2. Comment construire $ \Delta$ dans le cas où $ D_1$ et $ D_2$ sont parallèlles ?

  2. Distance entre ces deux droites.

    Soit $ H_1:= D_1\cap \Delta$ et $ H_2:= D_2\cap \Delta$.

    Montrer que pour tout $ A_1\in D_1$ et tout $ A_2\in D_2$, on a $ d(A_1,A_2)\geqslant d(H_1,H_2)$.

    $ d(H_1,H_2)$ est appelée distance entre les deux droites $ D_1$ et $ D_2$.

  3. Donner des équations cartésiennes pour $ \Delta$ et calculer la distance entre les deux droites $ D_1$ et $ D_2$ dans le cas suivant :

    1. $ (D_1): \left\{\begin{array}{l}
x-y-z+4=0 \\
-x-2y-3z+9=0\end{array} \right.$ et $ (D_2): \left\{\begin{array}{l} -x+2y+z+2=0 \ -2x+4y-z+1=0\end{array} \right. $

    2. $ (D_1): \left\{\begin{array}{l}
x+y-z+2=0 \\
x+y+z+1=0 \end{array} \right.$ et $ (D_2):\left\{\begin{array}{l} 3x-y+2z-7=0 \ x-y=0 \end{array} \right.$

    3. $ (D_1):\left\{\begin{array}{l}
x=1-2t\\
y=t+2\\
z=3t+1 \end{array} \right.$ et $ (D_2):\left\{\begin{array}{l}
x=3t-1\\
y=-t+2\\
z=2t \end{array} \right. $

    4. $ (D_1): \left\{ \begin{array}{l}
x-y-z-2=0 \\
x-2y-3z+1=0 \end{array} \right. $ et $ (D_2): \left\{\begin{array}{l}
x+y+2z-1=0 \\
2x+y+z+2=0 \end{array} \right.$


Exercice 2024

  1. Déterminer les plans bissecteurs de :

    $ P: x+y+z+3=0$ et $ P' : 2x + y+2z=1$

    $ Q : 5x + 3y -4z =8$ et $ Q':4x-5y-3z=2$.

  2. Déterminer l'ensemble des points de l'espace équidistants des trois axes de coordonnées.

  3. On considère la droite $ D$ d'équation paramétrique $ \left\{\begin{array}{l}
x=3t-1 \\
y=1 \\
z=-t-1\end{array} \right.$

    Donner une équation des deux plans $ P$ et $ P'$ contenant $ D$ à une distance de 1 de l'origine (point $ O$ de coordonnées $ (0,0,0)$).



Exercice 2025 Déterminer l'expression analytique de la réflexion $ s$ de plan $ x + y-z = 1$. Quelle est l'image par $ s$ du plan $ x + 2y -3z + 1 = 0$ ?

Exercice 2026 Déterminer la distance du point $ M = (1, 2, 3)$ aux droites

$\displaystyle D\begin{cases}x + y-2z = 1\ 2x-y + z + 1 = 0\end{cases}$    et $\displaystyle \Delta \begin{cases}x = 1 + 2t\ y = 2-t\ z = 2 + 2t\end{cases}$



Exercice 2027 Soit deux plans \begin{displaymath}\left\{
\begin{array}{lrcl}
\pi: & ux+vy+wz+h & = & 0 \\
\pi': & u'x+v'y+w'z+h' & = & 0
\end{array}\right.\end{displaymath}.

  1. Montrer que si $ \pi$ et $ \pi'$ sont sécants, tout plan passant par leur droite d'intersection $ D$ a une équation du type

    $\displaystyle \lambda(ux+vy+wz+h)+\mu(u'x+v'y+w'z+h')=0$

    et réciproquement, tout plan ayant une équation de ce type, (pour un couple $ (\lambda, \mu$) donné) passe par $ D$.
  2. Si $ \pi$ et $ \pi'$ sont parallèles, que représente l'ensemble des plans d'équation :

    $\displaystyle \lambda(ux+vy+wz+h)+\mu(u'x+v'y+w'z+h')=0$



Exercice 2028 Écrire l'équation du plan passant par la droite \begin{displaymath}\left\{
\begin{array}{rcl}
3x+2y+5z+6 & = & 0 \\
x+4y+3z+4 & = & 0
\end{array}\right.\end{displaymath} et parallèle à la droite $ \displaystyle\frac{x-1}{3}=
\frac{y-5}{2}=\frac{z+1}{-3}$.

Exercice 2029 Soit la droite d'équations \begin{displaymath}\left\{
\begin{array}{rcl}
3x-2y-z+4 & =& 0 \\
x-4y-3z-2 & = & 0
\end{array}\right.\end{displaymath}. Trouver sa projection sur le plan $ 5x+2y+2z-7=0$.

Exercice 2030 Soit les droites $ D$ et $ D'$ non coplanaires :

\begin{displaymath}(D) \;\left\{
\begin{array}{rcl}
x-y+z+1 & = & 0 \\
2x+y-z...
...rcl}
x+2y+z & = & 0 \\
2x-2y-2z-1 & = & 0
\end{array}\right.\end{displaymath}

Trouver des équations de leur perpendiculaire commune.


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Arnaud Bodin 2004-06-24