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Géométrie dans le plan

Exercice 1991 On considère les droites $ D : x+2y=5$ et $ D' : 3x- y = 1$ et on note $ A$ l'intersection des deux droites et $ B$ le point de coordonnées $ (5,2)$.

  1. Donner une équation cartésienne de la droite $ (AB)$.

  2. Donner une équation cartésienne de la perpendiculaire à $ D$ passant par $ B$.

  3. Donner une équation cartésienne de la parallèle à $ D'$ passant par $ B$.

  4. Soit $ C$ le point de coordonnées $ (2,-7)$). Donner une équation cartésienne de la médiatrice $ \Delta$ du segment $ [B,C]$. $ \Delta$ est-elle parallèle à $ D$ ? Et à $ D'$ ?


Exercice 1992

  1. On considère la famille des droites $ D_{\lambda} : x + \lambda y + 1 =0$, où $ \lambda \in \mathbb{R}$.
    1. Vérifier que ces droites passent toutes par un même point $ A$ dont on donnera les coordonnées.

    2. Parmi toutes ces droites, y en a-t-il une qui est verticale ? Si oui donner une équation de cette droite.

    3. Parmi toutes ces droites, y en a-t-il une qui est horizontale ? Si oui donner une équation de cette droite.

    4. Parmi toutes ces droites, y en a-t-il qui sont parallèles, confondues ou perpendiculaires à la droite $ \Delta$ d'équation $ 2x-3y+1=0$ ? Si oui donner des équations de ces droites.

  2. On considère la famille de droites $ D_m$ : $ (2m-1)x+(3-m)y+m+1=0$, $ m \in \mathbb{R}$.

    Parmi toutes ces droites y en a-t-il une perpendiculaire à $ (\Delta ): x+y-1=0$? Si oui, laquelle?



Exercice 1993 On considère les trois points de $ P$ : $ A(2,-3)$, $ B(0,-1)$ et $ C(-2,-5)$.

  1. Dessiner le triangle $ ABC$ puis calculer son aire.
  2. Calculer les coordonnées de l'orthocentre $ H$, du centre du cercle circonscrit $ \Omega$ et du centre de gravité $ G$ de $ ABC$.
  3. Vérifier que $ H$, $ \Omega$ et $ G$ sont alignés et qu'en particulier $ \overrightarrow{\Omega G} = {1\over 3}\overrightarrow{\Omega H}$.


Exercice 1994

  1. Calculer les angles :
    1. entre les vecteurs $ {\buildrel\rightarrow \over u_1}(\sqrt 3,2)$ et $ {\buildrel\rightarrow \over v_1}(1,3\sqrt 3),$

    2. entre les vecteurs $ {\buildrel\rightarrow \over u_2}(1,\sqrt 2)$ et $ {\buildrel\rightarrow \over v_2}(\sqrt 2-2,\sqrt 2+2),$

    3. du triangle de sommets $ A(-1,0),$ $ B(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2})$ et $ C(\frac{1}{2},-\frac{\sqrt{3}}{2}).$

  2. Calculer la distance du point $ A$ à la droite $ D$ :
    1. $ A(1,1)$ et $ D : 2x+y-1 =0$

    2. $ A(2,-1)$ et $ D : 3x-2y+4 =0$

    3. $ A(3,3)$ et $ D : -x+3y+2=0 $.

  3. Trouver les bissectrices de :
    1. $ D : 5x-12y+7 =0$ et $ D' : 3x+4y-7 =0$,

    2. $ D : x-3y+5 =0$ et $ D' : 3x-y-1 =0$.


Exercice 1995 Soit $ (0, \vec{i}, \vec{j})$ un repère du plan. Déterminer l'expression analytique dans ce repère de la réflexion d'axe $ x + y = 1$.

Exercice 1996 Soit $ G$ un sous-groupe fini de l'ensemble des isométries du plan. Montrer que $ G$ ne peut pas contenir de translation non triviale.

Exercice 1997 On considère dans le plan les deux droites $ (D : 3x + y = 5)$ et
$ (D' : x-2y + 3 = 0)$. Quel est l'angle entre ces deux droites ?

Exercice 1998 Soit $ C$ un cercle de centre $ I = (x_{0}, y_{0})$ et de rayon $ R$ et $ (D : ax + by + c = 0)$. En paramétrant $ D$, montrer que $ D$ est tangente à $ C$ (i.e. $ D\cap C$ est un singleton) ssi $ d (I, D) = R$.

Exercice 1999 Soient $ A$ et $ B$ deux points du plan et $ \alpha$ un réel. Déterminer l'ensemble des points $ M$ qui vérifient $ \overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB} = \alpha$.

Exercice 2000 Soient $ A, B, C$ les sommets d'un triangle équilatéral de coté $ 1$. Déterminer l'ensemble des points $ M$ qui vérifient $ MA^{2} + MB^{2} + MC^{2} = 2$.

Exercice 2001 Soient $ A$ et $ B$ deux points du plan et $ k$ un réel strictement positif. Déterminer l'ensemble des points $ M$ qui vérifient $ MA = kMB$.

Exercice 2002 Quelle est l'application $ f : \begin{cases}
\mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2}\ \begin{pmatrix}x...
... \mapsto
\frac{1}{5} \begin{pmatrix}-3x-4y\ -4x + 3y-2\end{pmatrix}\end{cases}$ ?

Exercice 2003 Soit $ X = \left\{ A, B, C, D\right\}$ les sommets d'un carré du plan et $ G = \left\{ f\in I_{2}/f (X) = X\right\}$. Montrer que $ G$ est un sous-groupe de $ I_{2}$. Montrer que si $ f\in G$ alors $ f (O) = O$$ O$ est l'isobarycentre de $ A, B, C, D$. En déduire les éléments de $ G$.

Exercice 2004 Déterminer les $ z\in \mathbb{C}$ tels que $ z, z^{2}, z^{4}$ soient alignés.

Exercice 2005 Si $ a$ et $ b$ sont les affixes de deux sommets opposés d'un carré, calculer les affixes des deux autres.

Exercice 2006 Soit $ O, A, B$ un triangle rectangle en $ O$. A toute droite $ D$ issue de $ O$ on associe le cercle de diamètre $ A^{'}B^{'}$$ A^{'}$ et $ B^{'}$ sont les projetés orthogonaux de $ A$ et $ B$ sur $ D$. Montrer que tous les cercles passent par un même point fixe (on pourra utiliser une similitude... ).

Exercice 2007 Pour $ a, b, c$ trois nombres complexes tels que $ b\neq c$, on note $ V (a, b, c) = \frac{c-a}{c-b}$. Soient $ z_{1}, z_{2}, z_{3}, z_{4}$ quatre nombres complexes distincts. Montrer que les images de ces nombres complexes sont alignées ou cocycliques ssi $ \frac{V (z_{1}, z_{2}, z_{3})}{V (z_{1}, z_{2}, z_{4})} \in \mathbb{R}$.

Exercice 2008 Soit $ ABCD$ un carré direct et $ M$ un point de la droite $ (DC)$. La perpendiculaire à $ (AM)$ passant par $ A$ coupe $ (BC)$ en $ N$. On note I le milieu de $ [MN]$. Déterminer le lieu des points $ I$ lorsque $ M$ décrit la droite $ (DC)$.

Exercice 2009 Soient $ A, B, C, D$ quatre points distincts du plan tels que $ \overrightarrow{AB}
\neq \overrightarrow{CD}$. Montrer que le centre de la similitude transformant $ A$ en $ C$ et $ B$ en $ D$ est aussi le centre de celle transformant $ A$ en $ B$ et $ C$ en $ D$.


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Arnaud Bodin 2004-06-24