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Réduction de Jordan

Exercice 1692 Soit $ E$ un espace vectoriel réel de dimension $ 4$. Soit:

\begin{displaymath}
U=
\left(
\begin{array}{cccc}
1 & 0 & 0 & 0 \\
-1 & 4 & 1 & -2 \\
2 & 1 & 2 & -1 \\
1 & 2 & 1 & 0
\end{array}\right)
\end{displaymath}

la matrice d'un endomorphisme $ u$ de $ E$ dans la base canonique de $ E$.
  1. Calculer le polynôme caractéristique de $ u$. Déterminer les sous-espaces propres $ E_1$ et $ E_2$. Pourquoi $ u$ est-il non diagonalisable? Est-il triangularisable ?
  2. Déterminer les sous-espaces caractéristiques $ F_1$ et $ F_2$. Pour $ k=1,2$, donner l'ordre $ \beta_k$ du nilpotent $ (u-\lambda_k. \mathrm{id}_E)\vert_{F_k}$ ( $ \lambda_1=1$, $ \lambda_2=2$).
  3. Si $ v\in F_2$ et $ v\notin \ker(u-2.
\mathrm{id}_E)^{\beta_2-1}$, montrer que $ f_1=(u-2.
\mathrm{id}_E)^{\beta_2-1}(v)$, $ f_1=(u-2.
\mathrm{id}_E)^{\beta_2-2}(v)$, ..., $ f_{\beta_2}=v$ forment une base de $ F_2$.
  4. On note $ f=\left\lbrace
f_1,\ldots,f_4\right\rbrace $ la complétée de la base précédente par une base de $ F_1$. Vérifier que $ T=[u]_f^f$ est triangulaire. Décomposer $ T$ sous la forme $ D+N$, où $ D$ est diagonale, $ N$ est nilpotente, et $ DN=ND$. Calculer $ T^5$.


Exercice 1693 Quel est le polynôme caractéristique d'un endomorphisme nilpotent d'un $ \mathbb{C}$-espace vectoriel de dimension finie ?

Exercice 1694 Donner toutes les réduites de Jordan de $ \mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ des endomorphismes nilpotents pour $ 1\leqslant n \leqslant 4$.

Exercice 1695 Soit $ \rho$ l'application de $ \mathbb{R}_4[X] $ dans lui-même qui à un polynôme $ P$ associe le reste de la division euclidienne de $ P$ par $ (X^2-1) .$

  1. Montrer que $ \rho$ est linéaire.
  2. Montrer que $ \rho ^2= \rho .$ En déduire que $ \rho$ est diagonalisable.
  3. Déterminer (de préférence sans calcul) une base de vecteurs propres pour $ \rho .$


Exercice 1696 Les matrices $ \begin{pmatrix}0 & 0 & 1 & 0 \cr
0 & 0 & 0 & 1 \cr
0 & 0 & 0 & 0 \cr
0 & 0 & 0 & 0 \cr \end{pmatrix} $ et $ \begin{pmatrix}0 & 1 & 0 & 0 \cr 0 & 0 & 1 & 0 \cr
0 & 0 & 0 & 1 \cr
0 & 0 & 0 & 0 \cr \end{pmatrix} \in M_4(\mathbb{C}) $ ont-elles une racine carrée ?

Exercice 1697 Réduire sous la forme de Jordan les matrices suivantes :

$\displaystyle \begin{pmatrix}-1 & 1 & 0 \cr
1 & 1 & 2 \cr
1 & -1 & 0\cr
\end{pm...
...-7 \cr
9 & -3 & -7 & -1 \cr
0 & 0 & 4 & -8 \cr
0& 0 & 2 & -4\cr
\end{pmatrix}.
$



Exercice 1698 Soit $ E$ un $ \mathbb{C}$-espace vectoriel de dimension finie $ n$. Soit $ f \in \mathcal{L} (E)
$ un endomorphisme nilpotent d'indice $ N$ (le plus petit entier $ p$ tel que $ f^p = 0$). Montrer que

$\displaystyle N=n \Leftrightarrow$   rang$\displaystyle f = n-1.$




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Arnaud Bodin 2004-06-24