Valeurs propres, vecteurs propres

Exercice 1597 Soit $m \in \mathbb{R}$ et $A_m\in M_3 (\mathbb{R})$ la matrice $\begin{pmatrix}m & 1 & 1 \cr 1 & m & 1 \cr 1 & 1 & m\cr \end{pmatrix} .$

1. Calculer les valeurs propres de $A_m$ et une base de vecteurs propres.
2. Déterminer suivant les valeurs de $m$ le rang de $A_m .$ Déterminer lorsque cela est possible $A_m^{-1} .$
3. Lorsque $A_m$ n'est pas inversible déterminer le noyau et l'image de $A_m .$

Exercice 1598 Soit $A \in \mathcal{O}_n(\mathbb{R})$. Montrer que si $-1$ n'est pas valeur propre de $A$, alors il existe une matrice $Q$ antisymétrique (i.e. ${}^tQ = -Q$) telle que $A = (I + Q)^{-1}(I - Q) = (I - Q)(I + Q)^{-1}$ et qu'on a $A \in \mathcal{SO}_n(\mathbb{R})$. Réciproque ?

Exercice 1599 Soient $E$ un K-espace vectoriel de dimension finie et $f,g\in \mathcal{L}(E)$. Montrer que si $\lambda$ est valeur propre de $g\circ f$ alors $\lambda$ est valeur propre de $f\circ g$ (on distinguera les cas $\lambda=0$ et $\lambda\not= 0$).

Exercice 1600

1. Soient $f$ et $g$ deux endomorphisme s d'un espace vectoriel $E$ de dimension $n$ sur
   $K=\mathbb{R}$     ou  $\mathbb{C}$, ayant chacun $n$ valeurs propres distinctes dans $K$. Montrer que
   $$f \circ g = g \circ f \Longleftrightarrow f$$     et  $$g$$     ont les mêmes valeurs propres$$.$$

2. Supposons maintenant que $K=\mathbb{C}$ et que $f \circ g = g \circ f$. Si $u$ est un endomorphisme on dit qu'un espace vectoriel $F$ est $u-$stable si $u(F) \subset F$. Montrer que tout sous-espace propre de $f$ est $g-$stable.
   Remarque : On peut montrer par récurrence sur $n$ qu'il existe un vecteur propre commun à $f$et $g$. On admettra ce résultat.
3. Considérons $f$ et $g$ deux endomorphismes de $\mathbb{R}^3$ dont les matrices dans la base canonique sont respectivement
   $$M = \left ( \begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 2 \\ \end{array}\right )$$et$$N = \left ( \begin{array}{ccc}  0 & 1 & 1 \\ -1 & 1 & -1 \\  1 & 1 & 3 \\ \end{array}\right )$$
   • Vérifier que $f \circ g = g \circ f$ et déterminer les sous-espaces propres de $M$ et $N$.
   • Déterminer une base de $\mathbb{R}^3$ dans laquelle les matrices de $f$ et $g$ sont diagonales.

Exercice 1601 Soient $A \in \mathcal{M}_4 \left (\mathbb{R} \right )$ et $B \in \mathcal{M}_3 \left (\mathbb{R} \right )$. Soit $f$ l'endomorphisme associé à la matrice $A$.

$$A = \left ( \begin{array}{cccc} 5 & 3 & -1 & 3 \\ 0 & -1 & 1 &... ...rray}{ccc} 5 & 3 & -1 \\ 0 & -1 & 1 \\ 0 & 2 & 1 \\ \end{array}\right )$$

1. Uniquement en examinant la matrice $A$, trouver deux valeurs propres et un vecteur propre de $A$, puis deux sous-espaces $f-$stables.
2. Que représente la matrice $B$?

Exercice 1602 Soit $u\in\mathrm{End}(E)$. On note $\chi_{u}=(-1)^{n}X^{n}+a_{n-1}X^{n-1}+\cdots+a_{0}$. Montrer que

$$a_{0}=\det(u)$$    et $$\qquad a_{n-1}=(-1)^{n-1}$$tr$$(u)$$

Exercice 1603 Soient $u$ et $v$ deux endomorphismes de $E$. Montrer que $u\circ v$ et $v\circ u$ ont les mêmes valeurs propres.

Exercice 1604 Soient $u$ et $v$ deux endomorphismes de $E$ qui commutent, c'est à dire tels que $u\circ v=v\circ u$. On suppose que $v$ admet $n$ valeurs propres distinctes. Montrer qu'il existe une base de $E$, formée de vecteurs propres communs à $u$ et à $v$.

En déduire qu'il existe $(a_{0},\ldots,a_{n-1})\in\mathbb{K}^{n}$ tel que $\quad u=a_{0}$id$+a_{1}v+\cdots+a_{n-1}v^{n-1}$

Exercice 1605 On considère les matrices suivantes :

$$A=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & -1 \\ -1 & -1 & 0 & 1 \\ -2 & 0 &... ... & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ -1 & 0 & -1 & -1 \end{pmatrix}$$

En effectuant le moins de calculs possible,

1. montrer que $\{0\}\subset\mathop{\mathrm{Ker}}\nolimits A\subset\mathop{\mathrm{Ker}}\nolimits A^{2}\subset\mathop{\mathrm{Ker}}\nolimits A^{3}=\mathbb{R}^{4}$
   et déterminer les dimensions respectives de $\mathop{\mathrm{Ker}}\nolimits A$ et $\mathop{\mathrm{Ker}}\nolimits A^{2}$,

2. déterminer un vecteur $e_{1}$ tel que $\mathbb{R}^{4}=\mathop{\mathrm{Ker}}\nolimits A^{2}\oplus\mathrm{Vect}(e_{1})$,

3. montrer que $(e_{1},Ae_{1},A^{2}e_{1})$ est une famille libre,

4. montrer que $Ae_{1}\in\mathop{\mathrm{Ker}}\nolimits A^{2}$, et que $\mathop{\mathrm{Ker}}\nolimits A^{2}=\mathop{\mathrm{Ker}}\nolimits A\oplus\mathrm{Vect}(Ae_{1})$,

5. montrer que $A^{2}e_{1}\in\mathop{\mathrm{Ker}}\nolimits A$ et déterminer un vecteur $e_{2}$ tel que $\mathop{\mathrm{Ker}}\nolimits A=\mathrm{Vect}(A^{2}e_{1})\oplus\mathrm{Vect}(e_{2})$,

6. montrer que $(e_{1},Ae_{1},A^{2}e_{1},e_{2})$ est une base de $\mathbb{R}^{4}$.

7. Soit $P$ la matrice de passage de la base canonique à la base $(A^{2}e_{1},Ae_{1},e_{1},e_{2})$. Caluler $P^{-1}AP$.

Adapter ce travail à l'étude de $B$ et $C$

Exercice 1606 Soit $J$ la matrice

$$J= \begin{pmatrix} 1 &\cdots &1\\ \vdots& &\vdots\\ 1 &\cdots &1 \end{pmatrix}$$

.

1. Trouver une relation entre $J$ et $J^{2}$.
2. En déduire les valeurs propres de $J$ et calculer leurs multiplicités.
3. Donner le polynôme caractéristique de $J$.

Exercice 1607 Soient $A$ et $B$ deux matrices de $\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})$ telles que

$$AB-BA=A$$

Le but de cet exercice est de montrer que $A$ est nilpotente, c'est à dire

$$\exists k\in\mathbb{N}, A^{k}=0.$$

On note $E$ l'espace vectoriel $\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})$ et on considère l'application :    

$$\displaystyle \psi \begin{array}{ccc} E & \rightarrow & E \\ M &\mapsto & MB-BM \end{array}$$

1. Montrer que $\psi$ est linéaire de $E$ dans $E$.
2. Montrer par récurrence que : $\forall k\in\mathbb{N}\quad \psi(A^{k})=kA^{k}$.
3. On suppose que $\forall k\in\mathbb{N}, A^{k}\neq0$. Montrer que $\psi$ a une infinité de valeurs propres.
4. Conclure.

Exercice 1608 Soit $M$ la matrice suivante : $M= \begin{pmatrix} 1 &1 &0 \\ -1&0 &0 \\ 2 &0 &-1 \end{pmatrix}$. Calculer le polynôme caractéristique de $M$. En déduire $M^{-1}$.

Exercice 1609 Soit $f$ un endomorphisme de $E=\mathbb{C}^{n}$. Soit $\pi_{1},...,\pi_{N}$ des endomorphismes tous non nuls de $E$ et $\lambda_{1},...,\lambda_{N}$ $N$ nombres complexes distincts. On suppose que :

$$\forall m\in\mathbb{N}\quad f^{m}=\sum_{k=1}^{N}\lambda_{k}^{m}\pi_{k}.$$

1. Montrer que $\forall P\in\mathbb{C}[X],\quad P(f)=\sum_{k=1}^{N}P(\lambda_{k})\pi_{k}$

   
   

   On considère le polynôme $Q=\prod_{1\leqslant k\leqslant N}(X-\lambda_{k})$ et pour chaque $p\in\{1,...,N\}$ les polynômes suivants :

   $$Q_{p}=\prod_{\substack{ 1\leqslant k\leqslant N \ k\neq p}} (X-\lambda_{k})$$   et$$\qquad \tilde Q_{p}=\frac{1}{Q_{p}(\lambda_{p})} Q_{p}$$

2. Calculer $Q(f)$. Qu'en déduit-on pour $f$ ?

3. Montrer que $Sp(f)\subset\{\lambda_{1},...,\lambda_{N}\}$

4. Montrer que $\tilde Q_{p}(f)=\pi_{p}$. Vérifier alors que $\pi_{p}\circ\pi_{q}= \left\{ \begin{array}{l} 0 \text{ si } p\neq q\\ \pi_{p} \text{ si } p=q \end{array}\right.$

5. Calculer $f\circ\pi_{p}$. En déduire que $Sp(f)=\{\lambda_{1},...,\lambda_{N}\}$.

   
   On note $E_{p}$ l'espace propre associé à la valeur propre $\lambda_{p}$.

6. Montrer que $\mathop{\mathrm{Im}}\nolimits \pi_{p}\subset E_{p}$. Réciproquement, pour $x\in E_{p}$, montrer que $x\in\mathop{\mathrm{Ker}}\nolimits \pi_{q}$ pour $q\neq p$ (on calculera par exemple $\pi_{q}\circ f(x)$ de deux façons différentes) puis que $x=\pi_{p}(x)$. En déduire que $E_{p}\subset\mathop{\mathrm{Im}}\nolimits \pi_{p}$.
7. En déduire que $\mathop{\mathrm{Im}}\nolimits \pi_{p}=E_{p}$ et que $\mathop{\mathrm{Ker}}\nolimits \pi_{p}=\bigoplus_{q\neq p}E_{q}$. Décrire géométriquement $\pi_{p}$.

Exercice 1610 On considère l'application suivante :

$$f: \begin{array}{ccc} \mathbb{R}_{n}[X] &\rightarrow &\mathbb{R}_{n}[X] \\ P &\mapsto &(X^{2}-1)P'-2(nX+a)P \end{array}$$

Vérifier que cette application est bien définie.

Déterminer ses valeurs propres, et les espaces propres associés.

Exercice 1611 Soit $E$ un espace vectoriel de dimension $n$ et $u$ un endomorphisme de $E$ ayant $n$ valeurs propres distinctes $\{\lambda_{1},...,\lambda_{n}\}$.

1. Montrer que l'ensemble $\mathop{\mathrm{Com}}\nolimits =\{v\in\mathcal{L}(E,E)/ uv=vu\}$ des endomorphismes de $E$ qui commutent avec $u$ est un espace vectoriel.

2. 1. Soit $v$ un élément de $\mathop{\mathrm{Com}}\nolimits$. Montrer que $v$ préserve les espaces propres de $u$ (c'est à dire que si $E_{\lambda }$ est un espace propre de $u$ associé à la valeur propre $\lambda$, on a $\forall x\in E_{\lambda}, v(x)\in E_{\lambda}$).
   2. Donner la dimension des espaces propres de $u$ et montrer que si $x$ est un vecteur propre de $u$ alors c'est aussi un vecteur propre de $v$.
   3. A l'aide d'une base convenablement choisie, décrire tous les éléments de $\mathop{\mathrm{Com}}\nolimits$, et montrer que $\mathop{\mathrm{Com}}\nolimits$ est de dimension $n$.

3. Montrer que $\mathrm{Vect}($id$,u,u^{2},...,u^{n-1})\subset \mathop{\mathrm{Com}}\nolimits$.

4. On veut maintenant étudier l'indépendance linéaire de la famille $\{$id$,u,u^{2},...,u^{n-1}\}$. Pour cela, on considère $n$ réels $\alpha_{0},...,\alpha_{n-1}$ tels que $\sum_{i=0}^{n}\alpha_{i}u^{i}=0$.
   1. Montrer que les $(\alpha_{i})$ sont solution du système :
      $$(*) \left\{ \begin{array}{ccccccccccc} \alpha_{0} &+&\alpha_{1} ... ...lambda_{n}^{2} &+&... &+&\alpha_{n-1}\lambda_{n}^{n-1} &=&0 \end{array}\right.$$

   2. On rappel que : $\begin{vmatrix} 1&\lambda_{1}&\lambda_{1}^{2}&...&\lambda_{1}^{n-1}\\ 1&\lamb... ...end{vmatrix}=\prod\limits_{1\leqslant i<j\leqslant n}(\lambda_{j}-\lambda_{i})$. En déduire l'ensemble des solutions du système $(*)$ et conclure.

5. Montrer que $\mathop{\mathrm{Com}}\nolimits =\mathrm{Vect}($id$,u,u^{2},...,u^{n-1})$.