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Valeurs propres, vecteurs propres

Exercice 1597 Soit $ m \in \mathbb{R}$ et $ A_m\in M_3 (\mathbb{R}) $ la matrice $ \begin{pmatrix}m & 1 & 1 \cr
1 & m & 1 \cr
1 & 1 & m\cr \end{pmatrix} .$

  1. Calculer les valeurs propres de $ A_m $ et une base de vecteurs propres.
  2. Déterminer suivant les valeurs de $ m$ le rang de $ A_m .$ Déterminer lorsque cela est possible $ A_m^{-1} .$
  3. Lorsque $ A_m $ n'est pas inversible déterminer le noyau et l'image de $ A_m .$


Exercice 1598 Soit $ A \in \mathcal{O}_n(\mathbb{R})$. Montrer que si $ -1$ n'est pas valeur propre de $ A$, alors il existe une matrice $ Q$ antisymétrique (i.e. $ {}^tQ = -Q$) telle que $ A = (I + Q)^{-1}(I - Q) = (I - Q)(I + Q)^{-1}$ et qu'on a $ A \in \mathcal{SO}_n(\mathbb{R})$. Réciproque ?

Exercice 1599 Soient $ E$ un K-espace vectoriel de dimension finie et $ f,g\in \mathcal{L}(E)$. Montrer que si $ \lambda$ est valeur propre de $ g\circ f$ alors $ \lambda$ est valeur propre de $ f\circ g$ (on distinguera les cas $ \lambda=0$ et $ \lambda\not=
0$).

Exercice 1600

  1. Soient $ f$ et $ g$ deux endomorphisme s d'un espace vectoriel $ E$ de dimension $ n$ sur
    $ K=\mathbb{R}$     ou  $ \mathbb{C}$, ayant chacun $ n$ valeurs propres distinctes dans $ K$. Montrer que

    $\displaystyle f \circ g = g \circ f \Longleftrightarrow f$     et  $\displaystyle g$     ont les mêmes valeurs propres$\displaystyle .$

  2. Supposons maintenant que $ K=\mathbb{C}$ et que $ f \circ g = g \circ f $. Si $ u$ est un endomorphisme on dit qu'un espace vectoriel $ F $ est $ u-$stable si $ u(F) \subset F$. Montrer que tout sous-espace propre de $ f$ est $ g-$stable.
    Remarque : On peut montrer par récurrence sur $ n$ qu'il existe un vecteur propre commun à $ f$et $ g$. On admettra ce résultat.
  3. Considérons $ f$ et $ g$ deux endomorphismes de $ \mathbb{R}^3 $ dont les matrices dans la base canonique sont respectivement

    $\displaystyle M = \left (
\begin{array}{cccc}
1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & -1 \\
0 & 1 & 2 \\
\end{array}\right )
     $et$\displaystyle     N = \left (
\begin{array}{ccc}
 0 & 1 & 1 \\
-1 & 1 & -1 \\
 1 & 1 & 3 \\
\end{array}\right ) $



Exercice 1601 Soient $ A \in \mathcal{M}_4 \left (\mathbb{R} \right )$ et $ B \in
\mathcal{M}_3 \left (\mathbb{R} \right )$. Soit $ f$ l'endomorphisme associé à la matrice $ A$.

$\displaystyle A = \left (
\begin{array}{cccc}
5 & 3 & -1 & 3 \\
0 & -1 & 1 &...
...rray}{ccc}
5 & 3 & -1 \\
0 & -1 & 1 \\
0 & 2 & 1 \\
\end{array}\right ) $

  1. Uniquement en examinant la matrice $ A$, trouver deux valeurs propres et un vecteur propre de $ A$, puis deux sous-espaces $ f-$stables.
  2. Que représente la matrice $ B$?


Exercice 1602 Soit $ u\in\mathrm{End}(E)$. On note $ \chi_{u}=(-1)^{n}X^{n}+a_{n-1}X^{n-1}+\cdots+a_{0}$. Montrer que

$\displaystyle a_{0}=\det(u)$    et $\displaystyle \qquad a_{n-1}=(-1)^{n-1}$tr$\displaystyle (u)
$



Exercice 1603 Soient $ u$ et $ v$ deux endomorphismes de $ E$. Montrer que $ u\circ v$ et $ v\circ u$ ont les mêmes valeurs propres.

Exercice 1604 Soient $ u$ et $ v$ deux endomorphismes de $ E$ qui commutent, c'est à dire tels que $ u\circ
v=v\circ u$. On suppose que $ v$ admet $ n$ valeurs propres distinctes. Montrer qu'il existe une base de $ E$, formée de vecteurs propres communs à $ u$ et à $ v$.

En déduire qu'il existe $ (a_{0},\ldots,a_{n-1})\in\mathbb{K}^{n}$ tel que $ \quad u=a_{0}$id$ +a_{1}v+\cdots+a_{n-1}v^{n-1}
$

Exercice 1605 On considère les matrices suivantes :

$\displaystyle A=\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & -1 \\
-1 & -1 & 0 & 1 \\
-2 & 0 &...
... & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
1 & 1 & 1 & 1 \\
-1 & 0 & -1 & -1
\end{pmatrix}$

En effectuant le moins de calculs possible,
  1. montrer que $ \{0\}\subset\mathop{\mathrm{Ker}}\nolimits A\subset\mathop{\mathrm{Ker}}\nolimits A^{2}\subset\mathop{\mathrm{Ker}}\nolimits A^{3}=\mathbb{R}^{4}$
    et déterminer les dimensions respectives de $ \mathop{\mathrm{Ker}}\nolimits A$ et $ \mathop{\mathrm{Ker}}\nolimits
A^{2}$,

  2. déterminer un vecteur $ e_{1}$ tel que $ \mathbb{R}^{4}=\mathop{\mathrm{Ker}}\nolimits A^{2}\oplus\mathrm{Vect}(e_{1})$,

  3. montrer que $ (e_{1},Ae_{1},A^{2}e_{1})$ est une famille libre,

  4. montrer que $ Ae_{1}\in\mathop{\mathrm{Ker}}\nolimits A^{2}$, et que $ \mathop{\mathrm{Ker}}\nolimits A^{2}=\mathop{\mathrm{Ker}}\nolimits A\oplus\mathrm{Vect}(Ae_{1})$,

  5. montrer que $ A^{2}e_{1}\in\mathop{\mathrm{Ker}}\nolimits A$ et déterminer un vecteur $ e_{2}$ tel que $ \mathop{\mathrm{Ker}}\nolimits A=\mathrm{Vect}(A^{2}e_{1})\oplus\mathrm{Vect}(e_{2})$,

  6. montrer que $ (e_{1},Ae_{1},A^{2}e_{1},e_{2})$ est une base de $ \mathbb{R}^{4}$.

  7. Soit $ P$ la matrice de passage de la base canonique à la base $ (A^{2}e_{1},Ae_{1},e_{1},e_{2})$. Caluler $ P^{-1}AP$.

Adapter ce travail à l'étude de $ B$ et $ C$

Exercice 1606 Soit $ J $ la matrice

$\displaystyle J=
\begin{pmatrix}
1 &\cdots &1\\
\vdots& &\vdots\\
1 &\cdots &1
\end{pmatrix}$

.
  1. Trouver une relation entre $ J $ et $ J^{2}$.
  2. En déduire les valeurs propres de $ J $ et calculer leurs multiplicités.
  3. Donner le polynôme caractéristique de $ J $.


Exercice 1607 Soient $ A$ et $ B$ deux matrices de $ \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})$ telles que

$\displaystyle AB-BA=A
$

Le but de cet exercice est de montrer que $ A$ est nilpotente, c'est à dire

$\displaystyle \exists k\in\mathbb{N}, A^{k}=0.$

On note $ E$ l'espace vectoriel $ \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})$ et on considère l'application :    

$\displaystyle \displaystyle \psi
\begin{array}{ccc}
E & \rightarrow & E \\
M &\mapsto & MB-BM
\end{array}$

  1. Montrer que $ \psi$ est linéaire de $ E$ dans $ E$.
  2. Montrer par récurrence que : $ \forall k\in\mathbb{N}\quad
\psi(A^{k})=kA^{k}$.
  3. On suppose que $ \forall k\in\mathbb{N}, A^{k}\neq0$. Montrer que $ \psi$ a une infinité de valeurs propres.
  4. Conclure.


Exercice 1608 Soit $ M$ la matrice suivante : $ M=
\begin{pmatrix}
1 &1 &0 \\
-1&0 &0 \\
2 &0 &-1
\end{pmatrix}$. Calculer le polynôme caractéristique de $ M$. En déduire $ M^{-1}$.

Exercice 1609 Soit $ f$ un endomorphisme de $ E=\mathbb{C}^{n}$. Soit $ \pi_{1},...,\pi_{N}$ des endomorphismes tous non nuls de $ E$ et $ \lambda_{1},...,\lambda_{N}$ $ N$ nombres complexes distincts. On suppose que :

$\displaystyle \forall m\in\mathbb{N}\quad f^{m}=\sum_{k=1}^{N}\lambda_{k}^{m}\pi_{k}.
$

  1. Montrer que $ \forall P\in\mathbb{C}[X],\quad
P(f)=\sum_{k=1}^{N}P(\lambda_{k})\pi_{k}$


    On considère le polynôme $ Q=\prod_{1\leqslant k\leqslant N}(X-\lambda_{k})$ et pour chaque $ p\in\{1,...,N\}$ les polynômes suivants :

    $\displaystyle Q_{p}=\prod_{\substack{ 1\leqslant k\leqslant N \ k\neq p}}
(X-\lambda_{k})$   et$\displaystyle \qquad
\tilde Q_{p}=\frac{1}{Q_{p}(\lambda_{p})} Q_{p}
$

  2. Calculer $ Q(f)$. Qu'en déduit-on pour $ f$ ?

  3. Montrer que $ Sp(f)\subset\{\lambda_{1},...,\lambda_{N}\}$

  4. Montrer que $ \tilde Q_{p}(f)=\pi_{p}$. Vérifier alors que $ \pi_{p}\circ\pi_{q}= \left\{
\begin{array}{l}
0 \text{ si } p\neq q\\
\pi_{p} \text{ si } p=q
\end{array}\right. $

  5. Calculer $ f\circ\pi_{p}$. En déduire que $ Sp(f)=\{\lambda_{1},...,\lambda_{N}\}$.


    On note $ E_{p}$ l'espace propre associé à la valeur propre $ \lambda_{p}$.

  6. Montrer que $ \mathop{\mathrm{Im}}\nolimits \pi_{p}\subset E_{p}$. Réciproquement, pour $ x\in
E_{p}$, montrer que $ x\in\mathop{\mathrm{Ker}}\nolimits \pi_{q}$ pour $ q\neq p$ (on calculera par exemple $ \pi_{q}\circ f(x)$ de deux façons différentes) puis que $ x=\pi_{p}(x)$. En déduire que $ E_{p}\subset\mathop{\mathrm{Im}}\nolimits \pi_{p}$.
  7. En déduire que $ \mathop{\mathrm{Im}}\nolimits \pi_{p}=E_{p}$ et que $ \mathop{\mathrm{Ker}}\nolimits \pi_{p}=\bigoplus_{q\neq p}E_{q}$. Décrire géométriquement $ \pi_{p}$.


Exercice 1610 On considère l'application suivante :

$\displaystyle f:
\begin{array}{ccc}
\mathbb{R}_{n}[X] &\rightarrow &\mathbb{R}_{n}[X] \\
P &\mapsto &(X^{2}-1)P'-2(nX+a)P
\end{array}$

Vérifier que cette application est bien définie.

Déterminer ses valeurs propres, et les espaces propres associés.

Exercice 1611 Soit $ E$ un espace vectoriel de dimension $ n$ et $ u$ un endomorphisme de $ E$ ayant $ n$ valeurs propres distinctes $ \{\lambda_{1},...,\lambda_{n}\}$.

  1. Montrer que l'ensemble $ \mathop{\mathrm{Com}}\nolimits =\{v\in\mathcal{L}(E,E)/ uv=vu\}$ des endomorphismes de $ E$ qui commutent avec $ u$ est un espace vectoriel.

    1. Soit $ v$ un élément de $ \mathop{\mathrm{Com}}\nolimits $. Montrer que $ v$ préserve les espaces propres de $ u$ (c'est à dire que si $ E_{\lambda } $ est un espace propre de $ u$ associé à la valeur propre $ \lambda$, on a $ \forall
x\in E_{\lambda}, v(x)\in E_{\lambda}$).
    2. Donner la dimension des espaces propres de $ u$ et montrer que si $ x$ est un vecteur propre de $ u$ alors c'est aussi un vecteur propre de $ v$.
    3. A l'aide d'une base convenablement choisie, décrire tous les éléments de $ \mathop{\mathrm{Com}}\nolimits $, et montrer que $ \mathop{\mathrm{Com}}\nolimits $ est de dimension $ n$.

  2. Montrer que $ \mathrm{Vect}($id$ ,u,u^{2},...,u^{n-1})\subset \mathop{\mathrm{Com}}\nolimits $.

  3. On veut maintenant étudier l'indépendance linéaire de la famille $ \{$id$ ,u,u^{2},...,u^{n-1}\}$. Pour cela, on considère $ n$ réels $ \alpha_{0},...,\alpha_{n-1}$ tels que $ \sum_{i=0}^{n}\alpha_{i}u^{i}=0$.
    1. Montrer que les $ (\alpha_{i})$ sont solution du système :

      $\displaystyle (*) \left\{
\begin{array}{ccccccccccc}
\alpha_{0}
&+&\alpha_{1} ...
...lambda_{n}^{2}
&+&...
&+&\alpha_{n-1}\lambda_{n}^{n-1}
&=&0
\end{array}\right.
$

    2. On rappel que : $ \begin{vmatrix}
1&\lambda_{1}&\lambda_{1}^{2}&...&\lambda_{1}^{n-1}\\
1&\lamb...
...end{vmatrix}=\prod\limits_{1\leqslant i<j\leqslant n}(\lambda_{j}-\lambda_{i})
$. En déduire l'ensemble des solutions du système $ (*)$ et conclure.

  4. Montrer que $ \mathop{\mathrm{Com}}\nolimits =\mathrm{Vect}($id$ ,u,u^{2},...,u^{n-1})$.




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Arnaud Bodin 2004-06-24