next up previous
suivant: Endomorphismes particuliers monter: Espaces euclidiens précédent: Orthonormalisation

Formes quadratiques

Exercice 1509 Soient $ E$ un $ K$-espace vectoriel (où $ K$ est $ \mathbb{R}$ ou $ \mathbb{C}$) de dimension finie $ n>0$ et $ q$ une forme quadratique sur $ E$.

  1. $ q$ peut-elle être injective ?
  2. Trouver une condition nécessaire et suffisante sur $ q$ pour qu'elle soit surjective.


Exercice 1510[examen juin 1999] Soit $ a$ un nombre réel. Soit $ q$ la forme quadratique définie sur $ \mathbb{R}^3 $ par

$\displaystyle q(v)=x^2+(1+a)y^2+(1+a+a^2)z^2+2xy-2ayz$

pour $ v=(x,y,z)$. Soit $ f$ la forme bilinéaire symétrique associée à $ q$.
  1. Déterminer une décomposition de $ q$ en combinaison linéaire de carrés de formes linéaires indépendantes.
  2. Donner le rang et la signature de $ q$ suivant les valeurs de $ a$.
  3. Pour quelles valeurs de $ a$, $ f$ définit-elle un produit scalaire ?


Exercice 1511 Soit $ q$ la forme quadratique de $ \mathbb{R}^3 $ de matrice $ A=
\left(\begin{smallmatrix}
2 & 1 & 1 \\
1 & 1 & 1 \\
1 & 1 & 2
\end{smallmatrix}\right)
$ dans la base canonique $ \mathcal{B}=(e_1,e_2,e_3)$ de $ \mathbb{R}^3.$

  1. Donner l'expression analytique de $ q$ dans $ \mathcal{B}$ et expliciter sa forme polaire $ f$.
  2. Vérifier que $ \mathcal{B}^{^{\prime }}=(e_1,-\frac
12e_1+e_2,-e_2+e_3)$ est une base $ \mathbb{R}^3 $ et donner la matrice de $ q$ dans cette base. Expliciter $ q$ dans cette base.
  3. Trouver le rang et la signature de $ q$.


Exercice 1512 Soient $ E=\mathbb{R}_2\left[ X\right] $ et $ q$ l'application de $ E$ dans $ \mathbb{R}$ définie par $ q(P)=P(0)P(1).$

    1. Montrer que $ q$ est une forme quadratique sur $ E$.
    2. Déterminer la matrice de $ q$ dans la base canonique de $ E$.
    3. La forme $ q$ est-elle positive, négative ?
  1. Soit $ P:=X^2+X+1$ et $ V=$vect($ P$). Déterminer $ V^{\bot }$ et $ V^{\bot
\bot }.$
  2. Déterminer le rang de $ q$ puis son noyau.
  3. Déterminer le cône isotrope $ C(q)$ de $ q$ et constuire une base de $ E$ formée de vecteurs isotropes. $ C(q)$ est-il un sous-espace vectoriel de $ E$ ?
  4. Déterminer une base $ (P_0,P_1,P_2)$ de $ E$ telle que $ q(a_0P_0+a_1P_1+a_2P_2)=a_0^2-a_1^2$ et donner la signature de $ q.$


Exercice 1513 Soit $ q$ une forme quadratique sur un $ \mathbb{R}$-espace vectoriel $ E$, que l'on suppose définie (i.e. son cône isotrope est $ \left\{ {0} \right\}$). Montrer que $ q$ garde un signe constant sur $ E$ (on pourra raisonner par l'absurde et considérer $ q(a+tb)$$ a$ et $ b$ sont des vecteurs bien choisis et $ t\in\mathbb{R}$).

Exercice 1514

  1. Diagonaliser $ A=
\left(\begin{smallmatrix}11 & -5 & 5 \\
-5 &3 & -3 \\
5 & -3 & 3
\end{smallmatrix}\right) .$
  2. Soit $ q$ la forme quadratique de $ \mathbb{R}^3 $ de matrice $ A$ dans la base canonique de $ \mathbb{R}^3.$ Utiliser la question précédente pour trouver une base $ q$-orthogonale, déterminer la signature de $ q$ et une décomposition de $ q$ en combinaison linéaire de carrés de formes linéaires indépendantes.


Exercice 1515 Déterminer la signature de la forme quadratique

$\displaystyle {q:\left( x,y,z\right) \in \mathbb{R}^3\mapsto
\left( 2x+y-z\right) ^2-\left( 3x-y+2z\right)
^2+\left( 5y-7z\right) ^2.}$



Exercice 1516 Soit la forme quadratique $ q$ définie par

$\displaystyle {
q:\left( x_1,x_2,x_3,x_4\right) \in
\mathbb{C}^4\mapsto
x_1x_2+x_2x_4-x_3x_4-2x_1x_4-2x_2x_3-x_1x_3}.$

  1. Montrer, sans réduire $ q$, qu'il existe une base $ q$-orthonormale de $ \mathbb{C}^4.$
  2. En expliciter une.



next up previous
suivant: Endomorphismes particuliers monter: Espaces euclidiens précédent: Orthonormalisation
Arnaud Bodin 2004-06-24