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Orthonormalisation

Exercice 1493 Résoudre l'équation $ (1-x)^2 + (x-y)^2 + (y-z)^2 + z^2 = \frac{1}{4}$ pour $ (x,y,z) \in \mathbb{R}^3$.

Exercice 1494

  1. Soit $ F $ le sous-espace de $ \mathbb{R}^5$ engendré par $ u = (1, 2, 3, -1,2)$ et $ v = (2, 4, 7, 2, -1)$. Trouver une base de l'orthogonal $ F^\perp$ de $ F $.
  2. Trouver une base orthonormale du sous-espace $ E$ de $ \mathbb{C}^3$ engendré par $ v_1 = (1, i, 0)$ et $ v_2 = (1, 2, 1-i)$.


Exercice 1495 Soit $ F $ un sous-espace d'un espace euclidien $ E$. Montrer qu'il existe une base orthonormale de $ F $ qui est inclue dans une base orthonormale de $ E$.

Exercice 1496

  1. Soit $ A =
\left(\begin{array}{ccc}2&1&1\ 1&1&1\ 1&1&2\end{array}\right)$. Montrer que $ A$ définit un produit scalaire $ \varphi $ sur $ \mathbb{R}^3 $. Construire une base orthonormale pour $ \varphi $.
  2. Considérons une base $ \{v_1 = (1,1,1), v_2 = (0,1,1), v_3 =
(0,0,1)\}$ de l'espace euclidien $ \mathbb{R}^3 $. Utiliser le procédé d'orthogonalisation de Schmidt pour transformer $ \{v_i\}$ en une base orthonormale.


Exercice 1497 Soient $ E = \mathbb{R}_n[X], I_n = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{+\infty}
t^ne^{\frac{-t^2}{2}}dt$.

  1. Montrer que l'intégrale $ I_n$ est convergente. Que vaut $ I_{2p+1}$ ?

    Soit $ \varphi : E \times E \to \mathbb{R}$ définie par $ \varphi(P,Q) =
\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{+\infty}P(t)Q(t)e^{\frac{-t^2}{2}}dt$.

  2. Montrer que $ \varphi $ est un produit scalaire.
  3. On suppose $ n = 2$. Ecrire la matrice associée à $ \varphi $ dans la base $ (1,X,X^2)$. Construire une base orthonormale $ (P_0,P_1,P_2)$ par le procédé d'orthogonalisation de Schmidt appliqué à $ (1,X,X^2)$.


Exercice 1498 Réduire en somme de carrés indépendants les formes suivantes :

  1. $ 9x^2 - 6y^2 - 8z^2 + 6xy - 14xz + 18xw + 8yz + 12yw - 4zw$
  2. $ x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 - 2x_4^2 - 2x_1x_2 + 2x_1x_3 - 2x_1x_4 + 2x_2x_3
- 4x_2x_4$


Exercice 1499 $ \mathbb{R}^3 $ est muni de sa structure canonique d'espace vectoriel euclidien. Vérifier que les vecteurs $ e_1=(1,0,1),$ $ e_2=(1,0,2)$ et $ e_3=(1,1,1)$ forment une base de $ \mathbb{R}^3 $ et en déterminer l'orthonormalisée de Gram-Schmidt.

Exercice 1500 $ \mathbb{R}^4$ est muni de sa structure canonique d'espace vectoriel euclidien. Soient $ e_1=(1,0,1,0)$ et $ e_1=(1,-1,1,-1)$ et $ F=$vect$ (e_1,e_2)$.

  1. Déterminer une base orthonormale de $ F .$
  2. Déterminer la matrice dans la base canonique de $ \mathbb{R}^4$ du projecteur orthogonal sur $ F .$
  3. Déterminer la distance du vecteur $ (1,1,1,1)$ au sous-espace vectoriel $ F .$


Exercice 1501 On munit le $ \mathbb{R}$-espace vectoriel $ \mathbb{R}_2[X]$ du produit scalaire défini par

$\displaystyle {\phi:\mathbb{R}_2[X]\to\mathbb{R}_2[X],
(P,Q)\mapsto\int_{-1}^{1}P(t)Q(t)dt.}$

  1. Déterminer l'orthonormalisée de Gram-Schmidt de la base canonique de $ \mathbb{R}_2[X]$.
  2. Déterminer la distance du polynôme $ P=X^2+X+1$ au sous-espace vectoriel $ F $ de $ \mathbb{R}_2[X]$ formé des polynômes $ f$ tels que $ f'(0)=0.$


Exercice 1502 Soit $ f:\mathbb{R}^3\times\mathbb{R}^3\to \mathbb{R}$ définie de la manière suivante : si $ u=(x,y,z)$ et $ u'=(x',y',z')$ alors

$\displaystyle {f(u,u')=2xx'+yy'+2zz'+xy'+yx'+xz'+zx'+yz'+zy'.}$

  1. Montrer que $ f$ est un produit scalaire sur l'espace vectoriel canonique $ \mathbb{R}^3 $.
  2. Soit $ P$ le sous-espace vectoriel de $ \mathbb{R}^3 $ d'équation cartésienne $ 2x-y+z=0$.
    1. Déterminer l'orthogonal du sous-espace vectoriel $ P$.
    2. Déterminer un sous-espace vectoriel de $ \mathbb{R}^3 $ dont l'orthogonal est $ P$.
  3. Déterminer l'orthonormalisée de Gram-Schmidt de la base canonique de $ \mathbb{R}^3 $ pour le produit scalaire $ f$.


Exercice 1503 Orthonormaliser dans $ \mathbb{R}^{3}$ la famille $ x_{1} = (1, -2, 2)$, $ x_{2} = (-1, 0, -1)$, $ x_{3} = (5, -3, 7)$.

Exercice 1504 Déterminer une base orthonormée de $ \mathbb{R}_{2}[X]$ muni du produit scalaire $ \langle P\vert Q \rangle = \int_{0}^{1}{P (t)Q (t)dt}$.

Exercice 1505 On considère la forme bilinéaire $ b$ de $ \mathbb{R}^{4}$ définie par :

$\displaystyle b(x,y)=x_{1}y_{1}+2x_{2}y_{2}+4x_{3}y_{3}+18x_{4}y_{4}
+ x_{1}y_{3}+ x_{3}y_{1}
+2x_{2}y_{4}+2x_{4}y_{2}
+6x_{3}y_{4}+6x_{4}y_{3}
$

$ x_{1},x_{2},x_{3}$ et $ y_{1},y_{2},y_{3}$ sont les coordonnées de $ x$ et $ y$ dans la base canonique.
  1. Montrer qu'il s'agit d'un produit scalaire.
  2. Ecrire la matrice de $ b$ dans la base canonique.
  3. Trouver une base orthonormée pour $ b$.


Exercice 1506 On considère un espace euclidien $ (E,<>)$.

  1. Théorème de Pythagore :

    Soient $ u$ et $ v$ deux vecteurs orthogonaux de $ E$. Calculer $ \vert\vert u+v\vert\vert^{2}$. Illustrer le résultat obtenu à l'aide d'un dessin.

  2. Projection orthogonale et distance à un sous-espace :

    Soit $ F $ un sous-espace de $ E$. On rappelle que $ E=F\oplus
F^{\bot}$, et donc que tout vecteur $ x$ de $ E$ se décompose de manière unique en une somme $ x=x_{1}+_{2}$ avec $ x_{1}\in F$ et $ x_{2}\in F^{\bot}$. Le vecteur $ x_{1}$ s'appelle alors la projection orthogonale de $ x$ sur $ F $.

    1. Montrer que l'application $ p$ qui à un vecteur asocie sa projection orthogonale sur $ E$ est une application linéaire. Vérifier que : $ \forall y\in F, <x-p(x),y>=0$.
    2. On considère maintenant un vecteur $ x$ de $ E$. On appelle distance de $ x$ à $ F $ le nombre $ \mathrm{dist}(x,F)=\inf_{y\in F}\Vert x-y\Vert$.

      Pour $ y\in F$, vérifier que $ x-p(x)$ et $ y-p(x)$ sont orthogonaux. Utiliser alors la question 1 pour montrer que $ \vert\vert x-y\vert\vert^{2}\geqslant \vert\vert x-p(x)\vert\vert^{2}$. Illustrer sur un dessin.

      En déduire que $ \mathrm{dist}(x,F)=\vert\vert x-p(x)\vert\vert$.

    3. Soit $ (e_{1},\ldots,e_{r})$ une base orthonormée de $ F $. Montrer que $ p(x)=\sum_{i=1}^{r}<x,e_{i}>\;e_{i}$.

  3. Espace de polynômes :

    Sur l'espace $ E=\mathbb{R}_{3}[X]$, on considère la forme bilinéaire définie par :

    $\displaystyle <P,Q>=\frac{1}{2}\int_{-1}^{1}P(t)Q(t)dt.
$

    1. Montrer qu'il s'agit d'un produit scalaire (on admet que l'intégrale sur $ [-1,1]$ d'une fonction $ f$ continue et positive est nulle si et seulement si $ f$ est nulle sur $ [-1,1]$)

    2. A l'aide du procédé de Schmidt appliqué à la base $ (1,X,X^{2})$, construire une base orthonormée de $ \mathbb{R}_{2}[X]$ pour ce produit scalaire.
    3. On considère le polynôme $ P_{0}=X^{3}$. Calculer la projection orthogonale de $ X^{3}$ sur $ \mathbb{R}_{2}[X]$. En déduire que pour ce produit scalaire, on a :

      $\displaystyle \mathrm{dist}(X^{3},\mathbb{R}^{2}[X])=\frac{2}{5\sqrt{7}} .
$



Exercice 1507

Soit $ (E,<,>)$ un espace euclidien, $ x_{0}$ un point de $ E$ et $ F $ un sous espace vectoriel de $ E$. On note $ \pi$ la projection orthogonale de $ E$ sur $ F $. On rappelle que pour $ x\in E$, $ \pi(x)$ est caractérisé par les relations :

$\displaystyle \pi(x)\in F$    et $\displaystyle \qquad x-\pi(x)\in F^{\bot}
$

Le but de cette partie est de montrer que la projection orthogonale de $ x_{0}$ sur $ F $ est le point de $ F $ le plus proche de $ x_{0}$.

  1. En utilisant que $ x_{0}-y=(x_{0}-\pi(x_{0}))+(\pi(x_{0})-y)$, montrer que

    $\displaystyle \Vert x_{0}-y\Vert^{2}=\Vert x_{0}-\pi(x_{0})\Vert^{2}+\Vert
y-\pi(x_{0})\Vert^{2}.
$

  2. En déduire que $ \inf\limits_{y\in F}\Vert x_{0}-y\Vert^{2}=\Vert
x_{0}-\pi(x_{0})\Vert^{2} $, c'est à dire que :

    $\displaystyle \forall y\in F, \Vert
x_{0}-y\Vert^{2}\geqslant \Vert x_{0}-\pi(x_{0})\Vert^{2}
$

    A quelle condition a-t-on égalité dans la relation ci-dessus ?
  3. Soit $ (e_{1},\dots,e_{k})$ une base orthonormée de $ F $. Montrer que $ \pi(x_{0})=\sum_{i=1}^{k}<e_{i},x_{0}>e_{i}$

  4. Déduire des deux questions précédentes que

    $\displaystyle \inf\limits_{y\in F}\Vert
x_{0}-y\Vert^{2}=\Vert x_{0}-\sum_{i=1}...
...{i},x_{0}>e_{i}\Vert^{2}
=\Vert x_{0}\Vert^{2}-\sum_{i=1}^{k}<e_{i},x_{0}>^{2}
$


    Application : Le but est maintenant de déterminer

    $\displaystyle \alpha=\inf\limits_{a,b\in \mathbb{R}^{2}}\int_{-1}^{1} (e^{t}-at-b)^{2}dt.
$

    On considère à cet effet l'espace $ F=\mathbb{R}_{1}[X]$, comme sous espace de $ E=F\oplus\mathbb{R}f_{0}$$ f_{0}$ est la fonction définie par $ f_{0}(t)=e^{t}$. On admettra sans démonstration que $ <f,g>=\int_{-1}^{1}f(t)g(t)dt$ est un produit scalaire sur $ E$.

  5. Donner une base orthonormée $ (P_{1},P_{2})$ de $ \mathbb{R}_{1}[X]$ pour ce produit scalaire.

  6. Calculer $ <f_{0},P_{1}>$, $ <f_{0},P_{2}>$, et $ \Vert f_{0}\Vert^{2}$. En déduire que

    $\displaystyle \alpha=\frac{e^{2}-e^{-2}}{2}-(2e^{-1})^{2}-\Big(\frac{e-e^{-1}}{2}\Big)^{2}.
$

  7. Même question avec le calcul de $ \alpha'=\inf\limits_{a,b\in
\mathbb{R}^{2}}\int_{-1}^{1} (e^{t}-at^{2}-bt-c)^{2}dt. $ : commencer par chercher une base orthonormée de $ \mathbb{R}_{2}[X]$ pour le même produit scalaire, et en déduire $ \alpha'$.



Exercice 1508 A deux polynômes $ P$ et $ Q$ de $ \mathbb{R}_{n}[X]$, on associe le nombre

$\displaystyle \phi(P,Q)=\int_{0}^{1}P'(t)Q'(t)dt+P(0)Q(0)
$

  1. Montrer que $ \phi$ est un produit scalaire sur $ \mathbb{R}_{n}[X]$.
  2. Lorsque $ n = 2$, donner une base orthonormée pour ce produit scalaire.



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Arnaud Bodin 2004-06-24