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Exercice 1493
Résoudre l'équation
pour
.
Exercice 1494
- Soit le sous-espace de
engendré par
et
. Trouver une base de l'orthogonal
de .
- Trouver une base orthonormale du sous-espace de
engendré
par
et
.
Exercice 1495
Soit un sous-espace d'un espace euclidien . Montrer qu'il existe une
base orthonormale de qui est inclue dans une base orthonormale de .
Exercice 1496
- Soit
. Montrer que
définit un produit scalaire sur
. Construire une
base orthonormale pour .
- Considérons une base
de l'espace euclidien
. Utiliser le procédé
d'orthogonalisation de Schmidt pour transformer en une base
orthonormale.
Exercice 1497
Soient
.
- Montrer que l'intégrale est convergente. Que vaut ?
Soit
définie par
.
- Montrer que est un produit scalaire.
- On suppose . Ecrire la matrice associée à dans la
base . Construire une base orthonormale
par le
procédé d'orthogonalisation de Schmidt appliqué à .
Exercice 1498
Réduire en somme de carrés indépendants les formes suivantes :
-
-
Exercice 1499
est muni de sa structure canonique
d'espace vectoriel euclidien. Vérifier que les
vecteurs
et
forment une base de
et en
déterminer l'orthonormalisée de Gram-Schmidt.
Exercice 1500
est muni de sa structure canonique
d'espace vectoriel euclidien. Soient
et
et
vect.
- Déterminer une base orthonormale de
- Déterminer la matrice dans la base canonique de
du projecteur orthogonal
sur
- Déterminer la distance du vecteur au sous-espace vectoriel
Exercice 1501
On munit le
-espace vectoriel
du
produit scalaire défini par
- Déterminer l'orthonormalisée de Gram-Schmidt de la base canonique de
.
- Déterminer la distance du polynôme au sous-espace vectoriel
de
formé des polynômes tels que
Exercice 1502
Soit
définie de la
manière suivante : si et
alors
- Montrer que est un produit scalaire sur l'espace vectoriel canonique
.
- Soit le sous-espace vectoriel de
d'équation cartésienne .
- Déterminer l'orthogonal du sous-espace vectoriel .
- Déterminer un sous-espace vectoriel de
dont l'orthogonal est .
- Déterminer l'orthonormalisée de Gram-Schmidt de la base canonique de
pour le produit scalaire .
Exercice 1503
Orthonormaliser dans
la famille
,
,
.
Exercice 1504
Déterminer une base orthonormée de
muni du produit scalaire
.
Exercice 1505
On considère la forme bilinéaire de
définie par :
où
et
sont les coordonnées
de et dans la base canonique.
- Montrer qu'il s'agit d'un produit scalaire.
- Ecrire la matrice de dans la base canonique.
- Trouver une base orthonormée pour .
Exercice 1506
On considère un espace euclidien .
- Théorème de Pythagore :
Soient et deux vecteurs orthogonaux de . Calculer
. Illustrer le
résultat obtenu à l'aide d'un dessin.
- Projection orthogonale et distance à un sous-espace :
Soit un sous-espace de . On rappelle que
, et donc que tout
vecteur de se décompose de manière unique en une somme
avec
et
. Le vecteur s'appelle alors la projection
orthogonale de sur .
- Montrer que l'application qui à un vecteur asocie sa projection orthogonale sur
est une application linéaire. Vérifier que :
.
- On considère maintenant un vecteur de . On appelle distance de à le nombre
.
Pour , vérifier que et sont orthogonaux. Utiliser alors la
question 1 pour montrer que
. Illustrer sur un dessin.
En déduire que
.
- Soit
une base orthonormée de . Montrer que
.
- Espace de polynômes :
Sur l'espace
, on considère la forme bilinéaire définie par :
- Montrer qu'il s'agit d'un produit scalaire (on admet que l'intégrale sur d'une
fonction continue et positive est nulle si et seulement si est nulle sur )
- A l'aide du procédé de Schmidt appliqué à la base
, construire une base
orthonormée de
pour ce produit scalaire.
- On considère le polynôme
. Calculer la projection
orthogonale de sur
. En déduire que pour ce produit
scalaire, on a :
Exercice 1507
Soit un espace euclidien, un point de et un
sous espace vectoriel de . On note la projection orthogonale de
sur . On rappelle que pour , est caractérisé par
les relations :
et
Le but de cette partie est de montrer que la projection orthogonale de
sur est le point de le plus proche de .
En utilisant que
, montrer
que
En déduire que
, c'est à dire que :
A quelle condition a-t-on égalité dans la relation ci-dessus ?
Soit
une base orthonormée de . Montrer que
Déduire des deux questions précédentes que
Application : Le but est maintenant de déterminer
On considère à cet effet l'espace
, comme sous espace de
où est la fonction définie par
.
On admettra sans démonstration que
est un
produit scalaire sur .
- Donner une base orthonormée
de
pour ce produit
scalaire.
Calculer
,
, et
. En
déduire que
Même question avec le calcul de
: commencer par
chercher une base orthonormée de
pour le même produit
scalaire, et en déduire .
Exercice 1508
A deux polynômes et de
, on associe le nombre
- Montrer que est un produit scalaire sur
.
- Lorsque , donner une base orthonormée pour ce produit scalaire.
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Arnaud Bodin
2004-06-24