Projection, symétrie

Exercice 1477 Déterminer la matrice dans la base canonique de $\mathbb{R}^{3}$ de la projection orthogonale sur le plan d'équation $x+2y-3z=0$.

En déduire la matrice de la symétrie orthogonale par rapport à ce plan.

Dans un espace euclidien de dimension $n$, on considére un sous-espace $F$ de dimension $r$ et $(f_{1},...,f_{r})$ une base de orthonormée de cet espace. On not $p_{F}$ la projection orthogonale sur $F$, c'est à dire la projection sur $F$ associée à la décomposition $E=F\oplus F^{\bot}$. Montrer que :

$$\forall v\in F, \qquad p_{F}(v)=<v,f_{1}>f_{1} +<v,f_{2}>f_{2} +\cdots +<v,f_{r}>f_{r}$$

Exercice 1478 Dans $\mathbb{R}^{3}$ muni de son produit scalaire canonique, déterminer la projection orthogonale sur le plan d'équation $x+y+z=0$ de $(1,0,0)$, et plus généralement d'un vecteur $(x,y,z)$ quelconque.

Donner la matrice de cette projection ainsi que celle de la symétrie orthogonale par rapport à ce plan.

Dans un espace euclidien de dimension $n$, on considère un sous-espace $F$ de dimension $r$ et $(f_{1},...,f_{r})$ une base de orthonormée de cet espace. On not $p_{F}$ la projection orthogonale sur $F$, c'est à dire la projection sur $F$ associée à la décomposition $E=F\oplus F^{\bot}$. Montrer que :

$$\forall v\in F, \qquad p_{F}(v)=<v,f_{1}>f_{1} +<v,f_{2}>f_{2} +\cdots +<v,f_{r}>f_{r}$$

Exercice 1479 Soit $(E, \langle , \rangle )$ un espace euclidien et $p \in \mathcal{L} (E)$ un projecteur. Montrer que $p$ est orthogonal (c'est-à-dire $\hbox{Ker}(p)\perp \hbox{Im}(p)$) si et seulement si : $\forall x \in E : \Vert p(x)\Vert \leqslant \Vert x\Vert .$

Exercice 1480 Soit $(E, \langle , \rangle )$ un espace euclidien et $F$ un sous-espace vectoriel de $E.$ On note $p$ la projection orthogonale sur $F$ et on pose, pour tout $${ x\in E : d(x, F)= \inf _{y\in F}\Vert x-y\Vert } .$$ Soit $z \in F .$

1. Montrer que pour tout $x\in F ,$ les trois conditions sont équivalentes :

   (i)

   $d(x,F)=\Vert x-z\Vert .$

   (ii)

   $z=p(x) .$

   (iii)

   $\forall y \in F , y\perp (x-z) .$

2. En déduire $${ \inf _{a,b\in \mathbb{R}} \int _0 ^1 (x^2-ax-b)^2dx } .$$

Exercice 1481 Soit $(E, \langle , \rangle )$ un espace euclidien de dimension supérieure ou égale à $2 .$ Soient $x$ et $y \in E .$ Montrer que :

1. Si $\Vert x\Vert = \Vert y\Vert ,$ alors il existe un hyperplan $H$ de $E$ tel que $y = s(x)$ où $s$ est la symétrie orthogonale par rapport à $H.$
2. Si $\langle x, y\rangle = \Vert y\Vert ^2 ,$ alors il existe un hyperplan $H$ de $E$ tel que $y = p(x)$ où $p$ est la projection orthogonale sur $H.$

Exercice 1482 Dans $\mathbb{R}^3$ muni du produit scalaire euclidien canonique, donner la matrice de la projection orthogonale sur le plan d'équation $x + 2y - 3z = 0 .$ Donner la matrice de la symétrie orthogonale par rapport à ce même plan.

Exercice 1483 Soit $(E, \langle , \rangle )$ un espace euclidien et $F$ un sous-espace vectoriel muni d'une base orthonormale $(e_1, \ldots, e_m) .$ Soit $p$ la projection orthogonale sur $F .$

1. Montrer que $${\forall x \in E , p(x) = \sum_{i=1}^m \langle x,e_i\rangle e_i} .$$
2. Donner de même l'expression de la symétrie orthogonale par rapport à $F$ et la projection orthogonale sur $F^\perp .$

Exercice 1484 Quelle est la transformation de $\mathbb{R}^{3}$ dont la matrice dans la base canonique est $\frac{1}{7} \begin{pmatrix}-2 & 6&-3\ 6&3&2\ -3&2&6\ \end{pmatrix}$ ?

Exercice 1485 Déterminer la matrice dans la base canonique de $\mathbb{R}^{4}$ de la projection orthogonale sur $\mathrm{Vect} (v_{1}, v_{2})$ où $v_{1} = (1, -1, 0, 0)$ et $v_{2} = (0, 1, 0, 1)$.

Exercice 1486 Soient $E$ un espace euclidien, $u$ un vecteur non nul et $H = u^{\bot}$. Soient $p$ la projection orthogonale sur $H$ et $s$ la symétrie orthogonale par rapport à $H$.

1. Montrer que $\forall x \in E \qquad p (x) = x-\frac{\langle x\vert u \rangle} {\left\Vert u\right\Vert^{2}}u$.
2. Montrer que $\forall x \in E \qquad s (x) = x-2\frac{\langle x\vert u \rangle} {\left\Vert u\right\Vert^{2}}u$.
3. On considère dans $\mathbb{R}^{3}$ le plan $(\Pi : x-y + z = 0)$. Déterminer la matrice dans la base canonique de la symétrie orthogonale par rapport à $\Pi$.

Exercice 1487 Soit $\left({E,\;\vert\;}\right)$ un espace vectoriel de dimension $n$.

1. Soient $F$ et $G$ des sous-espace vectoriels de $E$. Montrer que $\left({F\cap G}\right)^\perp=F^\perp+G^\perp$.
2. Soient $\mathcal{B}=(e_1,...,e_n)$ une base orthonormale de $E$ et $(a_1,...,a_n)\in\mathbb{R}^n\setminus \left\{ {(0,...,0)} \right\}$ et $H$ le sous-espace vectoriel de $E$ d'équation cartésienne $\sum_{k=1}^{n}a_kx_k=0$ dans $\mathcal{B}.$
   1. Déterminer l'orthogonale de $H$.
   2. Déterminer la distance du vecteur $x=\sum_{k=1}^{n}x_ke_k$ de $E$ au sous-espace vectoriel $H$.
3. Soit $P$ le sous-espace vectoriel de l'espace vectoriel $\mathbb{R}^4$ défini par
   $${u=(x_1,x_2,x_3,x_4)\in P\Leftrightarrow x_1+x_2+x_3+x_4=x_2+2x_3+3x_4=0.}$$
   1. Déterminer une base de $P^\perp$ puis une base orthonormale de $P^\perp$.
   2. En déduire une expression analytique de la projection orthogonale de $\mathbb{R}^4$ sur $P$.

Exercice 1488 Soient $E$ un espace vectoriel euclidien, $F$ et $G$ deux sous-espace vectoriels supplémentaires de $E$ et $p$ le projecteur de $E$ d'axe $F$ et de direction $G$.

1. On suppose que $F\perp G$. Montrer que $\forall x\in E, \Vert p(x)\Vert\leqslant \Vert x\Vert.$
2. On suppose que $\forall x\in E, \Vert p(x)\Vert\leqslant \Vert x\Vert$.
   1. Soient $a\in F$ et $b \in G$. Montrer que $\Vert a+b\Vert\geqslant \Vert a\Vert$.
   2. En déduire que $F\perp G$.

Exercice 1489 Soit $\alpha=\inf\left\{ {\int_{-1}^{1}\left({ax^2+bx+c-\vert{x}\vert\;}\right)^2dx:a,b,c\in\mathbb{R}} \right\}$.

1. Déterminer un espace vectoriel euclidien $(E, \vert )$, un sous-espace vectoriel $F$ de $E$ et $v\in E$ tel que $\alpha=$d$(v,F)^2$.
2. Déterminer $p\in F$ tel que $\alpha=$d$(v,p)^2$ et $\alpha$.

Exercice 1490 Soit $E$ un espace euclidien (de dimension finie), $F$ et $G$ deux sous-espaces vectoriels de $E$. Déterminer $(F + G)^{\bot}$ et $(F \cap G)^{\bot}$ en fonction de $F^{\bot}$ et $G^{\bot}$.

Exercice 1491 Déterminer $\inf\limits_{ (a, b)\in \mathbb{R}^{2}} \int_{0}^{1}{ (e^{x}- (ax + b))^{2}dx}$.

Exercice 1492 Calculer :

$$\inf\limits_{(a,b)\in {\mathbb{R}}^{2}}\int_{0}^{1}x^{2}\left\vert \ln x-ax-b\right\vert^{2}dx.$$