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Projection, symétrie

Exercice 1477 Déterminer la matrice dans la base canonique de $ \mathbb{R}^{3}$ de la projection orthogonale sur le plan d'équation $ x+2y-3z=0$.

En déduire la matrice de la symétrie orthogonale par rapport à ce plan.


Dans un espace euclidien de dimension $ n$, on considére un sous-espace $ F $ de dimension $ r$ et $ (f_{1},...,f_{r})$ une base de orthonormée de cet espace. On not $ p_{F}$ la projection orthogonale sur $ F $, c'est à dire la projection sur $ F $ associée à la décomposition $ E=F\oplus
F^{\bot}$. Montrer que :

$\displaystyle \forall v\in F, \qquad p_{F}(v)=<v,f_{1}>f_{1}
+<v,f_{2}>f_{2}
+\cdots
+<v,f_{r}>f_{r}
$



Exercice 1478 Dans $ \mathbb{R}^{3}$ muni de son produit scalaire canonique, déterminer la projection orthogonale sur le plan d'équation $ x+y+z=0$ de $ (1,0,0)$, et plus généralement d'un vecteur $ (x,y,z)$ quelconque.

Donner la matrice de cette projection ainsi que celle de la symétrie orthogonale par rapport à ce plan.


Dans un espace euclidien de dimension $ n$, on considère un sous-espace $ F $ de dimension $ r$ et $ (f_{1},...,f_{r})$ une base de orthonormée de cet espace. On not $ p_{F}$ la projection orthogonale sur $ F $, c'est à dire la projection sur $ F $ associée à la décomposition $ E=F\oplus
F^{\bot}$. Montrer que :

$\displaystyle \forall v\in F, \qquad p_{F}(v)=<v,f_{1}>f_{1}
+<v,f_{2}>f_{2}
+\cdots
+<v,f_{r}>f_{r}
$



Exercice 1479 Soit $ (E, \langle , \rangle ) $ un espace euclidien et $ p \in
\mathcal{L} (E) $ un projecteur. Montrer que $ p$ est orthogonal (c'est-à-dire $ \hbox{Ker}(p)\perp
\hbox{Im}(p) $) si et seulement si : $ \forall x \in E : \Vert p(x)\Vert \leqslant \Vert x\Vert
.$

Exercice 1480 Soit $ (E, \langle , \rangle ) $ un espace euclidien et $ F $ un sous-espace vectoriel de $ E.$ On note $ p$ la projection orthogonale sur $ F $ et on pose, pour tout $ \displaystyle{ x\in E : d(x, F)= \inf _{y\in F}\Vert x-y\Vert } .$ Soit $ z \in F .$

  1. Montrer que pour tout $ x\in F , $ les trois conditions sont équivalentes :
    (i)
    $ d(x,F)=\Vert x-z\Vert .$
    (ii)
    $ z=p(x) .$
    (iii)
    $ \forall y \in F , y\perp (x-z) .$
  2. En déduire $ \displaystyle{ \inf _{a,b\in \mathbb{R}} \int _0 ^1 (x^2-ax-b)^2dx } .$


Exercice 1481 Soit $ (E, \langle , \rangle ) $ un espace euclidien de dimension supérieure ou égale à $ 2 .$ Soient $ x$ et $ y \in E .$ Montrer que :

  1. Si $ \Vert x\Vert = \Vert y\Vert ,$ alors il existe un hyperplan $ H$ de $ E$ tel que $ y = s(x) $$ s$ est la symétrie orthogonale par rapport à $ H.$
  2. Si $ \langle x, y\rangle = \Vert y\Vert ^2 ,$ alors il existe un hyperplan $ H$ de $ E$ tel que $ y = p(x) $$ p$ est la projection orthogonale sur $ H.$


Exercice 1482 Dans $ \mathbb{R}^3 $ muni du produit scalaire euclidien canonique, donner la matrice de la projection orthogonale sur le plan d'équation $ x + 2y - 3z = 0 .$ Donner la matrice de la symétrie orthogonale par rapport à ce même plan.

Exercice 1483 Soit $ (E, \langle , \rangle ) $ un espace euclidien et $ F $ un sous-espace vectoriel muni d'une base orthonormale $ (e_1, \ldots, e_m) .$ Soit $ p$ la projection orthogonale sur $ F .$

  1. Montrer que $ \displaystyle{\forall x \in E , p(x) = \sum_{i=1}^m \langle
x,e_i\rangle e_i} .$
  2. Donner de même l'expression de la symétrie orthogonale par rapport à $ F $ et la projection orthogonale sur $ F^\perp .$


Exercice 1484 Quelle est la transformation de $ \mathbb{R}^{3}$ dont la matrice dans la base canonique est $ \frac{1}{7} \begin{pmatrix}-2 & 6&-3\ 6&3&2\ -3&2&6\ \end{pmatrix}$ ?

Exercice 1485 Déterminer la matrice dans la base canonique de $ \mathbb{R}^{4}$ de la projection orthogonale sur $ \mathrm{Vect} (v_{1}, v_{2})$ $ v_{1} = (1, -1, 0, 0)$ et $ v_{2} = (0, 1, 0, 1)$.

Exercice 1486 Soient $ E$ un espace euclidien, $ u$ un vecteur non nul et $ H = u^{\bot}$. Soient $ p$ la projection orthogonale sur $ H$ et $ s$ la symétrie orthogonale par rapport à $ H$.

  1. Montrer que $ \forall x \in E \qquad p (x) = x-\frac{\langle x\vert u \rangle}
{\left\Vert u\right\Vert^{2}}u$.
  2. Montrer que $ \forall x \in E \qquad s (x) = x-2\frac{\langle x\vert u \rangle}
{\left\Vert u\right\Vert^{2}}u$.
  3. On considère dans $ \mathbb{R}^{3}$ le plan $ (\Pi : x-y + z = 0)$. Déterminer la matrice dans la base canonique de la symétrie orthogonale par rapport à $ \Pi$.


Exercice 1487 Soit $ \left({E,\;\vert\;}\right)$ un espace vectoriel de dimension $ n$.

  1. Soient $ F $ et $ G$ des sous-espace vectoriels de $ E$. Montrer que $ \left({F\cap G}\right)^\perp=F^\perp+G^\perp $.
  2. Soient $ \mathcal{B}=(e_1,...,e_n)$ une base orthonormale de $ E$ et $ (a_1,...,a_n)\in\mathbb{R}^n\setminus \left\{ {(0,...,0)} \right\} $ et $ H$ le sous-espace vectoriel de $ E$ d'équation cartésienne $ \sum_{k=1}^{n}a_kx_k=0$ dans $ \mathcal{B}.$
    1. Déterminer l'orthogonale de $ H$.
    2. Déterminer la distance du vecteur $ x=\sum_{k=1}^{n}x_ke_k$ de $ E$ au sous-espace vectoriel $ H$.
  3. Soit $ P$ le sous-espace vectoriel de l'espace vectoriel $ \mathbb{R}^4$ défini par

    $\displaystyle {u=(x_1,x_2,x_3,x_4)\in P\Leftrightarrow
x_1+x_2+x_3+x_4=x_2+2x_3+3x_4=0.}$

    1. Déterminer une base de $ P^\perp$ puis une base orthonormale de $ P^\perp$.
    2. En déduire une expression analytique de la projection orthogonale de $ \mathbb{R}^4$ sur $ P$.


Exercice 1488 Soient $ E$ un espace vectoriel euclidien, $ F $ et $ G$ deux sous-espace vectoriels supplémentaires de $ E$ et $ p$ le projecteur de $ E$ d'axe $ F $ et de direction $ G$.

  1. On suppose que $ F\perp G$. Montrer que $ \forall x\in E, \Vert p(x)\Vert\leqslant \Vert x\Vert.$
  2. On suppose que $ \forall x\in E, \Vert p(x)\Vert\leqslant \Vert x\Vert$.
    1. Soient $ a\in F$ et $ b \in G$. Montrer que $ \Vert a+b\Vert\geqslant \Vert a\Vert$.
    2. En déduire que $ F\perp G$.


Exercice 1489 Soit $ \alpha=\inf\left\{ {\int_{-1}^{1}\left({ax^2+bx+c-\vert{x}\vert\;}\right)^2dx:a,b,c\in\mathbb{R}} \right\}$.

  1. Déterminer un espace vectoriel euclidien $ (E, \vert )$, un sous-espace vectoriel $ F $ de $ E$ et $ v\in E$ tel que $ \alpha=$d$ (v,F)^2$.
  2. Déterminer $ p\in F$ tel que $ \alpha=$d$ (v,p)^2$ et $ \alpha$.


Exercice 1490 Soit $ E$ un espace euclidien (de dimension finie), $ F $ et $ G$ deux sous-espaces vectoriels de $ E$. Déterminer $ (F + G)^{\bot}$ et $ (F \cap G)^{\bot}$ en fonction de $ F^{\bot}$ et $ G^{\bot}$.

Exercice 1491 Déterminer $ \inf\limits_{ (a, b)\in \mathbb{R}^{2}} \int_{0}^{1}{ (e^{x}- (ax + b))^{2}dx}$.

Exercice 1492 Calculer :

$\displaystyle \inf\limits_{(a,b)\in {\mathbb{R}}^{2}}\int_{0}^{1}x^{2}\left\vert \ln x-ax-b\right\vert^{2}dx. $




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Arnaud Bodin 2004-06-24