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Systèmes linéaires

Exercice 1163 Résoudre les systèmes suivants

$\displaystyle \left\{
\begin{array}{rc@{}rc@{}rcl}
3x &-& y &+& 2z &=& a \\
-x...
...&+& 2z &=& 5 \\
x &-& y &-& z &=& 1 \\
x & & &+& z &=& 3
\end{array}\right.
$



Exercice 1164 Sans chercher à résoudre les systêmes suivants, discuter la nature de leurs ensembles de solution :

$\displaystyle \left\{
\begin{array}{rc@{}rc@{}rcl}
x &+& y &-& z &=& 0 \\
x &-...
... z &=& 1 \\
2 x &-& 2 y & & &=& 2 \\
x &+& y &+& z &=& 3
\end{array}\right.
$



Exercice 1165 Soient $ x_0$,$ x_1$,...,$ x_n$, $ n+1$ réels distincts, et $ y_0$,$ y_1$,...,$ y_n$, $ n+1$ réels (distincts ou non).

Montrer qu'il existe un unique polynôme $ P$ tel que :

$\displaystyle \forall i\in\{0,...,n\}\quad P(x_i)=y_i
$



Exercice 1166 Résoudre, suivant les valeurs de $ m$ :

$\displaystyle (S_1)\; \left\{\begin{array}{rcl}
x+(m+1)y &=& m+2 \\
mx+(m+4)y ...
...{\begin{array}{rcl}
mx+(m-1)y & =& m+2 \\
(m+1)x-my &=&5m+3
\end{array}\right.$



Exercice 1167 Écrire les conditions, portant sur les réels $ a$, $ b$, $ c$, pour que les systèmes suivants admettent des solutions non nulles ; expliciter ces solutions.

$\displaystyle (S_1)\; \left\{\begin{array}{rcl}
x+y+z &=&0 \\
(b+c)x+(c+a)y+(a...
...array}{rcl}
x-a(y+z) &=&0 \\
y-b(x+z) &=& 0\\
z-c(x+y)&=&0
\end{array}\right.$



Exercice 1168 Résoudre et discuter suivant les valeurs de $ b_1$, $ b_2$, $ b_3$ et $ b_4$ :

$\displaystyle \displaylines{
(S_1)\;\left\{\begin{array}{rcl}
x+3y+4z+7t &=&b_1...
...y-2z-4t &=&b_2\\
-x-2y-z-2t &=& b_3\\
3x+6y+3z+6t &=&b_4
\end{array}\right.}$



Exercice 1169 Discuter et résoudre suivant les valeurs des réels $ \lambda$, $ a$, $ b$, $ c$, $ d$ :

$\displaystyle (S)\;\left\{\begin{array}{rcl}
(1+\lambda)x+y+z+t &=&a\\
x+(1+\l...
...&=&b \\
x+y+(1+\lambda)z+t &=&c \\
x+y+z+(1+\lambda)t &=&d
\end{array}\right.$



Exercice 1170 Discuter et résoudre suivant les valeurs des réels $ \lambda$ et $ a$ :

$\displaystyle (S)\;\left\{\begin{array}{rcl}
3x+2y-z+t &=&\lambda\\
2x+y-z &=&...
...a+2)x+(\lambda+2)y-z&=&3\lambda+a \\
3x-z+3t &=& -\lambda^2
\end{array}\right.$



Exercice 1171 Mettre sous forme matricielle et résoudre les systèmes suivants.

  1. $ \left\{\begin{array}{rcl}2x+y+z&=&3\ 3x-y-2z&=&0\\
x+y-z&=&-2\ x+2y+z&=&1\end{array}\right.$
  2. $ \left\{\begin{array}{rcl}x+y+z+t&=&1\ x-y+2z-3t&=&2\\
2x+4z+4t&=&3\ 2x+2y+3z+8t&=&2\ 5x+3y+9z+19t&=&6\end{array}\right.$

  3. $ \left\{\begin{array}{rcl}2x+y+z+t&=&1\ x+2y+3z+4t&=&2\\
3x-y-3z+2t&=&5\ 5y+9z-t&=&-6\end{array}\right.$

  4. $ \left\{\begin{array}{rcl}x-y+z+t&=&5\ 2x+3y+4z+5t&=&8\\
3x+y-z+t&=&7\end{array}\right.$

  5. $ \left\{\begin{array}{rcl}x+2y+3z&=&0\ 2x+3y-z&=&0\\
3x+y+2z&=&0\end{array}\right.$


Exercice 1172 Calculer les déterminants suivants.

$\displaystyle D_1=\left\vert\begin{array}{ccc}1&3&2\ 1&3&3\ 1&2&1\end{array}\...
...ert
D_5=\left\vert\begin{array}{ccc}0&0&1\ 1&0&0\ 0&1&0\end{array}\right\vert$



Exercice 1173 Résoudre et discuter le système linéaire suivant :

$\displaystyle (S)\;\left\{\begin{array}{rcl}
x_1+ x_2+3x_3+10x_4+ x_5 & = & b_1...
...3x_4+ 8x_5 & = & b_3 \\
x_1+4x_2+2x_3+ 7x_4+14x_5 & = & b_4
\end{array}\right.$



Exercice 1174 On considère l'application $ f$ de $ \mathbb{R}^5$ dans $ \mathbb{R}^4$ qui à un élément $ X=(x_1, x_2, x_3, x_4, x_5)$ associe l'élément $ Y=(y_1, y_2, y_3, y_4)$, défini par :

$\displaystyle (S)\;\left\{\begin{array}{rcl}
x_1+ x_2+3x_3+10x_4+ x_5 & = & y_1...
...3x_4+ 8x_5 & = & y_3 \\
x_1+4x_2+2x_3+ 7x_4+14x_5 & = & y_4
\end{array}\right.$

  1. Montrer que $ f$ est linéaire.

  2. On considère $ A$ l'ensemble des solutions de $ (S_H)$.

    $\displaystyle (S_H)\;\left\{\begin{array}{rcl}
x_1+ x_2+3x_3+10x_4+ x_5 & = & 0...
..._3+13x_4+ 8x_5 & = & 0 \\
x_1+4x_2+2x_3+ 7x_4+14x_5 & = &0
\end{array}\right.$

    Quelle est la nature de $ A$ ? Que représente $ A$ pour l'application $ f$ ? Donner une base de $ A$ ; quelle est la dimension de $ A$ ? Donner un système minimal d'équations qui définissent $ A$.

  3. Dans l'espace $ \mathbb{R}^4$, on considère les cinq vecteurs : $ V_1=(1,1,1,1)$, $ V_2=(1,2,3,4)$, $ V_3=(3,1,4,2)$, $ V_4=(10,4,13,7)$, $ V_5=(1,7,8,14)$. Que représentent ces vecteurs pour l'application $ f$ ? Trouver une base de Im$ f$.

  4. On considère le système $ (S)$ où les inconnues sont les $ x_i$, et où les $ y_j$ sont des paramètres. Comment interpréter les conditions de possibilité de ce système du point de vue de $ f$ ?

  5. Donner une interprétation du théorème du rang relativement à ce système. Quel est le lien entre le rang de $ f$ et le rang du système ?


Exercice 1175 Pour tout $ a$ réel, on considère la matrice $ A$ et le système linéaire $ (S)$ définis par :

$\displaystyle A=\begin{pmatrix}a & 1 & 1 & 1 \cr
1 & a & 1 & 1 \cr
1 & 1 & a & ...
...az & + & t & = & 1 \cr
x &+ & y & + & z & + & at & = & 1 \cr\end{matrix}\right.$

aux inconnues réelles $ x , y , z , t .$
  1. Discuter le rang de $ A$ suivant les valeurs de $ a .$
  2. Pour quelles valeurs de $ a$ le système $ (S)$ est-il de Cramer ? Compatible ? Incompatible ?
  3. Lorsqu'il est de Cramer, résoudre $ (S)$ avec un minimum d'opérations (on pourra montrer d'abord que l'on a nécessairement $ x=y=z=t .).$
  4. Retrouver 3. par application des formules de Cramer.


Exercice 1176 Déterminer le noyau de la matrice $ \begin{pmatrix}
1&-1&1\ 0&1&1\ 2&3&7
\end{pmatrix}$

Exercice 1177 Soit $ A = \begin{pmatrix}
2&2&0\ 1&2&1\ 0&2&2\\
\end{pmatrix}$. Déterminer les $ \lambda \in \mathbb{R}$ tels que $ \exists X \in \mathbb{R}^3
-\left\{ (0, 0, 0)\right\}$ tel que $ AX = \lambda X$. Pour chaque $ \lambda$ déterminer $ E_{\lambda} = \left\{ X \in \mathbb{R}^3 / AX = \lambda X\right\}$.

Exercice 1178 Donner une base de l'ensemble des solutions de $ \begin{cases}3x + 2z = 0 \ 3y + z + 3t = 0 \ x + y + z + t = 0 \\
2x-y + z-t = 0 \end{cases}$.

Exercice 1179 Résoudre suivant les valeurs de $ a\in \mathbb{R}$ $ \begin{cases}x + ay + a^2z = 0 \ a^2x + y + az = 0 \ ax + a^2y + z = 0
\end{cases}$.

Exercice 1180 Résoudre suivant les valeurs de $ a$    et $ \mu \in \mathbb{R}$ $ \begin{cases}ax + y + z + t = 1 \ x + ay + z + t = \mu \ x + y + az + t =
\mu^2 \ x + y + z + at = \mu^3
\end{cases}$.

Exercice 1181 Inverser en utilisant un système linéaire la matrice $ \begin{pmatrix}
1&1&1 \ 2&1&1 \ 1&2&1
\end{pmatrix}$.

Exercice 1182 Résoudre \begin{displaymath}\begin{cases}x + y + z = 1 \ ax + by + cz = d \ a^2x + b^2y + c^2z
= d^2 \end{cases}\end{displaymath}.

Exercice 1183 Résoudre \begin{displaymath}\begin{cases}-cy + bz = \alpha \ cx-az = \beta \ -bx + ay = \gamma
\end{cases}\end{displaymath}.

Exercice 1184 Soit $ F$ le sous-espace vectoriel de $ \mathbb{R}^4$ des éléments $ (x,y,z,t)$ qui satisfont :

\begin{displaymath}\left\{
\begin{array}{rcl}
x+y+z+3t&=&0\\
2x+3y+4t&=&0\\
2x+5y-4z&=&0\\
\end{array}\right.\end{displaymath}

Donner une base de $ F$ et sa dimension.

Exercice 1185 On considère le système

\begin{displaymath}(S) : \left \lbrace
\begin{array}{ll}
x + y+ z+ t &=0 \\
x - y-2z+2t &=0 \\
2x + y+ z &= 0 \\
\end{array} \right.\end{displaymath}

  1. Résoudre le système $ (S)$ puis indiquer son rang.

  2. Montrer que l'ensemble des solutions de $ (S)$ est un sous-espace vectoriel de $ \mathbb{R}^4$, indiquer sa dimension et en donner une base.


Exercice 1186 L'objectif de ce problème est de résoudre l'énigme du berger :
Un berger possède un troupeau de 101 moutons et remarque par hasard la propriété suivante : pour chaque mouton, il peut trouver une façon de scinder le troupeau des 100 autres moutons en deux troupeaux de 50 moutons et de même poids total. Il en déduit que tous les moutons ont le même poids. Comment a-t-il fait ? On montre, dans un premier temps, un résultat utile pour la démonstration finale.

    1. Montrer par récurrence que le déterminant de toute matrice carrée, dont les éléments diagonaux sont des nombres impairs, et dont tous les autres sont des nombres pairs, est un nombre impair.
    2. En déduire qu'une matrice de cette forme est inversible.
  1. L'objectif de cette question est de résoudre l'énigme du berger. On note $ B$ la matrice carrée de taille 101 construite de la manière suivante:
    On numérote les moutons de 1 à 101. Quand le berger retire le ième mouton du troupeau, il sépare alors le reste du troupeau en deux troupeaux égaux ( troupeau A, troupeau B) et de même poids. On note alors $ B_{i,j}$ les coefficients de la ième ligne de la matrice $ B$ obtenu de la façon suivante

    $\displaystyle B_{i,j}= \left \{ \begin{array}{ll}
1 & \hbox{ si } j=i \\
0 & ...
...hbox{ si le j-i\\lq eme mouton se trouve dans le troupeau B }.
\end{array} \right.$

    On note $ X$ la matrice de taille $ 101\times 1$ constituée des poids des moutons

    $\displaystyle X=\left ( \begin{array}{c}
\hbox{ poids du monton 1} \\
\hbox{ p...
...box{ poids du mouton 100 }\\
\hbox{ poids du mouton 101 }
\end{array} \right).$

    On note $ M$ le poids total du troupeau.

    1. Calculer

      $\displaystyle B\times \left ( \begin{array}{c}
1\\
1\\
\vdots \\
1\\
1\\
\end{array} \right).$


    2. Calculer

      $\displaystyle BX. $

    3. Montrer que $ B$ est inversible.
    4. En déduire $ X$ et résoudre l'énigme du berger.



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Arnaud Bodin 2004-06-24