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Fractions rationnelles

Exercice 824 Décomposer les fractions rationnelles suivantes ; en calculer les primitives.

  1. $ \displaystyle{1 \over a^2+x^2}$.

  2. $ {1 \over{(1+x^2)}^2}$.

  3. $ \displaystyle{x^3 \over x^2-4}$.

  4. $ \displaystyle{4x \over{(x-2)}^2}$.

  5. $ \displaystyle{1 \over x^2+x+1}$.

  6. $ \displaystyle{1 \over{(t^2+2t-1)}^2}$.

  7. $ \displaystyle{3t+1 \over{(t^2-2t+10)}^2}$.

  8. $ \displaystyle{3t+1 \over{t^2-2t+10}}$.

  9. $ \displaystyle{ 1 \over{t^3+1}}$.

  10. $ \displaystyle{x^3+2 \over{(x+1)}^2}$.

  11. $ \displaystyle{x+1 \over{x{(x-2)}^2}}$.

  12. $ \displaystyle{(x^2-1)(x^3+3) \over2x+2x^2}$.

  13. $ \displaystyle{x^2 \over{{(x^2+3)}^3 (x+1)}}$.

  14. $ \displaystyle{x^7+x^3-4x-1 \over x{(x^2+1)}^2}$.

  15. $ \displaystyle{3x^4-9x^3+12x^2-11x+7\over(x-1)^3(x^2+1)}$.



Exercice 825 Calculer les intégrales de fractions rationnelles suivantes.

  1. $ \displaystyle \int_0^1 \frac{dx}{x^2+2}$.

  2. $ \displaystyle \int_{-1/2}^{1/2} \frac{dx}{1-x^2}$.

  3. $ \displaystyle \int_2^3 \frac{2x+1}{x^2+x-3} dx$.

  4. $ \displaystyle \int_0^2 \frac{x dx}{x^4+16}$.

  5. $ \displaystyle \int_0^3 \frac{x^4+6x^3-5x^2+3x-7}{(x-4)^3} dx$.

  6. $ \displaystyle \int_{-2}^0 \frac{dx}{x^3-7x+6}$.

  7. $ \displaystyle \int_{-1}^1 \frac{2x^4+3x^3+5x^2+17x+30}{x^3+8} dx$.

  8. $ \displaystyle \int_2^3 \frac{4x^2}{x^4-1} dx$.

  9. $ \displaystyle \int_{-1}^0 \frac{x^3+2x+1}{x^3-3x+2} dx$.

  10. $ \displaystyle \int_1^2 \frac{2x^8+5x^6-12x^5+30x^4+36x^2+24}
{x^4(x^2+2)^3} dx$.

  11. $ \displaystyle \int_0^a \frac{-2x^2+6x+7}
{x^4+5x^2+4} dx$ pour $ a\in \mathbb{R}$. Y a-t-il une limite quand $ a\to+\infty$ ?

  12. $ \displaystyle \int_0^2 \frac{dx}{x^4+1}$.



Exercice 826 Calculer les primitives suivantes :

$\displaystyle \int \frac{x^4+1}{x(x-1)^3}dx \quad ; \quad
\int \frac{dx}{(x^4+1...
...d
\int \frac{x dx}{x^4+x^2+1} \quad ; \quad
\int \frac{dx}{(x-1)(x^2-2x-2)^2}.
$



Exercice 827 Déterminer les intervalles d'étude et calculer les primitives des fonctions :

$\displaystyle \frac 1{ (x + 2) (x^2 + 2x + 5)}$

$\displaystyle \frac{2x}{ (1-x + x^2)^2}$

$\displaystyle \frac{x^2}{ (x-1)^2 (x^2 + 4)}$

$\displaystyle \frac 1{ (1 + x^3)^3}$




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Arnaud Bodin 2004-06-24