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Fonctions hyperboliques et hyperboliques inverses

Exercice 757 Soit $ f:\mathbb{R}^{2}\rightarrow \mathbb{R}^{2}$ définie par:

$\displaystyle \forall (x,y)\in \mathbb{R}^{2},f(x,y)=(\cos x+\mathop{\mathrm{ch}}\nolimits y,\cos x\mathop{\mathrm{ch}}\nolimits y).$

Discuter et déterminer selon $ p\in \mathbb{R}$ l'image réciproque de $ (4,p)$. On exprimera $ y$ à l'aide d'un logarithme. Déterminer numériquement cette image réciproque si $ p=-2$.

Exercice 758

  1. Montrer qu'il n'existe pas de fonction $ f:[1;+\infty [\rightarrow \mathbb{R}$ vérifiant:

    $\displaystyle \forall x\in \mathbb{R},f(\mathop{\mathrm{ch}}\nolimits x)=e^{x}. $

  2. Déterminer toutes les fonctions $ f:\mathbb{R}^{+*}\rightarrow \mathbb{R}$ telles que:

    $\displaystyle \forall x\in \mathbb{R},f(e^{x})=\mathop{\mathrm{ch}}\nolimits x.$

    Préciser le nombre de solutions.
  3. Déterminer toutes les fonctions $ f:\mathbb{R}^{+}\rightarrow \mathbb{R}$ telles que:

    $\displaystyle \forall x\in \mathbb{R},f(e^{x})=\mathop{\mathrm{ch}}\nolimits x.$

    Préciser le nombre de solutions ; y a t-il des solutions continues sur $ \mathbb{R}^{+}$ ?



Exercice 759 Calculer :

$\displaystyle \lim_{x\rightarrow \infty }e^{x}(\mathop{\mathrm{ch}}\nolimits ^{3}x-\mathop{\mathrm{sh}}\nolimits ^{3}x)$    et $\displaystyle \quad
\lim\limits_{x\rightarrow \infty }(x-\ln (\mathop{\mathrm{ch}}\nolimits x)).$



Exercice 760 Donner un expression plus simple de :

$\displaystyle y=\mathrm{argch}\sqrt{\frac{1+\mathrm{ch} x}{2}};  \
y=\mathrm{argsh}(2x\sqrt{1+x^2});  y=\mathrm{argth}\frac{x^2-1}{x^2+1}.$



Exercice 761 Calculer pour $ (n,a,b)\in \mathbb{N}^{*}\times \mathbb{R}^{2}$ :

$\displaystyle \sum\limits_{k=0}^{n-1}\mathop{\mathrm{ch}}\nolimits (a+bk),\quad \sum\limits_{k=0}^{n-1}\mathop{\mathrm{sh}}\nolimits (a+bk).$



Exercice 762 Soit $ (a,b)\in\mathbb{R}^2$, résoudre le système \begin{displaymath}\left\lbrace
\begin{array}{c}
\mathrm{ch}x+\mathrm{sh}y=a \\
\mathrm{sh}x+\mathrm{ch}y=b
\end{array}\right.\end{displaymath}.

Exercice 763 Montrer que : $ \mathrm{argth}x+\mathrm{argth}y+\mathrm{argth}z=\mathrm{argth}u$ et déterminer $ u$.

Exercice 764 Les réels $ x$ et $ y$ étant liés par

$\displaystyle x = \ln \left( \tan \left( \frac{y}{2}+ \frac{\pi}{4} \right) \right),
$

calculer $ \mathop{\mathrm{ch}}\nolimits x, \mathop{\mathrm{sh}}\nolimits x$ et $ \mathop{\mathrm{th}}\nolimits x$ en fonction de $ y$.



Exercice 765 Montrer que $ \mathop{\mathrm{ch}}\nolimits nx$ et $ \mathop{\mathrm{sh}}\nolimits nx$ peuvent s'exprimer comme polynômes en $ \mathop{\mathrm{ch}}\nolimits x$ et $ \mathop{\mathrm{sh}}\nolimits x$. Calculer $ \mathop{\mathrm{ch}}\nolimits 3x$ et $ \mathop{\mathrm{sh}}\nolimits 3x$ en fonctions de $ \mathop{\mathrm{ch}}\nolimits x$ et $ \mathop{\mathrm{sh}}\nolimits x$. En déduire $ \mathop{\mathrm{th}}\nolimits 3x$ en fonction de $ \mathop{\mathrm{th}}\nolimits x$.

Exercice 766 Exprimer $ \mathop{\mathrm{ch}}\nolimits ^n x$ et $ \mathop{\mathrm{sh}}\nolimits ^n x$ au moyen de $ \{ \mathop{\mathrm{sh}}\nolimits px, \mathop{\mathrm{ch}}\nolimits px  ;  1 \leqslant p \leqslant n \}$. Expliciter $ \mathop{\mathrm{ch}}\nolimits ^5x$ et $ \mathop{\mathrm{sh}}\nolimits ^5x$.

Exercice 767 Calculer les sommes

$\displaystyle 1+\mathop{\mathrm{ch}}\nolimits x + \mathop{\mathrm{ch}}\nolimits 2x + \cdots + \mathop{\mathrm{ch}}\nolimits nx$   et$\displaystyle \quad
1+\mathop{\mathrm{sh}}\nolimits x + \mathop{\mathrm{sh}}\nolimits 2x + \cdots + \mathop{\mathrm{sh}}\nolimits nx.$



Exercice 768 Simplifier

$\displaystyle \mathop{\mathrm{Argth}}\nolimits \frac{x^2-1}{x^2+1}.
$



Exercice 769 Vérifier les égalités

$\displaystyle 2\mathop{\mathrm{Argth}}\nolimits \tan x = \mathop{\mathrm{Argth}...
...hop{\mathrm{Argsh}}\nolimits (3x+4x^3) = 3 \mathop{\mathrm{Argsh}}\nolimits x.
$



Exercice 770 Expliciter au moyen de la fonction logarithme $ \mathop{\mathrm{Argch}}\nolimits \frac{1}{x}$ et $ \mathop{\mathrm{Argsh}}\nolimits \frac{1}{x}$.

Exercice 771 Résoudre

$\displaystyle x^{\sqrt{x}} = \sqrt{x}^{x} ;
$

$\displaystyle xy = a^2$    et $\displaystyle \ln^2x+\ln^y = \frac{5}{2} \ln^2a.
$



Exercice 772 Préciser les comportements
de $ \displaystyle{x\mapsto \frac{x^2-e^x}{x-e}}$ quand $ x \rightarrow e$,
de $ \displaystyle{x\mapsto \sqrt{\ln(1+x)}-\sqrt{\ln x} }$ quand $ x \rightarrow +\infty$,
de $ \displaystyle{x\mapsto \frac{a^x-b^x}{x}}$ quand $ x \rightarrow 0$.

Exercice 773 Démontrer les inégalités :

$\displaystyle x- \frac{x^2}{2} < \ln (1+x)$    pour $\displaystyle x>0$   et$\displaystyle \quad
1+x \leqslant e^x$    pour tout $x$ réel$\displaystyle .$



Exercice 774 Déterminer $ \lim\limits_{ + \infty} (x-\ln ($ch$ x))$.

Exercice 775 Montrer que $ \forall x \in \mathbb{R}   $   ch$ (2x) = 1 + 2$sh$ ^2 x$. En déduire un équivalent de ch$ x -1$ en 0.

Exercice 776 Résoudre l'équation $ x^y = y^x$$ x$ et $ y$ sont des entiers positifs non nuls.



Exercice 777 Résoudre l'équation $ \tan (3 \arcsin x) = 1$. On exprimera les trois solutions au moyen de radicaux.


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Arnaud Bodin 2004-06-24