Théorème de Rolle et accroissements finis

Exercice 715 Montrer que le polynôme $P_n$ défini par

$$P_n(t)=\left[ \left( 1-t^2 \right)^n \right]^{(n)}$$

est un polynôme de degré $n$ dont les racines sont réelles, simples et appartiennent à $[-1,1]$.

Exercice 716 Etudier la fonction $f: x\mapsto x^5-5x+1$ sur $\mathbb{R}$ et en déduire que l'équation $x^5-5x+1=0$ a trois solutions réelles.

Exercice 717 Montrer que le polynôme $X^n+aX+b$ ($a$ et $b$ réels) admet au plus trois racines réelles.

Exercice 718 Soit $f$ une fonction $n$ fois dérivable sur $]a,b[$ s'annulant en $n+1$ points de $]a,b[ .$ Montrer que si $f^{ (n)}$ est continue,il existe un point $x_0$ de $]a,b[$ tel que $f^{(n)}(x_0)=0 .$

Exercice 719 Étant donné $y$ un réel positif et $n$ un entier naturel pair, montrer que $(x+y)^n=x^n+y^n$ si et seulement si $x=0$. Cas $n$ impair ?

Exercice 720 Soit $f$ une fonction continue et dérivable sur $[a,+\infty[$ et telle que $\lim_{x\rightarrow \infty}f(x)=f(a)$. Montrer qu'il existe un élément $c$ dans $]a,+\infty [$ tel que $f'(c)=0$.

Exercice 721 Dans l'application du théorème des accroissements finis à la fonction

$$f(x) =ax^2+bx+c$$

sur l'intervalle $[\alpha,\beta]$ préciser le nombre $\theta$ de $]\alpha,\beta[$. Interprétation géométrique ?

Exercice 722 Appliquer la formule des accroissements finis à la fonction

$$f(x)=a+bx+ce^{\alpha x}$$

(où $a,b,c,\alpha$ sont réels, et $c$ et $\alpha$ sont non nuls) sur l'intervalle $[0,X]$.

1. Calculer ``$\theta$'' en fonction de $X$.
2. En déduire que
   $$x\mapsto \frac{1}{\alpha x}\ln \frac{e^{2x}-1}{\alpha x}$$
   est bornée sur $\mathbb{R}$.

Exercice 723 Soit $f$ une fonction deux fois dérivable sur $[a,a+2h]$. Par introduction de la fonction

$$g(t) = f(a+t+h)-f(a+t)$$

montrer qu'il existe $\alpha$ dans $]0,2[$ tel que

$$f(a)-2f(a+h)+f(a+2h)=h^2f''(a+\alpha h).$$

Exercice 724 Soient $x$ et $y$ réels avec $0<x<y$.

1. Montrer que
   $$x < \frac{y-x}{\ln y - \ln x} < y.$$

2. On considère la fonction $f$ définie sur $[0, 1]$ par
   $$\alpha \mapsto f(\alpha) = \ln (\alpha x +(1-\alpha)y)-\alpha \ln x -(1-\alpha)\ln y.$$
   De l'étude de $f$ déduire que pour tout $\alpha$ de $]0,1[$
   $$\alpha \ln x +(1-\alpha)\ln y < \ln (\alpha x +(1-\alpha)y) .$$
   Interprétation géométrique ?

Exercice 725 Par application du théorème des accroissements finis à $f(x) = \ln x$ sur $[n,n+1]$ montrer que

$$S_n = \sum_{k=1}^n \frac{1}{k}$$

tend vers l'infini quand $n$ tend vers l'infini.

Exercice 726 Étant donné $\alpha$ dans $]0,1[$, montrer que pour tout entier naturel $n$

$$\frac{\alpha}{(n+1)^{1-\alpha}} \geqslant (n+1)^\alpha - n^\alpha \geqslant \frac{\alpha}{n^{1-\alpha}}.$$

En déduire la limite

$$\lim_{n\rightarrow \infty}\sum_{p=1}^{n}\frac{1}{p^\alpha}.$$

Exercice 727 Montrer que $\forall x \in \mathbb{R} \left\vert e^x-1-x \right\vert \leqslant \frac{x^2}2 e^{\left\vert x \right\vert}$.