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Théorème de Rolle et accroissements finis

Exercice 715 Montrer que le polynôme $ P_n$ défini par

$\displaystyle P_n(t)=\left[ \left( 1-t^2 \right)^n \right]^{(n)}$

est un polynôme de degré $ n$ dont les racines sont réelles, simples et appartiennent à $ [-1,1]$.



Exercice 716 Etudier la fonction $ f: x\mapsto x^5-5x+1$ sur $ \mathbb{R}$ et en déduire que l'équation $ x^5-5x+1=0 $ a trois solutions réelles.

Exercice 717 Montrer que le polynôme $ X^n+aX+b $ ($ a$ et $ b$ réels) admet au plus trois racines réelles.



Exercice 718 Soit $ f$ une fonction $ n$ fois dérivable sur $ ]a,b[$ s'annulant en $ n+1 $ points de $ ]a,b[ .$ Montrer que si $ f^{ (n)}$ est continue,il existe un point $ x_0$ de $ ]a,b[$ tel que $ f^{(n)}(x_0)=0 .$



Exercice 719 Étant donné $ y$ un réel positif et $ n$ un entier naturel pair, montrer que $ (x+y)^n=x^n+y^n$ si et seulement si $ x=0$. Cas $ n$ impair ?

Exercice 720 Soit $ f$ une fonction continue et dérivable sur $ [a,+\infty[$ et telle que $ \lim_{x\rightarrow \infty}f(x)=f(a)$. Montrer qu'il existe un élément $ c$ dans $ ]a,+\infty [$ tel que $ f'(c)=0$.

Exercice 721 Dans l'application du théorème des accroissements finis à la fonction

$\displaystyle f(x) =ax^2+bx+c$

sur l'intervalle $ [\alpha,\beta]$ préciser le nombre $ \theta$ de $ ]\alpha,\beta[$. Interprétation géométrique ?



Exercice 722 Appliquer la formule des accroissements finis à la fonction

$\displaystyle f(x)=a+bx+ce^{\alpha x}$

(où $ a,b,c,\alpha$ sont réels, et $ c$ et $ \alpha$ sont non nuls) sur l'intervalle $ [0,X]$.
  1. Calculer ``$ \theta$'' en fonction de $ X$.
  2. En déduire que

    $\displaystyle x\mapsto \frac{1}{\alpha x}\ln \frac{e^{2x}-1}{\alpha x}$

    est bornée sur $ \mathbb{R}$.


Exercice 723 Soit $ f$ une fonction deux fois dérivable sur $ [a,a+2h]$. Par introduction de la fonction

$\displaystyle g(t) = f(a+t+h)-f(a+t)$

montrer qu'il existe $ \alpha$ dans $ ]0,2[$ tel que

$\displaystyle f(a)-2f(a+h)+f(a+2h)=h^2f''(a+\alpha h).$



Exercice 724 Soient $ x$ et $ y$ réels avec $ 0<x<y$.

  1. Montrer que

    $\displaystyle x < \frac{y-x}{\ln y - \ln x} < y.$

  2. On considère la fonction $ f$ définie sur $ [0, 1]$ par

    $\displaystyle \alpha \mapsto f(\alpha) = \ln (\alpha x +(1-\alpha)y)-\alpha
\ln x -(1-\alpha)\ln y.$

    De l'étude de $ f$ déduire que pour tout $ \alpha$ de $ ]0,1[$

    $\displaystyle \alpha
\ln x +(1-\alpha)\ln y < \ln (\alpha x +(1-\alpha)y) .$

    Interprétation géométrique ?



Exercice 725 Par application du théorème des accroissements finis à $ f(x) = \ln x$ sur $ [n,n+1]$ montrer que

$\displaystyle S_n = \sum_{k=1}^n \frac{1}{k}$

tend vers l'infini quand $ n$ tend vers l'infini.



Exercice 726 Étant donné $ \alpha$ dans $ ]0,1[$, montrer que pour tout entier naturel $ n$

$\displaystyle \frac{\alpha}{(n+1)^{1-\alpha}} \geqslant (n+1)^\alpha - n^\alpha \geqslant \frac{\alpha}{n^{1-\alpha}}.
$

En déduire la limite

$\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty}\sum_{p=1}^{n}\frac{1}{p^\alpha}.$



Exercice 727 Montrer que $ \forall x \in \mathbb{R}    \left\vert e^x-1-x \right\vert \leqslant \frac{x^2}2 e^{\left\vert x \right\vert}$.




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Arnaud Bodin 2004-06-24