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Racines carrées, équation du second degré

Exercice 27 Calculer les racines carrées de $ 1, i, 3+4i,\
8-6i,$ et $ 7+24i$.



Exercice 28 Trouver les racines carrées de $ 3-4i$ et de $ 24-10i$.



Exercice 29

  1. Calculer les racines carrées de $ \frac{1+i}{\sqrt{2}}$. En déduire les valeurs de $ \cos(\pi/8)$ et $ \sin(\pi/8)$.
  2. Calculer les valeurs de $ \cos(\pi/12)$ et $ \sin(\pi/12)$.



Exercice 30 Montrer que les solutions de $ az^2+bz+c=0$ avec $ a$, $ b$, $ c$ réels, sont réelles ou conjuguées.



Exercice 31 Résoudre dans $ \mathbb{C}$ les équations suivantes :

$\displaystyle z^2+z+1 = 0 \quad ; \quad z^2-(1+2i)z+i-1 = 0 \quad ; \quad z^2-\sqrt{3}z-i = 0 \quad ;$

$\displaystyle z^2-(5-14i)z-2(5i+12)=0  ;  z^2-(3+4i)z-1+5i =0  ;  4z^2-2z+1=0  ;$

$\displaystyle z^4+10z^2 +169=0 \quad ; \quad z^4+2z^2 +4=0.$



Exercice 32 Trouver les racines complexes de l'équation suivante :

$\displaystyle x^4-30x^2+289=0.$



Exercice 33 Pour $ z \in \mathbb{C}\setminus \{2i\}$, on pose

$\displaystyle f(z)=\frac{2z-i}{z-2i}.$

  1. Résoudre l'équation $ z^2=i,  z \in \mathbb{C}.$
  2. Résoudre l'équation $ f(z)=z,  z \in \mathbb{C}\setminus \{2i\}.$


Exercice 34 On note $ j = e^{2 \pi \over 3}.$

  1. Mettre $ j$ et $ j^2$ sous forme algébrique.
  2. Vérifier que $ 1+j+j^2 = 0$.
  3. Factoriser le polynôme $ z^3-8i$.


Exercice 35

  1. Calculer les racines carrées de $ 1+i$, $ 7+24i$, $ i$, $ 5+12i$, $ \frac{1+i\sqrt{3}}{\sqrt{3}+i}$.
  2. Résoudre les équations suivantes :
    1. $ z^2 + z +1 =0$
    2. $ z^2 + z -2 =0$
    3. $ z^2 -(5-14i)z -2(5i+12) =0$
    4. $ z^2 + 4z +5 =0$
    5. $ z^2 -(3+4i) z-1 +5i=0$
    6. $ z^4 -(1-i)z^2 -i =0$
    7. $ z^4 + 4z^3 + 6z^2 + 4z -15 =0$


Exercice 36 Résoudre dans $ \mathbb{C}$ les équations suivantes :

  1. $ z^2-(11-5i)z+24-27i=0$.
  2. $ z^3+3z-2i=0$.



Exercice 37 On considère dans $ \mathbb{C}$ l'équation $ (E)$ suivante:

$\displaystyle z^2-\left(1+a\right)\left(1+i\right)z+\left(1+a^2\right)i=0,$

$ a$ est un paramètre réel.
  1. Calculer en fonction de $ a\in\mathbb{R}$ les solutions $ z_1$ et $ z_2$ de $ (E)$ (indication: on pourra déterminer les racines carées complexes de $ -2i(1-a)^2$).
  2. On désigne par $ Z_1$ (resp. $ Z_2$) les points du plan complexe d'affixe $ z_1$ (resp. $ z_2$) et par $ M$ le milieu de $ \left[Z_1,Z_2\right]$. Tracer la courbe du plan complexe décrite par $ M$ lorsque $ a$ varie dans $ \mathbb{R}$.


Exercice 38

  1. Pour $ \alpha\in\mathbb{R}$, résoudre dans $ \mathbb{C}$ l'équation $ z^2-2\cos(\alpha)z+1=0.$ En déduire la forme trigonométrique des solutions de l'équation :

    $\displaystyle z^{2n}-2\cos(\alpha)z^n+1=0,\hbox{ o\\lq u $n$ est un entier naturel non nul.}$

    $\displaystyle P_\alpha(z)=z^{2n}-2\cos(\alpha)z^n+1.$

    1. Justifier la factorisation suivante de $ P_\alpha$ :

      $\displaystyle P_\alpha(z)=\left(z^2-2\cos\left(\frac{\alpha}{n}\right)+1\right)...
...dots\left(z^2-2\cos
\left(\frac{\alpha}{n}+\frac{2(n-1)\pi}{n}\right)+1\right).$

    2. Prouver, à l'aide des nombres complexes par exemple, la formule suivante :

      $\displaystyle 1-\cos\theta=2\sin^2\left(\frac{\theta}{2}\right),\quad\theta\in\mathbb{R}.$

    3. Calculer $ P_\alpha(1)$. En déduire

      $\displaystyle \sin^2\left(\frac{\alpha}{2n}\right)\sin^2
\left(\frac{\alpha}{2n...
...\frac{(n-1)\pi}{n}\right)=
\frac{\sin^2\left(\frac{\alpha}{2}\right)}{4^{n-1}}.$

  2. Pour tout $ \alpha$ appartenant à $ ]0,\pi[$, et pour tout entier naturel $ n\geqslant 2$, on pose :

    $\displaystyle H_n(\alpha)=\sin\left(\frac{\alpha}{2n}+\frac{\pi}{2n}\right)
\si...
...rac{2\pi}{n}\right)\dots
\sin\left(\frac{\alpha}{2n}+\frac{(n-1)\pi}{n}\right).$

    1. Montrer que, pour tout $ \alpha$ non nul, on a :

      $\displaystyle 2^{n-1}H_n(\alpha)=\frac{\sin(\alpha/2)}{\sin(\alpha/2n)}.$

    2. Quelle est la limite de $ H_n(\alpha)$ lorsque $ \alpha$ tend vers 0?
    3. En déduire que, pour tout entier naturel $ n$ supérieur ou égal à $ 2$, on a

      $\displaystyle \sin\left(\frac{\pi}{n}\right)
\sin\left(\frac{2\pi}{n}\right)
\dots\sin\left(\frac{(n-1)\pi}{n}\right)=\frac{n}{2^{n-1}}.$




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Arnaud Bodin 2004-06-24