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Sous-groupe de $ \mathbb{Z}$

Exercice 286 Montrer qu'il est équivalent dans $ \mathbb{Z}$ de dire $ m$ divise $ n$, ou $ n\mathbb{Z}\subset m\mathbb{Z}$.

Exercice 287

  1. Montrer que l'intersection de deux sous-groupes de $ \mathbb{Z}$ est un sous-groupe de $ \mathbb{Z}$. Caractériser le sous-groupe $ a \mathbb{Z}\cap b \mathbb{Z}$. Caractériser les sous-groupes suivants :

    $\displaystyle 2\mathbb{Z}\cap 3\mathbb{Z}\;; \quad 5 \mathbb{Z}\cap 13\mathbb{Z}\;;
\quad 5 \mathbb{Z}\cap 25\mathbb{Z}.$

  2. Montrer que toute intersection de sous-groupes de $ \mathbb{Z}$ est un sous-groupe de $ \mathbb{Z}$. Caractériser l'intersection d'une famille finie de sous-groupes. Caractériser les sous-groupes suivants :

    $\displaystyle \bigcap_{n=1}^{17} 2^n \mathbb{Z}\;;\quad
4 \mathbb{Z}\cap 6\mathbb{Z}\cap 8\mathbb{Z}\cap 19\mathbb{Z}\cap 35\mathbb{Z}.$



Exercice 288

  1. Déterminer $ 2\mathbb{Z}\cup 3\mathbb{Z}$. Est-ce un sous-groupe de $ \mathbb{Z}$ ?
  2. Déterminer : $ 7\mathbb{Z}\cup 49\mathbb{Z}$ ; $ 5\mathbb{Z}\cup 45\mathbb{Z}$ ; $ \bigcup_{n=1}^{28} 2^n \mathbb{Z}$. Ces ensembles sont-ils des sous-groupes de $ \mathbb{Z}$ ?
  3. Trouver une condition nécessaire et suffisante pour qu'une réunion de deux sous-groupes de $ \mathbb{Z}$ soit un sous-groupe de  $ \mathbb{Z}$.


Exercice 289

  1. Soit $ A$ une partie non vide de $ \mathbb{Z}$ ; montrer que la famille des sous-groupes contenant $ A$ n'est pas vide. Soit $ H$ une partie contenant $ A$. Montrer l'équivalence des conditions suivantes :
    i)
    $ H$ est l'intersection des sous-groupes de $ \mathbb{Z}$ qui contiennent $ A$,
    ii)
    $ H$ est le plus petit sous-groupe de $ \mathbb{Z}$ qui contient $ A$,
    iii)
    $ H$ est l'ensemble des sommes finies d'éléments de $ A$ ou d'éléments dont l'opposé est dans $ A$.
    Si ces conditions sont vérifiées on dit que $ H$ est le sous-groupe engendré par $ A$.
  2. Soient $ m\mathbb{Z}$ et $ n\mathbb{Z}$ deux sous-groupes de $ \mathbb{Z}$. Montrer que

    $\displaystyle m\mathbb{Z}+n\mathbb{Z}= \{mu+nv \mid u,v \in\mathbb{Z}\}$

    a)
    est un sous-groupe de $ \mathbb{Z}$,
    b)
    contient $ m\mathbb{Z}$ et $ n\mathbb{Z}$,
    c)
    est contenu dans tout sous-groupe de $ \mathbb{Z}$ qui contient $ m\mathbb{Z}$ et $ n\mathbb{Z}$.
    d)
    Si $ m\mathbb{Z}+n\mathbb{Z}= d\mathbb{Z}$, que peut-on dire de $ d$ ?
  3. Déterminer les sous-groupes engendrés par : $ 14\mathbb{Z}\cup 35\mathbb{Z}$ ; $ 4\mathbb{Z}\cup 8\mathbb{Z}\cup 6\mathbb{Z}\cup 64\mathbb{Z}$ ; $ 2\mathbb{Z}\cup 3\mathbb{Z}$ ; $ 4\mathbb{Z}\cup 21\mathbb{Z}$ ; $ 5\mathbb{Z}\cup 25\mathbb{Z}\cup 7\mathbb{Z}$ ; $ \{70 ,4\}$.



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Arnaud Bodin 2004-06-24