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Exercice 286
Montrer qu'il est équivalent dans
de dire divise , ou
.
Exercice 287
- Montrer que l'intersection de deux sous-groupes de
est un
sous-groupe de
. Caractériser le sous-groupe
. Caractériser les sous-groupes
suivants :
- Montrer que toute intersection de sous-groupes de
est un
sous-groupe de
. Caractériser l'intersection d'une famille finie de
sous-groupes. Caractériser les sous-groupes suivants :
Exercice 288
- Déterminer
. Est-ce un sous-groupe de
?
- Déterminer :
;
;
.
Ces ensembles sont-ils des sous-groupes de
?
- Trouver une condition nécessaire et suffisante pour qu'une réunion de
deux sous-groupes de
soit un sous-groupe de
.
Exercice 289
- Soit une partie non vide de
; montrer que la famille
des sous-groupes contenant n'est pas vide. Soit une partie
contenant . Montrer l'équivalence des conditions suivantes :
- i)
- est l'intersection des sous-groupes de
qui contiennent ,
- ii)
- est le plus petit sous-groupe de
qui
contient ,
- iii)
- est l'ensemble des sommes finies d'éléments de
ou d'éléments dont l'opposé est dans .
Si ces conditions sont vérifiées on dit que est le sous-groupe
engendré par .
- Soient
et
deux sous-groupes de
.
Montrer que
- a)
- est un sous-groupe de
,
- b)
- contient
et
,
- c)
- est contenu dans tout sous-groupe de
qui
contient
et
.
- d)
- Si
,
que peut-on dire de ?
- Déterminer les sous-groupes engendrés par :
;
;
;
;
;
.
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Arnaud Bodin
2004-06-24