Arithmétique Lille-Littoral

ALL 2010


Lundi 13 décembre 2010


journée automnale
à

Lille.



Degeyter_1888

Lieu : LPP, Salle de Réunion

Programme

  • 11h-12h Harald Helfgott (Paris)

  • Comment améliorer le théorème de Roth sur les nombres premiers

    Soit A un sous-ensemble des nombres premiers. Soit δP(N) = |{n∈ A: n≤ N}| |{n premier: n≤ N}|. On preuve que, si δP(N) ≥ C logloglog N (log log N)1/3 pour N≥ N0, ou C et N0 sont des constantes absolutes, alors A∩ [1,N] contient une progression arithmétique non-triviale de longeur trois. Ceci améliore le résultat de B. Green, qui a besoin de δP(N) ≥ C'(log log log log log N log log log log N)1/2. Il s'agit d'un travail en commun avec Anne de Roton.

  • 14h-15h Valérie Berthé (Montpellier)

  • Algorithmes de fractions continues multidimensionnels et dynamique symbolique

    Une approche fructueuse pour l'étude des propriétés arithmétiques des suites de Kronecker (c'est-à-dire des suites de la forme n\α, où α=(&alpha1,..., αd) est un élément du tore d- dimensionnel Td=Rd /Zd) consiste à coder de manière judicieuse des trajectoires sous l'action de translations sur le tore d-dimensionnel : le comportement dynamique des systèmes symboliques ainsi obtenus s'interprète alors arithmétiquement. Si cette aproche a fait ses preuves pour des translations algébriques, il s'agit de l'étendre à tout type de paramètres. Le but de cet exposé est de présenter une stratégie qui consiste à traduire des développements en fractions continues multidimensionnels en termes symboliques, à travers la notion de substitution.

  • 15h-16h Farrell Brumley (Nancy)
  • Familles de fonctions L sur un corps de nombres: applications et problèmes ouverts

    En 2000, Iwaniec et Sarnak ont introduit la notion de ′conducteur analytique' des formes automorphes sur GL(n) sur un corps de nombres K. Il s'agit du conducteur arithmétique multiplié par un nombre réel qui mesure la complexité de la forme aux places archimédiennes. La 'famille universelle' est ainsi constituée de toutes les formes (pour un n et K donné) à conducteur analytique inférieur à un paramètre X. On s'intéressera dans cette exposé à des sous-familles discrètes de la famille universelle, dont les composantes aux places archimédiennes sont hautement ramifiées, et plus particulièrement à la non annulation de leurs fonctions L dans la bande critique. On montrera des résultats récents dans cette direction (joints avec V. Blomer) ainsi que des applications qui en découlent (comme des améliorations des bornes vers la conjecture de Ramanujan lorsque n=2). On terminera avec une discussion des problèmes ouverts.


  • 16h30-17h30 Raf Cluckers (Lille)
  • La conjecture d'Igusa sur des sommes exponentielles

    La conjecture d'Igusa sur des sommes exponentielles des années 70 est à la fois très élémentaire et très sophistiquée. Elle s'agit de bornes pour des sommes exponentielles finies, non pas quand les extensions d'un corps fini deviennet de plus en plus grandes comme dans la théorie de Weil-Deligne, mais quand les variables bougent entre 1 et pn, pour n devenant grand et p un nombre premier. Plusieurs cas sont connus par des travaux de Igusa, Denef , Sperber et moi-même, et une généralisation par moi-même a été formulée. Je donnerai une introduction tà cette conjecture, et aux méthodes connues pour traiter des cas spécials. Pourtant la conjecture reste mystérieuse: est-elle vraie, et si oui, comment la mettre dans le bon cadre général?

  • 19 h -

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    Organisateurs

     

    G. Bhowmik
    S. Eliahou   O. Ramaré
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    Participants









    Avec le soutien de :














    Joseph