SUJETS DE THESE  

La formation doctorale en Mathématiques Appliquées à Lille propose un certain nombre de sujets de thèse pour la rentrée 2003. Un de nos buts est de tenir compte de l'accueil d'étudiants venant d'autres formations doctorales, favorisant ainsi la mobilité - thématique et géographique - des futurs jeunes chercheurs.

Sous certaines conditions, un financement est possible. Veuillez contacter le responsable du sujet et/ou le responsable de la formation ou la directrice du laboratoire pour des renseignements plus amples sur des sujets de thèse potentiels avant mi-juin 2003 (en ajoutant un CV précisant vos diplômes/mentions et toute autre information permettant de mettre en valeur votre candidature).

Un sujet clef en théorie d'approximation est le problème des moments, et son lien avec la convergence des approximants rationnels et les opérateurs symétriques du type Jacobi (voir par exemple un article récent de B. Simon). Des généralisations matriciels ont été déjà étudiées par Krein, et plus récemment par Berg, Duran et leur collaborateurs. Cependant, seulement peu de résultats sont connus pour les opérateurs aux différences non symétriques.

Dans un premier temps, le sujet requiert une familiarisation avec les techniques des polynômes orthogonaux vectoriels et matriciels suivant des travaux de Van Iseghem, Sorokin et Kaliaguine, et les résultats récents sur le problème des moments matriciels. L'étape suivante consisterait à élaborer le lien entre ces polynômes orthogonaux vectoriels et la théorie spectrale des opérateurs aux différences non symétriques. En particulier, on discutera la notion de determination et son lien avec les différentes extensions de l'opérateur. Des ouvertures sont imaginables vers le problème de convergence des approximants rationnels, ou vers l'application aux systèmes dynamiques discrets.

Collaborations envisagées dans le cadre de la thèse :
Prof. S. Aptekarev, Prof. V. Sorokin (Université Lomonosov de Moscou), Prof. A. Duran (Université de Seville) dans le cadre de la convention de recherche INTAS-00-272, Rational approximation of analytic functions and its applications to the spectral theory of difference operators, non-linear dynamical systems, special functions and number theory, regroupant différentes équipes de Belgique, Espagne, Allemagne, Portugal, France et Russie.

Financement:
Une demande d'allocation de recherche est en cours.

En analyse numérique, beaucoup de méthodes produisent des suites de nombres. Quand leur convergence est lente, on les transforme en une autre suite par une transformation de suite afin d'essayer d'accélérer leur convergence.

Le premier travail à effectuer consistera donc en un essai de synthèse des différents travaux existants. Il faudra ensuite obtenir des algorithmes récursifs de mise en uvre des transformations obtenues. Puis, il faudra démontrer des résultats de convergence et d'accélération de la convergence pour ces transformations. Dans la dernière partie du travail, les algorithmes étudiés devront être testés numériquement, en particulier sur des suites de vecteurs provenant de méthodes itératives de résolution des systèmes d'équations linéaires et non linéaires.

Le but de cette thèse est donc l'étude de ces transformations aussi bien sur le plan théorique qu'algorithmique. Il faut, en particulier, poursuivre les travaux en cours, rechercher des algorithmes itératifs pour mettre en uvre ces transformations, trouver des applications intéressantes et effectuer des essais numériques.

Collaborations envisagées dans le cadre de la thèse :
Prof. Michela Redivo-Zaglia, Université de Padoue, Italie.

Financement:
Une demande d'allocation de recherche est en cours.

Un problème classique en théorie du contrôle non destructif consiste en la détection d'une fissure à l'intérieur d'une structure plane, à l'aide de données mesurées sur le bord exterieur de l'objet étudié.
Une approche développée récemment réside en une reformulation du problème en terme d'approximation rationnelle ou méromorphe. Pour cela, on construit une fonction f à partir des données ayant la propriété d'être analytique dans le domaine, hormis sur la fissure. Une étude des approximants rationnels ou méromorphes de la fonction f, optimaux sur le bord du domaine au sens de diverses normes, permet alors d'obtenir des informations sur la localisation de la fissure.

Ces informations ne sont encore à ce jour qu'incomplètes, et ne permettent pas de déterminer la position exacte de la fissure. Pour obtenir une localisation précise, une approche semble prometteuse : l'étude d'une famille d'approximants rationnels satisfaisant certaines contraintes reliant pôles et résidus. Le sujet proposé consisterait en l'étude de tels approximants, en particulier les propriétés asymptotiques de leurs pôles. Selon les gouts du candidat, la partie numérique de calcul de ces approximants pourra être plus ou moins développée.

Collaborations envisagées dans le cadre de la thèse :
Projet Miaou, INRIA Sophia Antipolis, France.
H. Stahl, TFH-Berlin, Allemagne (Collaboration sur des questions d'orthogonalité non-hermitienne) dans le cadre de la convention de recherche INTAS-00-272, Rational approximation of analytic functions and its applications to the spectral theory of difference operators, non-linear dynamical systems, special functions and number theory, regroupant différentes équipes de Belgique, Espagne, Allemagne, Portugal, France et Russie.

Financement:
Une demande d'allocation de recherche est en cours.

Dans le cas des modèles markoviens de fiabilité, les méthodes analytiques classiques montrent vite leur limite. Il est possible d'utiliser des approximations de type exponentiel ou des méthodes de type Monte-Carlo. Mais dans le cas des systèmes hautement réparables la probabilité de défaillance est trés faible et la simulation exige beaucoup trop de temps machine. Des méthodes d'accélération (en particulier : importance sampling method) peuvent améliorer la simulation de ces événements rares. Il s'agit de faire un rapide tour d'horizon de ces méthodes d'accélération et d'envisager son application dans le domaine des systèmes hautement fiables.

Ce travail de thèse doit servir de base pour des applications industrielles concrètes dans le domaine de la sureté nucléaire

Collaborations envisagées dans le cadre de la thèse :
EDF France.

Financement:
Une demande d'allocation de recherche est en cours.

Les satellites peuvent être maintenus en position adéquate a l'aide de moteurs a propulsion ionique. Mais ces moteurs, qui éjectent des particules chargées, provoquent des phénomènes de charge du satellite, qui peuvent causer sa perte (par ''claquage''). [cf. pour un exemple, le sauvetage du satellite artemis] L'objet de la thèse est l'étude de différents modèles mathématiques de ces phénomènes.

Co-encadrement :
avec F. Poupaud (Nice)

Collaborations envisagées dans le cadre de la thèse :
M. Bostan (Besancon), Alcatel et l'inria sophia.

Pré-requis :
Curiosité scientifique, technique d'analyse.

Financement:
Une demande d'allocation n'est pas prevue.

Au sein de l'équipe ANO (en collaboration avec A. Kuijlaars, KU Leuven), on a récemment pu donner une justification théorique pour la convergence ``superlinéaire'' des solutions de grands systèmes d'équations linéaires (provenant par exemple de la discrétisation d'une équation aux dérivés partielles) lorsqu'on utilise la méthode du gradient conjugué. Ce travail repose sur l'étude de l'asymptotique de polynômes orthogonaux pour des mesures discrètes, en connexion avec des problèmes contraints de minimisation d'énergie en théorie du potentiel logarithmique. Le but de cette thèse est de généraliser cette théorie à l'estimation asymptotique d'erreur lorsque on résout une équation de Sylvester par la méthode itérative ADI.

Dans un premier temps, le sujet requiert une familiarisation avec la méthode ADI, avec les polynômes orthogonaux et leur asymptotique, et avec les outils de base en théorie du potentiel logarithmique. L'étape suivante consisterait à considérer l'équilibre d'un condensateur avec charge maximum sur les deux plateaux, en généralisant les problèmes contraints de minimisation d'énergie. En particulier, on élabora le lien avec le problème de Zolotarev sur les ensembles discrets at avec la méthode ADI. Différents choix de paramètres en ADI réalisant le taux prédit devraient être comparés sur des exemples issus par exemple des problèmes de contrôle linéaire. Les résultats obtenus devraient être illustrés en Matlab et Fortran et validés sur des exemples concrets de grande taille.

Collaborations envisagées dans le cadre de la thèse :
A. Kuijlaars, KU Leuven, Belgique, dans le cadre du Programme d'Action Intégrée franco-flamand ``Méthodes itératives en Calcul Scientifique''

Financement:
Une demande d'allocation n'est pas prevue.