ORGANISATION DU Master 2 Recherche
Dans le cadre de l'école doctorale, les étudiants doivent suivre une formation tout au long du 3e cycle
pour un total de 250 heures.
L'école doctorale propose des cours d'intérêt
général. En DEA il est proposé un module
d'« initiation à la recherche d'emploi » et un module de
« méthodologie dans la recherche et l'exploitation de documents »
(25h en tout). En 1e année et
en 2e année de
thèse, l'étudiant suivra un module de pré-professionnalisation (25h)
et des séminaires associés.
On encourage également les étudiants en thèse à suivre d'autres
cours spécialisés dans le domaine de leur
sujet d'études, ou éventuellement des écoles destinées aux
jeunes chercheurs.
Le DEA de Mathématiques Appliquées est organisé sur trois trimestres,
avec un volume horaire de 175h.
Les pré-requis
L'autorisation d'inscription en DEA est délivrée par une commission ad hoc
après examen du dossier des candidats.
La maîtrise (Mathématiques, Mathématiques appliquées,
Ingénierie Mathématique) est la voie d'accès normale. La sélection se fait au vu
des résultats en licence et maîtrise.
Pour les étudiants non titulaires d'une maîtrise, l'inscription se
fait sur dossier. Le plus grand compte sera tenu des programmes des
enseignements antérieurement suivis et, éventuellement, l'inscription
pourra s'accompagner d'une incitation à suivre un complément de formation
de maîtrise.
Pour les écoles d'ingénieurs, l'accueil des élèves sortants ou en
dernière année d'études se fera au vu des résultats scolaires, des
motivations et sur entretien.
Les diplômes étrangers sont soumis à validation par la commission
compétente de l'Université concernée.
Organisation de l'enseignement
Plan d'études
L'enseignement d'informatique au deuxième trimestre est attaché à certains
cours spécialisés.
Au 1er trimestre, dans le tronc commun, l'étudiant suit 3 modules de 25h chacun,
le module « Outils informatiques » et
effectue le « Projet d'initiation à la recherche ». Au 2nd trimestre,
l'étudiant choisit 3 cours spécialisés de 25h. Au total
l'étudiant a une charge de 150h de cours et 25h de TD d'informatique, plus le
projet et le mémoire/stage.
Chaque année, sur décision de l'équipe
enseignante, les modules des axes
sont choisis parmi les thèmes dans la liste jointe.
Contrôle des connaissances
Le DEA sera sanctionné par la moyenne de trois notes :
¸
la note du tronc commun (examen en janvier) égale à la moyenne des notes obtenues aux trois
modules. Cette note peut être modifiée par l'ajout d'un bonus d'au plus un point
pour le module « Outils informatiques » et d'au plus un point pour le
« Projet d'initiation à la recherche » ;
¸
la note des options (examens en mars/avril) égale à la moyenne
des notes obtenues aux trois options ;
¸
la note du mémoire.
Une deuxième session sera organisée en septembre pour les modules de tronc commun et
les options.
Il est conseillé aux étudiants salariés de préparer le D.E.A. en
deux ans (ils peuvent obtenir le D.E.A. à la fin de la première année
mais ne peuvent pas suivre le D.E.A. en deux ans s'ils ne l'ont pas demandé
dès la première inscription).
L'autorisation de redoublement du D.E.A. n'est accordée qu'à titre
exceptionnel et après décision d'une commission ad hoc.
L'autorisation d'inscription en
thèse est accordée par le jury après délibération.
En aucun cas, elle
n'est automatique pour les étudiants reçus au D.E.A..
Programmes de l'enseignement
Analyse fonctionnelle appliquée
Espaces Lp, espaces de Hölder, Sobolev et Besov. Dualité :
topologies *-forte et *-faible. Espaces réflexifs. Intégrale de Pettis
et de Bochner. Bases dans les espaces de Banach : bases de Schauder,
bases inconditionnelles. Meilleure approximation.
Compacité en dimension infinie. Introduction aux ondelettes. Introduction
à la théorie du potentiel logarithmique.
Analyse numérique et Approximation
CF : Aspects numériques du contrôle
La théorie du contrôle intervient dans de nombreux domaines et ses applications dans
l'industrie sont
très importantes. Après une introduction au contrôle linéaire, ce
cours présente diverses méthodes numériques récentes
d'approximation et d'algèbre linéaire utilisées en théorie du
contrôle. Ces méthodes sont également utiles dans d'autres domaines
des mathématiques appliquées (EDP par exemple).
CS : Extrapolation vectorielle
De nombreuses méthodes d'algèbre linéaire numérique sont des
méthodes itératives. Lorsque leur convergence est lente, il est
fondamental de les accélérer. Ce cours présente, dans ce but, des
procédés d'extrapolation vectorielle.
D'autres thèmes abordés dans ce cours seront l'utilisation des
méthodes d'extrapolation-prédiction pour la résolution numérique
de certaines EDP et l'application des méthodes de l'extrapolation
pour la resommation de développements asymptotiques et
l'accélération des méthodes de quadrature.
CS : Approximation rationnelle
On expose les liens classiques entre approximants de Padé,
polynômes orthogonaux, fractions continues et le problème
des moments. Les développements de l'orthogonalité
vectorielle/matricielle permettent l'interaction avec
les opérateurs à bande non symétrique, un sujet de
recherche récent assez prometteur, avec applications
à la résolution constructive de certains systèmes
dynamiques discrets.
D'autres thèmes abordés dans ce cours seront l'étude de différentes
généralisations des
approximants de Padé, notamment à des séries orthogonales, en
s'intéressant à la stabilité de différents algorithmes
de calcul et aux propriétés de convergence.
CS : Problèmes d'énergie minimale et Applications
Dans ce cours, on étudiera quelques outils
d'analyse appliquée, notamment d'analyse complexe
(applications conformes et fonctions de Green) et
de théorie du potentiel logarithmique.
On évoquera quelques problèmes extrémaux polynomiaux
classiques et on discutera leurs applications
en algèbre linéaire numérique (convergence des
méthodes itératives, la méthode ADI, étude du
conditionnement des matrices structurées,
matrices de Toeplitz,...) et en théorie de l'approximation
(étude asymptotique des polynômes orthogonaux,
étude du taux de convergence en approximation,...).
CS : Mathématiques de la CAO
Algorithmique des courbes et surfaces polynomiales,
des splines polynomiales contrôlées par des points,
applications à l'interpolation et à la conception de formes.
Géométrie projective. Contrôle des courbes et surfaces rationnelles,
des splines rationnelles par des vecteurs massiques. Raccordement.
Création de surfaces à plusieurs bords et remplissage.
CS : Résolution numérique de problèmes non linéaires et calculs
de valeurs propres
Méthodes de sous-espace de Krylov pour la résolution
de systèmes d'équations linéaires avec plusieurs seconds
membres.
Résolution de systèmes non linéaires de grande taille.
Applications :
équations différentielles raides - problème de Bratu.
Méthodes de réductions pour le calcul des valeurs propres :
méthodes de Jacobi-Davidson.
Problèmes de valeurs propres généralisées.
Problèmes quadratiques et non linéaires de valeurs propres.
CS : Théorie spectrale des opérateurs différentiels et
applications
Typiquement, on définit un opérateur différentiel sur un
domaine dense de L2,
on y vérifie le caractère hermitien; ensuite on cherche des
prolongements auto-adjoints.
On s'appuiera sur les travaux de Glazman, Kodaira, Krein, Naimark, Stone,
Titchmarsh,
Weyl, etc. Les applications seront faites sur des problèmes aux limites
des opérateurs
différentiels du 2e, 4e et 6e ordre qui par diagonalisation fourniront
des polynômes
orthogonaux classiques et semi-classiques.
Un autre thème souvent rencontré en analyse et en physique est de
déterminer les coefficients de la relation de récurrence des polynômes
orthogonaux semi-classiques. L'étude des propriétés spectrales du
hamiltonien est équivalente à l'étude de la mesure à
partir des coefficients de la relation de récurrence, l'étude de
certaines fonctions de partition en physique statistique et en physique
quantique conduit à des relations qui peuvent être traduites en
des propriétés des coefficients de la relation de récurrence.
L'implantation numérique des méthodes spectrales ou des formules
de quadratures nécessite la détermination des coefficients de la
relation de récurrence, d'où l'intérêt de l'exploration
des méthodes et algorithmes de calcul des coefficients de la relation
de récurrence. On abordera :
modifications des fonctionnelles, procédé de discrétisation de
Stieltjes, méthode de réduction orthogonale, équations de
Laguerre-Freud, équations de Painlevé.
CS : Algorithmique Numérique Parallèle
Après une introduction au parallélisme (modèles d'ordinateurs
et modèles de programmation),
on étudiera la parallélisation de méthodes pour divers domaines
d'applications.
D'une part seront traités des algorithmes pour l'algèbre linéaire :
résolution de systèmes linéaires par des méthodes directes
(factorisations, renumérotations dans le cas de systèmes creux),
préconditionnements pour les méthodes itératives
et recherche de valeurs propres.
D'autre part, on étudiera la décomposition de domaines en EDP.
Ensuite, le calcul rapide de la transformée de Fourier sera détaillé et
enfin on pourra aborder des méthodes de géométrie algorithmique ou
de traitement d'images.
EDP et Analyse numérique des EDP
CF : Modélisations des EDP
Méthodes variationnelles et mixtes pour les différents
problèmes modèles (Laplace, plaque, élasticité, Stokes, Navier-Stokes,
etc...).
Eléments finis, estimations d'erreur.
Méthodes spectrales, multigrilles,
bases hiérarchiques.
CS : EDP et ses applications
Equations non
linéaires d'évolution et attracteurs globaux,
calcul variationnel et ses applications aux EDP.
Opérateurs maximaux monotones, semi-groupes intègres.
Contrôle optimal des EDP: contrôlabilité exacte, méthode HUM.
CS : Éléments finis et équations intégrales
Méthodes de Galerkin linéaires et non linéaires,
méthodes mixtes pour les équations de Navier-Stokes.
Réduction d'un problème aux limites en équation intégrale.
Méthodes d'éléments finis de bord, collocation.
Singularités et maillages adaptés.
CS : Ondelettes
Structures obliques. Filtrage et échantillonnage. Analyse multirésolution.
Ondelettes à support compact. Caractérisation des espaces fonctionnels.
Applications aux EDP, en statistique et probabilités et en théorie
du signal.
CS : Méthodes d'approximation et de résolution des EDP
Ce cours s'oriente autour de deux axes ; l'un sera privilégié par rapport
à l'autre en fonction des autres CS proposés.
1) Approximation des EDP :
on présente et on étudie (définition, stabilité, convergence)
quelques méthodes d'approximation : différences finies, volumes finis...
On développera également certains aspects des éléments finis et des
méthodes spectrales,
en écho au contenu du cours TC EDP.
2) Méthodes de résolution de grands systèmes issus des EDP (théorie
et mise en uvre) :
on présente et on étudie quelques méthodes robustes (méthodes
multi-niveaux, décomposition de domaine ...) pour la résolution de
tels systèmes. On abordera en particulier des problèmes
- Elliptiques, paraboliques ou hyperboliques, linéaires ou non. L'aspect
calcul scientifique sera souligné.
- Grands systèmes avec plusieurs seconds membres. Ces systèmes proviennent
de la discrétisation de problèmes industriels en électromagnétisme.
Probabilités
CF : Processus stochastiques
Notions de base. Théorème de Kolmogorov. Régularité des trajectoires.
Les processus vus comme des mesures sur des espaces fonctionnels.
Principales classes de processus stochastiques (stationnaires,
markoviens, martingales,... ). Mouvement brownien. Calcul
stochastique. Interprétation probabiliste de l'équation de la
chaleur.
CS : Théorèmes limites pour les
processus stochastiques
Convergence faible des mesures.
Équitension. Critère de Prokhorov.
Équitension dans C[0,1].
Conditions suffisantes (Th. de Kolmogorov).
Principe d'invariance de Donsker-Prokhorov et applications.
Espace de Skorokhod D[0,1].
Équitension dans D[0,1].
Convergence des processus empiriques.
Processus engendrés par des variables aléatoires dépendantes.
CS : EDP stochastiques
Processus de Markov.
Processus de Markov et diffusions.
Équations de Kolmogorov forward et backward.
Recherche des densités de transitions de la diffusion de Ornstein-Uhlenbeck
en utilisant la méthode des caractéristiques.
Équations différentielles stochastiques et diffusions.
CS : Turbulence de Burgers
Équation de Burgers avec viscosité.
Équation de Burgers sans viscosité et solution entropique.
Turbulence de Burgers avec donnée initiale un mouvement brownien.
Turbulence de Burgers avec donnée initiale un processus de Lévy.
CS : Particules collantes
Particules collantes dans le cas fini.
Particules collantes dans le cas continu.
Particules collantes et système de gaz sans pression.
Particules collantes et processus stochastique non linéaire.
CS : Fonctions aléatoires gaussiennes
Mesures gaussiennes. Espaces autoreproduisants. Fonctionnelles linéaires
mesurables. Convexité et isopérimétrie. Grandes déviations. Entropie
métrique et principe de comparaison. Bornitude et continuité des
processus gaussiens. Mesures majorantes.
CS : Initiation aux probabilités dans les espaces de Banach
Le but de ce cours est d'aborder l'extension au cas des variables
aléatoires à valeurs banachiques des théorèmes limites classiques
pour les sommes de variables aléatoires indépendantes. On mettra en
évidence le rôle de la géométrie de l'espace dans cette extension.
Lois gaussiennes dans un Banach. Sommes d'éléments aléatoires
indépendants. Lois des grands nombres banachiques. Type et cotype.
Variables prégaussiennes. Inégalité de Rosenthal. Théorèmes de
limite centrale (CLT). Randomisation presque sûre. CLT dans les espaces
hölderiens.
Statistique
CF : Statistique des processus
1- Introduction : représentation spectrale des processus d'ordre 2 à
temps
discret ou continu, en 1-D ou 2-D. Décomposition de Wold et innovation des
processus stationnaires. Processus à courte ou longue mémoire.
2- Statistique paramétrique : maximum de vraisemblance, estimateur de
Whittle.
Estimation de l'ordre et des paramètres d'un ARMA. Méthodes bayesiennes.
Estimation du paramètre de mémoire pour des processus à densité
spectrale
singulière à l'origine.
3- Statistique non paramétrique. Estimation de la densité spectrale.
4- Méthodes semi-paramétriques. Ces méthodes seront développées
dans le cas
de processus à longue mémoire.
Ce cours est accompagné de travaux pratiques sur machine.
CS : Analyse mathématique de fiabilité
Le cours est motivé par l'analyse de défaillance des grands systèmes
réparables pour lesquels la théorie statistique asymptotique est
inutilisable. La première partie est l'analyse de durée de vie d'un
élément
(taux de défaillance, vieillissement, etc.). La partie suivante concerne la
durée de vie d'un système soit d'un point de vue structurel (arbres)
soit d'un point de vue dynamique (modèles markoviens, régénératifs).
La
dernière partie donne des approximations récentes de fiabilité dans un
cadre
assez large (défaillances exponentielles et réparations quelconques).
CS : Le modèle linéaire généralisé
Le but de ce cours est de modéliser l'espérance d'une variable Y par
une combinaison linéaire de variables explicatives. Après un rappel
sur le modèle linéaire, nous présentons les concepts communs aux
modèles paramétriques (fonction de lien, vraisemblance, tests,
diagnostics, résidus, etc.). Nous finirons par le modèle additif
généralisé et les extensions aux modèles non linéaires.
CS : Théorie de l'information et applications en imagerie
Le but de ce cours est d'examiner des problèmes tels que la
reconnaissance de formes, la compression avec ou sans perte, le
recalage d'images multimodales sous l'angle de la théorie de
l'information. Nous présenterons les outils fondamentaux: entropie,
information mutuelle, notion de séquences typiques et fortement
typiques, méthodes des types, théorèmes de compression et
d'échantillonnage et nous les illustrerons par des applications en
imagerie.
Outils informatiques
Pour mieux répondre aux besoins des Mathématiques Appliquées,
on propose un enseignement des outils informatiques sous forme de TD
sur machine. Cet enseignement tient compte de la formation déjà acquise en
premier et deuxième cycle (langage du type ADA/Pascal/Fortran/C et
logiciel de calcul formel). La formation est découpée en deux parties :
- Première partie :
- Traitement de texte scientifique (LATEX, 3h)
-
Stage de formation sur les
logiciels de calcul scientifique (22h) : pendant une semaine d'interruption des cours au premier trimestre, deux jours sont consacrés au logiciel
de calcul scientifique Matlab. Le reste de la semaine est organisé sous forme d'options. L'étudiant choisit entre une présentation du logiciel S+ (Statistique) ou un approfondissement de la programmation sous Matlab
(Analyse numérique).
-
Deuxième partie : l'enseignement d'informatique au deuxième trimestre est attaché à certains cours spécialisés. On
évoque les langages/logiciels/bibliothèques adaptés, à titre d'exemple : NAG, LAPACK, Templates, IDEAS, Paquetage
applications conformes (ANA), Modulef (EDP), SAS (Statistique), Fortran, C.
Insertion dans l'École doctorale SPI
Sur avis des équipes enseignantes, un étudiant du DEA Mathématiques
Appliquées peut
être autorisé à choisir au niveau des cours spécialisés
un des cours d'un autre DEA de l'école doctorale. Il pourra éventuellement prendre un cours d'un autre DEA ou de 3e année d'école
d'Ingénieurs après avis de l'équipe enseignante.
Sans préjuger des enseignements et séminaires spécifiques qui pourront
être ouverts ultérieurement au titre de l'école doctorale,
on encourage les étudiants à enrichir leur formation
en suivant, à titre d'exemple,
¸
soit un module du DEA de Mathématiques pures ;
¸
soit un module du DEA d'Informatique,
par exemple :
Graphique, Bio
Informatique, Calcul formel, Architecture du parallélisme,
Metacomputing et calcul scientifique parallèle,
Optimisation et high performance data mining ;
¸
soit un module du DEA de Mécanique, par exemple :
Méthodes
asymptotiques - ondes et stabilité (filière Fluides), Schémas
numériques (filière Fluides), Méthode des éléments finis (filière
Solides) ;
¸
soit le module de CFAO en troisième année de l'ENSAM de
Lille.
L'équipe enseignante
Enseignants en Analyse Numérique et Approximation :
C. Brezinski (Prof, Lille),
J. Denel (Prof, Lille),
J.-C. Fiorot (Prof erem., Valenciennes),
B. Germain-Bonne (Prof, Lille),
M. Prévost (Prof, Littoral),
H. Sadok (Prof, Littoral),
J. Van Iseghem (Prof, Lille),
B. Beckermann (MdC, HDR, Lille),
S. Belmehdi (MdC, HDR, Lille),
J.-C. Canonne (MdC, Valenciennes),
I. Cattiaux (MdC , Valenciennes),
K. Jbilou (MdC, HDR, Littoral),
O. Gibaru (MdC, ENSAM de Lille),
A.C. Matos (MdC, Lille),
N. Revol (MdC, Lille),
A. Salam (MdC, HDR, Littoral).
Enseignants en EDP et Analyse numérique des EDP :
F. Ali Mehmeti (Prof, Valenciennes),
P. Deuring (Prof, Littoral),
L. Paquet (Prof, Valenciennes),
S. Nicaise (Prof, Valenciennes),
J. von Below (Prof, Littoral),
M. Bourlard (MdC, Valenciennes),
C. Calgaro (MdC, Lille),
J.-P. Chehab (MdC, Lille),
J.-P. Morillon (MdC, Valenciennes).
Enseignants en Probabilité/Statistique :
J.-L. Bon (Prof, Lille),
Y. Davydov (Prof, Lille),
A. Dermoune (Prof, Lille),
C. Francq (Prof, Littoral),
C. Langrand (Prof, Lille),
B. Massé (Prof, Littoral),
R. Moché (Prof, Lille),
C. Suquet (Prof, Lille),
M.-C. Viano (Prof, Lille),
H. Zessin (Prof, Lille),
M. Lifshits (PAST, Lille),
D. Flipo (MdC, Lille),
M. Fradon (MdC, Lille),
P. Heinrich (MdC, Lille),
B. Jedynak (MdC, Lille),
A. Philippe (MdC, Lille).
Initiation à la recherche
Projet d'initiation à la recherche
Comme première démarche de recherche il est demandé à l'étudiant dès la fin du premier trimestre (décembre) de présenter un
article dans un des domaines des cours du tronc commun. Le travail doit comporter une illustration numérique, réalisée à l'aide
des logiciels étudiés dans le module « Outils informatiques ».
Le projet est prévu sur une durée de 2-3 semaines (en
parallèle avec les enseignements en cours).
Il est encadré par un des enseignants intervenant l'année en cours. Il est évalué par
une soutenance orale.
Mémoires - Stages
Chaque étudiant choisit de faire son mémoire avec un des membres des
équipes d'accueil attachées au DEA. Ce mémoire donne lieu à un
rapport écrit et à une soutenance orale.
On encourage les étudiants à faire un stage soit dans un laboratoire privé ou semi-privé
soit dans un laboratoire universitaire,
en France (par exemple le laboratoire MASI, de l'Institut Blaise Pascal,
l'Université de Versailles St Quentin, l'UTC de
Compiègne, l'INRIA Sophia Antipolis) ou à l'étranger, notamment dans les
universités auxquelles nous sommes liés par des
accords de coopération comme SOCRATES ou le réseau universitaire
franco-germano-russe piloté par le Laboratoire ANO.
Dans certains cas le rapport de stage pourra
tenir lieu de mémoire.
Séminaires - Groupes de Travail
Les étudiants assistent à au moins un séminaire de recherche et/ou groupe de travail
lié à leur sujet de mémoire.
À l'heure actuelle fonctionnent régulièrement
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