ANNEE 2004 - 2005        

A partir de la rentrée 2004, le DEA de Mathématiques Appliquées est devenu une spécialité de la deuxième année du Master Recherche mention "Mathématiques et Modélisation" à l'USTL, et des Masters "Sciences" à l'UVHC et l'ULCO. Veuillez consulter ce lien pour le Master de Lille.

La plaquette du Master 2 Recherche Mathématiques Appliquées de l'année 2004-2005 est disponible au secrétariat ou peut être téléchargée.

Pour l'organisation des études veuillez consulter les liens :

[ Les pré-requis | Organisation de l'enseignement | Contrôle des connaissances | Insertion dans l'école doctorale SPI | L'équipe enseignante | Projet d'initiation à la recherche | Mémoire / Stage | Séminaires | Bourses | Admission ]

  Calendrier de l'année scolaire 2004-2005  

• Réunion de rentrée : Jeudi 30 Septembre 2004 à 10h, Salle de Réunion, Bât. M2, USTL
• Début des cours du premier trimestre : Lundi 4 Octobre 2004.
• L'emploi du temps devrait être celui de l'année dernière, voir aussi ci-dessous pour le premier trimestre.
• La date limite d'inscription pédagogique est le 30 juin 2004. Le pré-imprimé pour l'inscription pédagogique (à retourner par voie postale au secrétariat du Master 2 Recherche) ainsi que d'autres informations peuvent être obtenus par voie postale, par courrier électronique ou téléchargés.
• Après réception du dossier pédagogique (et, dans le cas échéant, après acceptation de votre demande de validation d'études), une décision est prise concernant votre inscription en Master 2 Recherche de Mathématiques Appliquées et vous serez informés par voie postale (pour les dossiers pédagogiques recus avant le 1er juillet, une réponse est envoyée avant mi-juillet).
• Les cours du Master 2 Recherche ont lieu à Lille. Pour trouver un logement dans une résidence universitaire veuillez contacter le CROUS de Lille.

  Validation d'études  

Tout candidat non titulaire d'une maîtrise de Mathématiques francaise (sans mention, mention appliquée, MIM) doit demander une validation de ses études antérieures (sans acceptation de la demande de validation d'études, une inscription en Master 2 Recherche est impossible).

Pour obtenir le pré-imprimé de demande de validation d'études veuillez vous adresser au

• Service scolarité 3ème cycle de l'Université de Lille.
  Date limite de retour de dossier : 20 Mai 2004
  Le dossier pour Lille peut être demandé par Internet, suivre le lien Demande dossier de validation d'études.
• En ce qui concerne la candidature auprès de l'Université de Valenciennes ou l'Université du Littoral:
  après acceptation de la demande d'admission pedagogique, votre nom sera transmis au Service Central de la Scolarité qui vous envoie un dossier de validation d'études. L'étudiant retire le dossier d'inscription à son arrivée en France et s'inscrit lorsque le Vice-Président responsable des Formations a pris la décision de lui accorder la validation d'acquis.

  Etudiants étrangers  

• Vous pouvez solliciter un dossier de demande de logement auprès du:
  Service International du CROUS de Lille, 74 rue de Cambrai, 59043 Lille, Téléphone (+33) 3 20 88 66 33.
• Il est vivement conseillé de déposer une demande de visa dès la réception de la lettre d'acceptation.
• Vu le délais parfois important qui est nécessaire pour acheminer une lettre, pensez à envoyer vos dossiers d'admission pédagogique et de validation d'études bien avant la date limite.
• Les cours du premier trimestre commencent le Lundi 4 Octobre 2004. L'expérience des dernières années a clairement montré qu'une arrivée tardive risque de mettre en péril vos chances d'obtenir le diplôme du Master 2 Recherche.

  Plan des cours 2004-2005  

CF: cours fondamental au premier trimestre.
CS: cours spécialisé au deuxième trimestre.

Il s'y ajoute

• au mois un seminaire de recherche :
  
  • Seminaire Laboratoire ANO, Lille, jeudi 16h30-17h30
  • Seminaire Laboratoire StatProba, Lille, mercredi matin
  • Seminaire Laboratoire LMPA, Littoral, lundi 16h30
  • Seminaire Laboratoire MACS, Valenciennes
• les cours proposés par l'école doctorale SPI :
  
  • Méthodologie dans la recherche et l'exploitation de documents
  • Initiation à la recherche d'emploi
  • Informatique scientifique
  • Anglais

  Programme des cours 2004-2005  

L'objectif de ce cours est de permettre une mise à niveau et de proposer des compléments en analyse fonctionnelle en vue d'une utilisation dans les divers enseignements spécialisés du D.E.A. de Mathématiques Appliquées. Les différentes notions abordées seront illustrées dans le cadre d'espaces fonctionnels classiques. Le cours devrait s'articuler autour des thèmes suivants :

• Espaces de Banach et de Fréchet.
• Quelques espaces fonctionnels classiques : Espaces L^p, espaces de Hölder, de fonctions de test, espaces de Sobolev et de Besov.
• Dualité : topologies *-forte et *-faible. Espaces réflexifs.
• Intégrale de Pettis et de Bochner.
• Bases dans les espaces de Banach : bases de Schauder, bases inconditionnelles.
• Meilleure approximation.
• Compacité en dimension infinie.
• Etude de quelques classes d'opérateurs ; en particulier, les opérateurs bornés et de Hilbert-Schmidt.
• Introduction aux ondelettes.

Bibliographie

• ADAMS, A., Sobolev spaces, Academic Press (1975).
• BRéZIS, H., Analyse Fonctionnelle, Masson (1983).
• MEYER, Y., Ondelettes et Opérateurs, t. I, Hermann (1990).
• RUDIN, W., Analyse fonctionnelle.
• SCHWARTZ, L., Topologie générale et analyse fonctionnelle.
• TRIEBEL, H., Theory of function spaces II, Birkhäuser (1992).
• YOSIDA, K. Functional Analysis, Springer (1966).

La notion d'orthogonalité est très importante en analyse numérique et elle a de nombreuses applications. Les plus connues sont les polynômes orthogonaux et les formules de quadrature de Gauss ainsi que les méthodes de projection pour les systèmes linéaires.

Le but de ce cours est de présenter les concepts plus généraux d'orthogonalité et de biorthogonalité formelles et d'étudier leurs applications. Ces notions permettent d'aborder des problèmes très divers dans un cadre unifié et elles ouvrent de nombreuses perspectives.

Plan du cours

• Polynômes orthogonaux formels
  • Définitions et propriétés
  • Applications
    • Approximation de Padé
    • Méthodes de projection pour les systèmes linéaires
    • Contrôle linéaire
    • Méthodes d'extrapolation et applications
• La biorthogonalité
  • Le problème général de l'interpolation
  • Les familles adjacentes
  • Applications
    • Les polynômes biorthogonaux
    • Approximation de séries de fonctions
    • Transformations de suites

Bibliographie

• G.A. BAKER & P.R. GRAVES-MORRIS, Padé Approximants, 2ème edition, Cambridge University press.
• BREZINSKI, C., Padé-Type Approximation and General Orthogonal Polynomials, Birkhäuser-Verlag, Basel, 1980.
• BREZINSKI, C., Biorthogonality and its Applications to Numerical Analysis, Marcel Dekker, New York, 1992.
• BREZINSKI, C., Projection Methods for Systems of Equations, North-Holland, Amsterdam, 1997.
• BREZINSKI, C., Computational Aspects of Linear Control, Kluwer, Dordrecht, 2002.
• BREZINSKI, C., REDIVO ZAGLIA, M., Extrapolation Methods. Theory and Practice, North-Holland, Amsterdam, 1991.
• Y. SAAD, Iterative methods for sparse linear systems, PWS Publishing, Boston, MA, 1996.

• Équations elliptiques, paraboliques et hyperboliques de 2^e ordre: éléments de la théorie classique; solutions variationnelles dans des espaces de Sobolev; théorèmes de régularité.
• Applications a la théorie de la résolution numérique des équations elliptiques par des méthodes d'éléments finis.
• Semi-groupes. Méthodes variationnelles directes. Exemple d'un problème non lineaire: surfaces minimales.

Bibliographie

• L. E. Evans: Partial Differential Equations. AMS, Providence, R. I., 1998.
• S. Nicaise: Analyse numérique et équations aux dérivées partielles. Cour et problèmes résolus. Dunod, Paris, 2000.
• F. John: Partial differential equations (4th ed.). Springer, New York e.a., 1982.
• J.-E. Rakotoson, J.-M. Rakotoson: Analyse fonctionnelle appliquée aux équations aux dérivées partielles. Presses universitaires de France, Paris, 1993.
• A. Quarteroni, A. Valli: Numerical approximation of partial differential equations. Springer, Berlin e.a., 1994.
• M. Renardy, R. C. Rogers: An introduction to partial differential equations. Springer, New York e.a., 1993.

Le but de ce cours est

• d'étudier les principales classes de processus stochastiques;
• de construire le mouvement brownien.
• d'étudier les méthodes qui permettent de construire de bonnes versions des processus stochastiques.

Les grandes lignes du cours:

• Variables aléatoires à valeurs dans les espaces métriques séparables, lois relativement compactes et la notion de tension.
• Construction des processus stochastiques, théorème d'extension de Kolmogorov, régularité des trajectoires.
• Les processus vus comme des variables aléatoires valeurs dans des espaces fonctionnels.
• Principales classes de processus stochastiques:
  • à accroissements indépendants,
  • stationnaires,
  • martingales,
  • processus de Markov,
  • processus ponctuels.
• Construction trajectorielle du mouvement brownien. Construction de la mesure de Wiener et théorème de Donsker.

Bibliographie

• BILLINGSLEY, P., Convergence of Probability measures, Wiley (1968).
• REVUZ, D., YOR, M., Continuous martingales and Brownian motion, Springer (1991).
• BORODIN, A.N., SALMINEN, P., Handbook of Brownian motion: facts and formula, Birkhauser (1996).
• GIHMAV, I., SKOROHOD, A.V., The theory of Stochastic Processes, Vol. 1, Springer (1974).

Dans ce cours on décrit quelques unes des principales notions et méthodes statistiques ainsi que les propriétés asymptotiques de ces méthodes, en insistant sur leurs développements actuels
· les notions d'efficacité et de normalité asymtotique locale, la notion de robustesse,
· les différentes méthodes de minimum de contraste: maximum de vraisemblance, méthode de Whittle, M-estimateurs.
· un aperçu des méthodes de noyau dans les contextes non-paramétriques,
· le bootstrap
· quelques exemples de détection de rupture.

Un des outils de base de ce cours est le processus empirique, étudié dans le cours de Davydov-Dermoune. La plupart des résultats asymptotiques sont donnés dans la situation classique de variables indépendantes et de même loi. On fera cependant quelques incursions dans le domaine des processus stationnaires faiblement dépendants.

Bibliographie:

• Bickel, Klaassen, Ritov, Wellner (1998) Efficient and adaptive Estimation for semi-parametric Models. Springer.
• Dacunha-Castelle D., Duflo M. (1983) Probabilités et Statistiques: vol.2. Problèmes à temps mobile. Masson.
• Van der Vaart (2000) Asymptotic Statistics. Cambridge.

Pour mieux répondre aux besoins des Mathématiques Appliquées, on propose un enseignement des outils informatiques sous forme de TD sur machine. Cet enseignement tient compte de la formation déjà acquise en premier et deuxième cycle (langage du type ADA/Pascal/Fortran/C et logiciel de calcul formel).

• Traitement de texte scientifique (L^AT_EX, 3h)
• Stage de formation sur les logiciels de calcul scientifique (22h) : pendant une semaine d'interruption des cours au premier trimestre, deux jours sont consacrés au logiciel de calcul scientifique Matlab. Le reste de la semaine est organisé sous forme d'options. L'étudiant choisit entre une présentation du logiciel S+ (Statistique) ou un approfondissement de la programmation sous Matlab (Analyse numérique). Voir les documents du cours.

Dans certains problèmes pratiques, comme en électromagnétisme et en traitement du signal on est amené à résoudre plusieurs systèmes linéaires avec la même matrice et plusieurs second membres. Au lieu de résoudre ces sytèmes séparément, il est intéréssant car moins couteux de les résoudre par blocs.
On peut résoudre globalement les systèmes en utilisant des projections sur des sous espaces engendrés par des matrices. On obtient ainsi des méthodes comme le Global-GMRES, le Block BiCGSTAB, etc ...

1. Méthodes de sous espace de Krylov par blocs
2. Résolution de systèmes d'équations linéaires avec plusieurs second membres.
   • méthodes globales,
   • méthodes par blocs,
   • analyse de la convergence.
3. Résolution de systèmes non linéaires de grande taille.
   • méthodes d'extrapolation.
   • méthodes inexactes de Newton.
4. Applications : approximation d'EDP non linéaires, comme l'équation de Bratu modifiée,

   -Du+ aux+leu = b.

• C. BREZINSKI, M. REDIVO ZAGLIA, Extrapolation Methods. Theory and Practice, North-Holland, 1991.
• F. R. GANTMACHER, The theory of Matrices, vol. 1, Chelsea, New York, 1959.
• C. T. KELLEY, Iterative Methods for Solving Linear and Nonlinear Equations, SIAM, 1995.
• Y. SAAD, Iterative Methods for sparse linear systems, Second edition, SIAM, 2003.
• G. W. STEWART and J. G. SUN, Matrix Perturbation Theory, Academic Press, New York, 1990.

L'objectif est de donner quelques résultats mathématiques récents, nécessaires au développement ou à la création de logiciels industriels en CAO et CFAO (Conception et Fabrication Assistée par Ordinateur).

Les courbes, les surfaces et les splines polynomiales définies par des points de contrôle (forme Bézier-de Casteljau et de Boor) sont les outils principaux de la modélisation en CAO et CFAO et dans divers domaines industriels.

Le cours propose plus généralement la théorie et l'algorithmique du contrôle des courbes, des surfaces et des splines rationnelles via la notion de vecteurs massiques. Ce modèle rationnel qui contient le modèle polynomial ci-dessus, permet plus de possibilités afin de satisfaire diverses contraintes mathématiques ou de métier.

Les grandes lignes du cours:

Géométrie projective, l'espace vectoriel des vecteurs massiques. Construction du polygone massique de contrôle des courbes rationnelles: forme (BR), des surfaces rationnelles: forme (SBR) et des splines rationnelles: forme (NR). Cas particulier des courbes et carreaux Bézier-de Casteljau.
Algorithmes de calcul d'un contact. Dérivation. Transformée projective et affine de (BR), (SBR), (NR). Rôle du paramétrage.
Conditions nécessaires et suffisantes de raccordement C^k et G^k en terme de vecteurs massiques.
Divers problèmes sur les courbes avec contraintes cinématiques, mécaniques, esthétiques.
Création de surfaces de remplissage à plusieurs bords et à grande régularité de raccordement.

Bibliographie

• C. de Boor, A Practical Guide to Splines, Springer Verlag (1978)
• J.-C. Fiorot, P. Jeannin, Courbes et Surfaces Rationnelles, Applications à la CAO, RMA 12, Masson (1989). Version anglaise chez Wiley and Sons (1992).
• J.-C. Fiorot, P. Jeannin, Courbes Splines Rationnelles, Applications à la CAO, RMA 24, Masson (1992).
• J. Hoschek, D. Lasser, Fundamentals of CAGD, AK Peters (1993).

Le cours fournira une introduction aux techniques d'analyse utilisées dans l'étude de divers problèmes issus de la physique et plus particulièrement de certains modèles de physique statistique. Ces équations décrivent l'évolution d'un ``grand nombre'' de particules soumises à diverses interactions et sont motivées par des champs d'application extrêmement variés : gaz raréfiés, semi-conducteurs, dynamique des populations... Dans ce cours, on développera les arguments de modélisation qui conduisent à ces modèles. On présentera ensuite quelques techniques mathématiques permettant d'établir l'existence de solutions et d'étudier certaines de leurs propriétés. Enfin, on insistera sur un certain nombre de problèmes d'analyse asymptotique naturellement suscités par ces modèles.

Cette option est proposée également aux étudiants du Master 2 Mathématiques Pures. Une première partie de ratrappage sur les EDP est organisée au premier semestre pour les étudiants de Mathématiques Pures, où on traite des sujets également évoqués dans le CF EDP du Master 2 Mathématiques Appliquées.

Bibliographie

• BREZIS H., Analyse fonctionnelle (Masson, 1983).
• BOUCHUT F., GOLSE F., PULVIRENTI M., Kinetic equations and asymptotic theory edited by L. Desvillettes, B. Perthame, Series in Applied Mathematics, 4 (Gauthier-Villars, 2000).
• CERCIGNANI C., The Boltzmann equation and its application (Springer, 1990).
• DAUTRAY R., LIONS J.-L., Analyse mathématique et calcul numérique pour les sciences et les techniques(Masson, 1988).
• EVANS L. C., Partial differential equations Graduate Studies in Mathematics (AMS 1999).
• KUBO R., TODA M., HASHITSUME N., Statistical physics I and II (Springer, 1992).
• LIONS P.L., Equations cinétiques (Ecole Polytechnique, 1994).
• RUELLE D., Statistical mechanics, rigorous results (Benjamin, New York, 1969).
• VILLANI C., A review of mathematical topics in collisional kinetic theory in Handbook of mathematical fluid mechanics, edited by Susan Friedlander and Denis Serre (North-Holland, 2002).

• Théorie spectrale
  Théorème spectrale, extension de Friedrichs (appli.: un principe d'action stationnaire abstrait), principe de Minmax de Courant-Fischer (appli.: comportement asymptotique de valeurs propres de systèmes vibratoires), théorème de Kato-Rellich (appli.: systèmes perturbés), formule de Trotter-Kato (appli.: methode itérative pour des systèmes perturbés), principe d'absorption limite pour un problème de scattering
  Bibliographie
  • Reed,M., Simon, B.,  Methods of Modern Mathematical Physics I: Functional Analysis, Acadamic Press, New York and London, 1972.
  • Zeidler, E.:  Applied Functional Analysis, Applications to Mathematical Physics; Applied Mathematical Sciences, Vol. 108; Springer-Verlag, New York, 1995.
  • Wilcox, C.H.,  Scattering Theory for the d'Alembert Equation in Exterior Domains, Lecture Notes in Math., Springer-Verlag Berlin, Heidelberg, New York, 1975.
  • Ali Mehmeti, F.  Tunnel effect and Sommerfeld problem: Transient waves in semi-infinite structures; Mathematical Research 91, Akademie Verlag, Berlin, 1996.
• Equations d'évolution
  Théoreme de Lumer-Phillips, formule de la variation de la constante et problèmes semilinéaires (appli.: particules avec autointeraction), solutions douces (appli.: problèmes de transmissions avec des conditions initiales non-réguliers), exemples du blowup de solutions.
  Bibliographie
  • Arendt, W., Batty, C.J.K., Hieber, M., Neubrander, F.  Vector-valued Laplace Transforms and Cauchy Problems; Birkhäuser Verlag, Basel, 2001.
  • Alinhac, S.  Blowup for Nonlinear Hyperbolic Equations; Birkhäuser, Boston, Basel, Berlin, 1995.
  • Cazenave, T., Haraux, A.   Introduction aux problèmes d'évolution semi-linéaires; Math. et Appl. 1, SMAI, Ellipses, 1990.
  • Ali Mehmeti, F.  Tunnel effect and Sommerfeld problem: Transient waves in semi-infinite structures; Mathematical Research 91, Akademie Verlag, Berlin, 1996.
  • Strauss,W.  Nonlinear Wave Equations; Conf. Board Math. Sc. 73, AMS, Providence, Rhode Island,1989.
• Bifurcation
  Dérivée de Fréchet, le théorème des fonctions implicites (appli.: équations différentielles), opérateurs de Fredholm (théorie de Riesz-Schauder), existence de points de bifurcation, appli.: problèmes aux limites nonlinéaires
  Bibliographie
  • Zeidler, E.:  Applied Functional Analysis, Main Principles and Their Applications; Applied Mathematical Sciences, Vol. 109; Springer-Verlag, New York, 1995.

Ce cours présente quelques aspects des théorèmes limites pour des suites d'éléments aléatoires d'espaces de Banach, en focalisant en vue des applications sur le cas des espaces de fonctions. On aborde la généralisation à ces espaces de la loi forte des grands nombres, du théorème limite central et du théorème limite central fonctionnel. La géométrie de l'espace de Banach considéré joue ici un rôle important. En considérant un processus stochastique comme un élément aléatoire d'un espace fonctionnel supportant ses trajectoires, on obtient des applications statistiques des théorèmes limites, par exemple pour déterminer la loi asymptotique de statistiques de test.

• Éléments aléatoires d'un espace de Banach séparable (v.a. de Radon). Espérance (intégrale forte). Fonctionnelle caractéristique.
• Convergence en loi. Équitension, plate concentration, espaces Schauder décomposables.
• Éléments aléatoires gaussiens.
• Sommes d'éléments aléatoires indépendants.
• Type et cotype d'un espace de Banach.
• Lois des grands nombres.
• Théorème limite central. Exemples de T.L.C. dans des espaces de Banach particuliers.
• Théorème limite central fonctionnel de Kuelbs.
• TLC et TLCF dans les espaces de Hölder et applications statistiques.

Bibliographie

• ARAUJO, A., GINé, E. (1980), The Central Limit Theorem for Real and Banach Valued Random Variables. Wiley, New York.
• BILLINGSLEY, P. (1999). Convergence of Probability measures. John Wiley & Sons, New York.
• LEDOUX, M., TALAGRAND, M. (1991). Probability in Banach Spaces. Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg.
• LIFSHITS, M. (1995). Gaussian Random Functions. Kluwer, Dordrecht, Boston, London.

Ce cours présente une introduction aux outils probabilistes nécessaires à la compréhension de certains modèles financiers. Les spécialistes de la finance ont recours depuis quelques années à des notions mathèmatiques de plus en plus sophistiqués, comme les martingales, intégrale de Itô, équations aux dérivées partielles, mouvement brownien. Le plan de ce cours est le suivant.

• Martingales.
• Mouvement brownien.
• Intégrale de Itô.
• Formule de Itô.
• Introduction aux marchés financiers: titres de base et produits dérivés, options européennes et américaines, les options négociables, les options de gré à gré.
• Arbitrages, modèle de Black-Scholes discret.
• Problème d'arrêt optimal et options américaines.
• Équations différentielles stochastiques.
• Modèle de Black-Scholes continu.
• Evaluation des options et équations aux dérivées partielles.
• Modèles de taux d'intérêt.

Bibliographie

• L. Breiman, Probability, Addison-Wesley, Reading, Mass (1968).
• A. Dermoune, Polycopié du cours de DEA 2003-2004.
• D. Duffie, Modèles dynamiques d'évaluation, Collection Finance PUF, (1994).
• N. Elkaroui, Modèles stochastiques en finance, Ecole Polytechnique, Edition 2000.
• I. Gihman, A.V. Skorohod, The theory of Stochastic Processes, Vol. 1, Springer (1974).
• I. Karatzas, S. Shreve, Brownian motion and Stochastic calculus, Springer (1987).
• D. Lamberton, B. Lapeyre, Introduction au calcul stochastique appliqué à la finance. Ellipses (1997).
• P. Wilmott, Derivatives, The theory and practice of financial engineering, John Wiley and Sons (1998).
• D. Williams Probability with martingales, Cambridge University Press 1991.

L'objet du cours est la modélisation stochastique de la durée de fonctionnement de grands systèmes hautement réparables et les traitements associés à la fois dans ses aspects statistiques et probabilistes.

· Notions de vieillissement
La durée de vie d'un système est une notion intuitive qui nécessite une modélisation spécifique. A partir des différentes caractéristiques de la fiabilité utilisées dans l'industrie, on introduit plusieurs notions d'ordre stochastique et leurs propriétés respectives. Des tests statistiques permettent de rendre opérationnelles ces notions. Cela permet de comparer durées de vie et durées résiduelles d'où les notions de vieillissement. Il se trouve que les durées vieillissantes peuvent être efficacement approchées par des variables de lois exponentielles. Différents résultats d'approximation exponentielle sont proposées.

· Systèmes markoviens
Pour les systèmes réparables, il est d'usage d'utiliser des modèles markoviens bien qu'au niveau des composants l'approximation exponentielle peut paraître peu crédible. En fait dans ces cas aussi l'approximation exponentielle de la fiabilité apparaît très pertinente.

· Modèles semi-markoviens et régénératifs
On peut admettre des modélisations non markoviennes pour peu qu'il y ait des propriétés de régénération. Cela est raisonnable dans le cas de systèmes industriels très réparables. Ce sont les modèles régénératifs, ou semi-markoviens pour lesquels des approximations pessimistes sont possibles. Leur analyse conduit à l'étude de sommes aléatoires géométriques de durées de vie.

· Sommes géométriques de durées de vie
C'est un thème de recherche qui n'est pas propre à la fiabilité et en plein développement. Le calcul explicite des distributions correspondantes est quasiment impossible mais il existe d'agréables résultats d'approximation exponentielle les concernant. On justifie ainsi l'intérêt de la loi exponentielle pour approcher la fiabilité de grands systèmes réparables.

Bibliographie

• Kalashnikov V.V. (1997) Geometric Sums: Bounds for Rare Events Kluwer;
• Kovalenko, Kuznetsov, Pegg (1997) Mathematical theory of reliability of time dependent systems with practical applications. Wiley.

Mandelbrot dans les années 60 sugg 'era l'utilisation des processus à longue mémoire pour modéliser des phénomènes dont la corrélation décroît comme une fonction puissance. A partir de cette idée, les travaux théoriques et appliqués autour de ce thème se sont développés de façon exponentielle.

Partie I

Les processus stationnaires. On commence ce cours par quelques généralités sur les processus stationnaires d'ordre deux :

• représentations spectrales,
• filtrage des processus d'ordre deux
• estimations non-paramétriques : estimation de la suite des covariances, du périodogramme.
  

Partie II

Les modèles. On introduit les modèles à longue mémoire à partir de deux classes de modèles très populaires :

• le mouvement brownien fractionnaire
• les processus ARMA fractionnaires.
  

Partie III

Estimation. On aborde les problèmes d'estimation du paramètre de longue mémoire (aussi appelé paramètre de Hurst). Deux approches sont principalement envisagées :

• les méthodes temporelles : les estimateurs construits à partir des variations quadratiques
• les méthodes spectrales : l'estimateur local de Whittle construit à partir du spectre.
  

Partie IV

Applications. On donne quelques applications à la modélisation et à la prévision par des processus à longue mémoire. Les applications présentées sont principalement issues des domaines de l'hydrologie et des télécommunications.

Bibliographie

• Beran (1994) Statistics for Long-Memory Processes Chapman & Hall;
• P.J. Brockwell and R.A. Davis. (1991) Time Series: Theory and Methods. Springer Series in Statistics. SpringerVerlag, 2 edition.
• Theory and Applications of Long-Range Dependence (2002) Eds Paul Doukhan, Murad Taqqu and Georges Oppenheim, Birkhäuser
• Dacunha-Castelle D. Duflo M. (1983) Probabilités et Statistiques: vol.2. Problèmes à temps mobile. Masson. Boston.