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Il s'y ajoute
L'objectif de ce cours est de permettre une mise à niveau et de proposer des compléments en analyse fonctionnelle en vue d'une utilisation dans les divers enseignements spécialisés du D.E.A. de Mathématiques Appliquées. Les différentes notions abordées seront illustrées dans le cadre d'espaces fonctionnels classiques. Le cours devrait s'articuler autour des thèmes suivants :
Bibliographie
La théorie du contrôle intervient dans de nombreux domaines et ses applications dans l'industrie sont très importantes. Elle consiste, pour un système physique gouverné par une équation différentielle, à contrôler les variables d'entrée de sorte que la sortie se comporte selon certains critères.
La résolution d'un problème de contrôle fait appel à de nombreuses techniques d'analyse numérique qui, par ailleurs, sont utilisées dans d'autres domaines des mathématiques appliquées (approximation, équations aux dérivées partielles, algèbre linéaire, etc).
Le cours débutera par une présentation des notions de base du contrôle linéaire. Puis diverses méthodes numériques récentes utilisées en théorie du contrôle seront traitées: polynômes orthogonaux formels, approximation de Padé, résolution des systèmes linéaires avec régularisation et estimation de l'erreur, méthodes d'extrapolation, équations de Sylvester et Riccati.
Aucun prérequis spécial n'est nécessaire pour aborder ce cours. Des documents de travail seront fournis aux étudiants.
Bibliographie
Bibliographie
R. Brown, botaniste anglais, décrivit dès 1827 le mouvement brownien comme celui de fines particules organiques en suspension dans un gaz ou un fluide. En 1900, L. Bachelier a introduit le mouvement brownien pour modéliser la dynamique des prix des actions à la bourse. A. Einstein, en 1905, a construit un modèle probabiliste de diffusion pour décrire ce mouvement brownien. Actuellement le mouvement brownien est l'exemple de processus stochastique le plus connu et le plus étudié. Il joue un rôle fondamental dans les sciences mathématiques. Parmi les domaines dans lesquels il intervient nous avons: 1) La modélisation du bruit et les équations aux dérivées partielles. 2) L'analyse fonctionnelle et la théorie des semi-groupes. 3)Les mathématiques financières. 4) La statistique mathématique...
Le but de ce cours est de construire le mouvement brownien, et d'étudier les principales classes de processus stochastiques et les méthodes qui permettent d'en construire de bonnes versions.
Les grandes lignes du cours:
Variables aléatoires à valeurs dans les espaces
métriques séparables, lois relativement compactes et la notion
de tension.
Construction des processus stochastiques,
théorème d'extension de Kolmogorov, régularité
des trajectoires.
Les processus vus comme des variables
aléatoires à valeurs dans des espaces fonctionnels.
Construction trajectorielle du mouvement brownien.
Construction
de la mesure de Wiener et théorème de Donsker.
Martingales,
temps d'arrêts, et processus de Markov. Intégrale stochastique
et formule de Itô. Équation de la chaleur et mouvement
brownien.
Bibliographie
Représentation spectrale des processus d'ordre 2 à temps discret ou continu, en 1-D ou 2-D. Décomposition de Wold et innovation des processus stationnaires. Processus à courte ou longue mémoire.
Statistique paramétrique : maximum de vraisemblance, estimateur de Whittle. Estimation de l'ordre et des paramètres d'un ARMA.
Statistique non paramétrique. Estimation de la densité spectrale ou de fonctionnelles de la densité spectrale. Application à un test de blancheur.
Bibliographie
Pour mieux répondre aux besoins des Mathématiques Appliquées, on propose un enseignement des outils informatiques sous forme de TD sur machine. Cet enseignement tient compte de la formation déjà acquise en premier et deuxième cycle (langage du type ADA/Pascal/Fortran/C et logiciel de calcul formel).
L'objectif est de donner quelques résultats mathématiques récents, nécessaires au développement ou à la création de logiciels industriels en CAO et CFAO (Conception et Fabrication Assistée par Ordinateur).
Les courbes, les surfaces et les splines polynomiales définies par des points de contrôle (forme Bézier-de Casteljau et de Boor) sont les outils principaux de la modélisation en CAO et CFAO et dans divers domaines industriels.
Le cours propose plus généralement la théorie et l'algorithmique du contrôle des courbes, des surfaces et des splines rationnelles via la notion de vecteurs massiques. Ce modèle rationnel qui contient le modèle polynomial ci-dessus, permet plus de possibilités afin de satisfaire diverses contraintes mathématiques ou de métier.
Les grandes lignes du cours:
Géométrie projective, l'espace vectoriel des vecteurs massiques. Construction du polygone massique de contrôle des courbes rationnelles: forme (BR), des surfaces rationnelles: forme (SBR) et des splines rationnelles: forme (NR).
Cas particulier des courbes et carreaux Bézier-de Casteljau.
Algorithmes de calcul d'un contact. Dérivation. Transformée projective et affine de (BR), (SBR), (NR). Rôle du paramétrage.
Conditions nécessaires et suffisantes de raccordement Ck et Gk en terme
de vecteurs massiques.
Divers problèmes sur les courbes avec contraintes cinématiques, mécaniques, esthétiques.
Création de surfaces de remplissage à plusieurs bords et à grande régularité de raccordement.
Bibliographie
Dans ce cours, on étudiera quelques outils d'analyse appliquée, notamment d'analyse complexe (applications conformes et fonctions de Green) et de théorie du potentiel logarithmique. On évoquera quelques problèmes extrémaux polynomiaux classiques et on discutera leurs applications en algèbre linéaire numérique (convergence des méthodes itératives, la méthode ADI, étude du conditionnement des matrices structurées, matrices de Toeplitz,...) et en théorie de l'approximation (étude asymptotique des polynômes orthogonaux, étude du taux de convergence en approximation,...).
Bibliographie
Problèmes variationnels linéaires, méthode de Galerkin, lemme de Céa, éléments finis de Lagrange, triangulations, espaces conformes d'éléments finis, lemme de Bramble-Hilbert, opérateurs d'interpolation, approximation de solutions de problèmes aux limites elliptiques de deuxième ordre dans des ouverts polygonales par des méthodes d'élément finis, estimations d'erreurs en norme H1 et L2, modélisation de phénomènes physiques par le système de Navier-Stokes, système de Stokes, problèmes variationnels mixtes, méthode de Galerkin non linéaire, solutions faibles du système de Navier-Stokes stationnaire, espaces d'applications à valeurs dans un espace de Banach, méthode de Rothe, solutions faibles du système de Navier-Stokes d'évolution, méthodes d'éléments finis mixtes.
Bibliographie
éléments finis mixtes de Mohamed Farhloul-Fortin pour le système de Stokes en gradient du champ des vitesses, vitesse et pression: en plus des inconnues traditionnelles vitesse et pression, on introduit comme inconnue supplémentaire le tenseur gradient du champ des vitesses et l'on recherche une approximation de chacune des deux lignes de ce tenseur sur chaque triangle de la triangulation du domaine polygonal dans lequel est posé le problème de Stokes sous forme d'un champ de Raviart-Thomas.
Bibliographie
Fonctions aléatoires gaussiennes: Quelques classes de fonctions, processus et champs aléatoires. Exemples: processus de Wiener, pont brownien, analogues multi-paramétriques (champ de Wiener-Tchentsov, fonction brownienne de Lévy). Fonction brownienne fractionnaire. Bruit blanc. Processus stationnaires. Processus d'Ornstein-Uhlenbeck.
Répartitions gaussiennes dans un espace de dimension infinie: Barycentre. Covariance. Fonctionnelle caractéristique. Définition des mesures gaussiennes. Exemples: mesure gaussienne standard, mesure gaussienne dans un espace de Hilbert.
Noyau d'une mesure gaussienne: Fonctionnelles linéaires mesurables. Translations admissibles. Noyau d'une mesure. Formule de Cameron-Martin. Loi du 0-1. Factorisation de la covariance et du noyau. Exemples de calcul pour les mesures les plus importantes.
Convexité et propriétés isopérimétriques: Problème isopérimétrique. Théorème d'Ehrhard. Propriété isopérimétrique pour les demi-espace. Inégalités isopérimétriques. Convexité. Ellipsoide de dispersion. Propriétés isopérimétriques dans un espace de dimension infinie. Répartition d'une fonctionnelle convexe.
Entropie métrique et principe de comparaison: Notions liées à l'entropie métrique et à la capacité. Intégrales de Dudley et de Fernique. Bornes supérieures correspondantes à ces intégrales. Identité de comparaison. Deux formes d'un principe de comparaison. Minorations de Sudakov et de Talagrand.
Régularité de trajectoires: Bornitude et continuité de trajectoires. Intégrale de Dudley comme le module de continuité. Conditions nécessaires et suffisantes de bornitude et continuité. Théorème de Fernique pour les fonctions homogènes.
Mesures majorantes: Deux définitions de la mesure majorante. Mesures majorantes et l'entropie métrique. Estimation d'une fonction aléatoire basée sur une mesure majorante. Théorème de Fernique-Talagrand.
Bibliographie
Ce cours est une application de la théorie des processus stochastiques aux équations aux dérivées partielles avec donnée initiale de Cauchy ou de Dirichlet. Le contenu est le suivant.
La dynamique des fluides et les probabilités.
Diffusions et équations différentielles stochastiques.
Équations de Kolmogorov forward et backward.
Application aux problèmes de Cauchy et de Dirichlet.
Bibliographie
Le cours est motivé par l'analyse de défaillance des grands systèmes réparables pour lesquels la théorie statistique asymptotique est inutilisable. La première partie est l'analyse de durée de vie d'un élément (taux de défaillance, vieillissement, etc.). La partie suivante concerne la durée de vie d'un système soit d'un point de vue structurel (arbres) soit d'un point de vue dynamique (modèles markoviens, régénératifs). La dernière partie donne des approximations récentes de fiabilité dans un cadre assez large (défaillances exponentielles et réparations quelconques).
Bibliographie
Le but de ce cours est d'examiner des problèmes tels que la reconstruction d'images bruitées, le recalage d'images multimodales, la reconnaissance de formes dans des images, en utilisant la statistique bayésienne et la théorie de l'information.
Dans un premier temps, nous présentons les outils fondamentaux de la théorie de l'information: notion d'entropie, d'information mutuelle, notion de séquences typiques et fortement typiques, méthodes des types, théorèmes de Shannon de compression (avec et sans perte), Théorème de Sanov. Nous rappelons de plus quelques résultats simples de théorie bayésienne.
Dans un second temps, nous examinons la modélisation probabiliste de problèmes en imagerie. Notre outil privilégié est ici la modélisation bayésienne. Le cas de la reconstruction d'images bruitées est analysé à partir de la méthode de reconstruction par maximum d'entropie. Pour le recalage d'images multimodales, nous utilisons une méthode basée sur la notion d'information mutuelle. En reconnaissance de formes, nous examinons deux problèmes: la reconnaissance de caractères manuscrits et la détection d'une courbe dans une image. A travers la problématique de la reconnaissance de caractères manuscrits, nous examinons le dilemne biais-variance, et son interprétation en théorie de l'information. Pour la détection d'une courbe, nous présentons un algorithme de réduction graduelle de l'entropie. Enfin, nous montrons que la théorie de l'information peut fournir des bornes de détectabilité d'un objet dans une image.
Les outils théoriques présentés dans la première partie du cours sont issus des livres [1] et [2] ci-dessous. Les références pour la suite du cours sont des articles qui seront mentionnés durant le déroulement du cours.
Les prérequis pour suivre ce cours consistent en une bonne maîtrise des notions de probabilités et statistiques élémentaires ainsi qu'une bonne maîtrise d'au moins un outil informatique de programmation: langage Fortran ou C ou C++ ou Java, ... ou encore Matlab.
Pour toute information complémentaire :
Bruno.Jedynak@univ-lille1.fr
Bibliographie