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Il s'y ajoute
L'objectif de ce cours est de permettre une mise à niveau et de proposer des compléments en analyse fonctionnelle en vue d'une utilisation dans les divers enseignements spécialisés du D.E.A. de Mathématiques Appliquées. Les différentes notions abordées seront illustrées dans le cadre d'espaces fonctionnels classiques. Le cours devrait s'articuler autour des thèmes suivants :
Bibliographie
La théorie du contrôle intervient dans de nombreux domaines et ses applications dans l'industrie sont très importantes. Elle consiste, pour un système physique gouverné par une équation différentielle, à contrôler les variables d'entrée de sorte que la sortie se comporte selon certains critères.
La résolution d'un problème de contrôle fait appel à de nombreuses techniques d'analyse numérique qui, par ailleurs, sont utilisées dans d'autres domaines des mathématiques appliquées (approximation, équations aux dérivées partielles, algèbre linéaire, etc).
Le cours débutera par une présentation des notions de base du contrôle linéaire. Puis diverses méthodes numériques récentes utilisées en théorie du contrôle seront traitées: polynômes orthogonaux formels, approximation de Padé, résolution des systèmes linéaires avec régularisation et estimation de l'erreur, méthodes d'extrapolation, équations de Sylvester et Riccati.
Aucun prérequis spécial n'est nécessaire pour aborder ce cours. Des documents de travail seront fournis aux étudiants.
Bibliographie
Classification des EDP, espaces de Sobolev et quelques outils d'analyse fonctionnelle, opérateurs non bornés, Théorème de Lax-Milgram, inégalité de Garding, le principe du maximum dans H1(W) pour les EDP elliptiques linéaires, opérateur de Green, régularité supérieure, théorie d'existence des solutions faibles pour les équations elliptiques linéaires, équations d'évolution linéaires, semi-groupes des opérateurs, Théorèmes de Hille-Yosida et de Lumer-Phillips, applications aux équations linéaires paraboliques et hyperboliques, cônes temporelles et spatiaux pour les équations hyperboliques linéaires générales, vitesse de propagation finie et existence des solutions faibles par une méthode de Galerkin, lemme de Céa, éléments finis de Lagrange, familles régulières de triangulations, espaces conformes d'éléments finis, lemme de Bramble-Hilbert, approximation de solutions de problèmes aux limites elliptiques de deuxième ordre dans des ouverts polyédriques par des méthodes d'éléments finis, estimations d'erreur en norme Hk.
Bibliographie
R. Brown, botaniste anglais, décrivit dès 1827 le mouvement brownien comme celui de fines particules organiques en suspension dans un gaz ou un fluide. En 1900, L. Bachelier a introduit le mouvement brownien pour modéliser la dynamique des prix des actions à la bourse. A. Einstein, en 1905, a construit un modèle probabiliste de diffusion pour décrire ce mouvement brownien. Actuellement le mouvement brownien est l'exemple de processus stochastique le plus connu et le plus étudié. Il joue un rôle fondamental dans les sciences mathématiques. Parmi les domaines dans lesquels il intervient nous avons: 1) La modélisation du bruit et les équations aux dérivées partielles. 2) L'analyse fonctionnelle et la théorie des semi-groupes. 3) L'analyse harmonique, la théorie spectrale et ergodique. 4)Les mathématiques financières. 5) La statistique mathématique...
Le but de ce cours est d'étudier les principales classes de processus stochastiques et les méthodes qui permettent d'en construire de bonnes versions.
Les grandes lignes du cours:
Variables aléatoires, lois marginales, l'indépendance, processus
stochastiques.
Théorème d'extension de Kolmogorov, régularité des
trajectoires.
Les processus vus comme des mesures sur des espaces fonctionnels.
Principales classes de processus stochastiques (stationnaires,
markoviens, martingales).
Critère de tension dans l'espace des trajectoires
continues.
Construction de la mesure de Wiener et du mouvement brownien.
Théorème de Donsker.
Calcul
stochastique et son lien avec les équations aux dérivées partielles.
Application à l'équation de la
chaleur.
Bibliographie
Représentation spectrale des processus d'ordre 2 à temps discret ou continu, en 1-D ou 2-D. Décomposition de Wold et innovation des processus stationnaires. Processus à courte ou longue mémoire.
Statistique paramétrique : maximum de vraisemblance, estimateur de Whittle. Estimation de l'ordre et des paramètres d'un ARMA.
Statistique non paramétrique. Estimation de la densité spectrale ou de fonctionnelles de la densité spectrale. Application à un test de blancheur.
Bibliographie
R (Statistique).
Comme illustration on choisira des thèmes issus de chaque axe et d'un intérêt général.
L'objectif est de donner quelques résultats mathématiques récents, nécessaires au développement ou à la création de logiciels industriels en CAO et CFAO (Conception et Fabrication Assistée par Ordinateur).
Les courbes, les surfaces et les splines polynomiales définies par des points de contrôle (forme Bézier-de Casteljau et de Boor) sont les outils principaux de la modélisation en CAO et CFAO et dans divers domaines industriels.
Le cours propose plus généralement la théorie et l'algorithmique du contrôle des courbes, des surfaces et des splines rationnelles via la notion de vecteurs massiques. Ce modèle rationnel qui contient le modèle polynomial ci-dessus, permet plus de possibilités afin de satisfaire diverses contraintes mathématiques ou de métier.
Les grandes lignes du cours:
Géométrie projective, l'espace vectoriel des vecteurs massiques. Construction du polygone massique de contrôle des courbes rationnelles: forme (BR), des surfaces rationnelles: forme (SBR) et des splines rationnelles: forme (NR).
Cas particulier des courbes et carreaux Bézier-de Casteljau.
Algorithmes de calcul d'un contact. Dérivation. Transformée projective et affine de (BR), (SBR), (NR). Rôle du paramétrage.
Conditions nécessaires et suffisantes de raccordement Ck et Gk en terme
de vecteurs massiques.
Divers problèmes sur les courbes avec contraintes cinématiques, mécaniques, esthétiques.
Création de surfaces de remplissage à plusieurs bords et à grande régularité de raccordement.
Bibliographie
Dans une première partie, on considèrera les méthodes générales d'extrapolation (c'est à dire accélération de méthodes itératives) quand on connait le développement asymptotique de l'erreur d'approximation sur une échelle de fonctions. On donnera des résultats d'encadrement de l'erreur dans le cas où l'échelle forme un système totalement positif. Les méthodes d'approximation conduisent également à des algorithmes de prédiction qui seront utilisés dans la résolution numérique de certaines EDP. Dans le cas où les coefficients du développement asymptotique sont connus, des résultats d'approximation diophantienne de nombres réels donnés par des sommes de séries seront donnés.
La seconde partie présentera un certain nombre d'extensions aux problèmes vectoriels voir matriciels. Le problème sera, par le biais de l'approximation rationnelle, lié au problème scalaire, aux polynômes orthogonaux scalaires et vectoriels, au problème des moments et à la représentation en fraction continue d'une fonction vectorielle. Des applications seront données, notamment à la résolution des systèmes linéaires.
Bibliographie
Bibliographie
Méthodes variationnelles directes et méthodes variationnelles sous contraintes, minima, points critiques et théorèmes de type mountain pass, équations elliptiques non linéaires, problème de régularité, surfaces minimales, modélisation de phénonèmes physiques par le système de Navier-Stokes, système de Stokes et problèmes variationnels mixtes (voir CS ``éléments finis mixtes''), système de Navier-Stokes incompressible stationnaire, méthode de Galerkin non linéaire, solutions faibles du système de Navier-Stokes stationnaire, système de Navier-Stokes incompressible d'évolution, espaces de fonctions à valeurs dans un espace de Banach, méthode de Rothe, solutions faibles du système de Navier-Stokes d'évolution, quelques remarques sur les solutions fortes de ce système.
Bibliographie
Fonctions aléatoires gaussiennes: Quelques classes de fonctions, processus et champs aléatoires. Exemples: processus de Wiener, pont brownien, analogues multi-paramétriques (champ de Wiener-Tchentsov, fonction brownienne de Lévy). Fonction brownienne fractionnaire. Bruit blanc. Processus stationnaires. Processus d'Ornstein-Uhlenbeck.
Répartitions gaussiennes dans un espace de dimension infinie: Barycentre. Covariance. Fonctionnelle caractéristique. Définition des mesures gaussiennes. Exemples: mesure gaussienne standard, mesure gaussienne dans un espace de Hilbert.
Noyau d'une mesure gaussienne: Fonctionnelles linéaires mesurables. Translations admissibles. Noyau d'une mesure. Formule de Cameron-Martin. Loi du 0-1. Factorisation de la covariance et du noyau. Exemples de calcul pour les mesures les plus importantes.
Convexité et propriétés isopérimétriques: Problème isopérimétrique. Théorème d'Ehrhard. Propriété isopérimétrique pour les demi-espace. Inégalités isopérimétriques. Convexité. Ellipsoide de dispersion. Propriétés isopérimétriques dans un espace de dimension infinie. Répartition d'une fonctionnelle convexe.
Entropie métrique et principe de comparaison: Notions liées à l'entropie métrique et à la capacité. Intégrales de Dudley et de Fernique. Bornes supérieures correspondantes à ces intégrales. Identité de comparaison. Deux formes d'un principe de comparaison. Minorations de Sudakov et de Talagrand.
Régularité de trajectoires: Bornitude et continuité de trajectoires. Intégrale de Dudley comme le module de continuité. Conditions nécessaires et suffisantes de bornitude et continuité. Théorème de Fernique pour les fonctions homogènes.
Mesures majorantes: Deux définitions de la mesure majorante. Mesures majorantes et l'entropie métrique. Estimation d'une fonction aléatoire basée sur une mesure majorante. Théorème de Fernique-Talagrand.
Bibliographie
Ce cours est une application de la théorie des processus stochastiques aux équations aux dérivées partielles avec donnée initiale de Cauchy ou de Dirichlet. Le contenu est le suivant.
Processus de Markov, temps d'arrêts.
Processus de Markov et diffusions.
Équations de Kolmogorov forward et backward.
Recherche des densités de transitions de la diffusion de
Ornstein-Uhlenbeck
en utilisant la transformée de Fourier et la
méthode des caractéristiques.
Construction des diffusions à l'aide
des équations différentielles stochastiques.
Application
aux problèmes de Cauchy et de Dirichlet.
Lien entre les processus
stochastiques, la
théorie du potentiel et les équations aux dérivées partielles.
Bibliographie
Le cours est motivé par l'analyse de défaillance des grands systèmes réparables pour lesquels la théorie statistique asymptotique est inutilisable. La première partie est l'analyse de durée de vie d'un élément (taux de défaillance, vieillissement, etc.). La partie suivante concerne la durée de vie d'un système soit d'un point de vue structurel (arbres) soit d'un point de vue dynamique (modèles markoviens, régénératifs). La dernière partie donne des approximations récentes de fiabilité dans un cadre assez large (défaillances exponentielles et réparations quelconques).
Bibliographie
Ce cours s'intéresse au thème de la modélisation et plus particulièrement aux méthodes linéaires et à celles qui se ramènent au cas linéaire. Ce cours est une introduction aux méthodes dans lesquelles interviennent des combinaisons linéaires des variables dites explicatives. Celles-ci visent donc à l'estimation d'un nombre généralement restreint de paramètres intervenant dans cette combinaison mais sans aborder les techniques spécifiques à l'étude des séries chronologiques. Les méthodes non-paramétriques élémentaires (loess, noyaux, splines) seront introduites dans le cas unidimensionnel.
Le cadre général de ce cours considère donc les observations d'une variable aléatoire Y dite réponse, exogène, dépendante qui doit être expliquée (modélisée) par les mesures effectuées sur p variables dites explicatives, de contrôle, endogènes, dépendantes, régresseurs. Ces variables peuvent être quantitatives ou qualitatives, ce critère déterminant le type de méthode ou de modèle à mettre en uvre.
Les propriétés des modèles statistiques seront présentées et la pratique sera illustrée par des sorties logicielles.
Les grand thèmes de ce cours sont :
Rappel sur le modèle linéaire.
Concepts communs aux modèles paramétriques : fonction de lien,
vraisemblance, tests, diagnostics, résidus, sélection de modèles,
etc.
Modèle additif généralisé.
Introduction aux modèles non linéaires.
Bibliographie