Jean-Noel BACRO (Montpellier), Un estimateur de la fonction de dépendance des extrêmes d'un processus spatial
Les données spatialisées sont aujourd'hui très répandues et la modélisation à l'aide de processus spatiaux est utilisée dans nombre de domaines d'application, comme par exemple l'hydrologie, la climatologie ou, d'une façon plus générale, les phénomènes environnementaux et les études de gestion des risques. Le plus souvent, la caractérisation du comportement des extrêmes de tels processus est primordiale. Les mesures usuelles de dépendance des extrêmes bi-variés peuvent être généralisées au cadre spatial et différents estimateurs du coefficient extrêmal à distance h ont été proposés récemment par Schlather et Tawn (2003) et Poncet, Cooley et Naveau (2005). Nous proposons ici un nouvel estimateur de ce coefficient. Les propriétés statistiques de cet estimateur sont étudiées et illustrées au travers de simulations. Les travaux présentés sont en collaboration avec C. Lantuéjoul (Ecole des Mines, Paris) et L. Bel (Université Orsay).

Jan BEIRLANT (Louvain), Sur le choix adaptatif de seuils en statistique des extrêmes, et de fenêtres en théorie de l'estimation de densités.
Récemment, dans la littérature ont été proposées plusieurs méthodes concernant le choix du nombre d'extrêmes utilisés ou du seuil adapté, dans l'application de techniques statistiques en théorie des valeurs extrêmes. Quelques unes sont basées sur des tests d'adaptation. On fait la revue de ces méthodes, indiquant les liens avec des tests si nécessaire. Presque toutes les techniques se situent dans le cas univarié. On discute brièvement des problèmes analogues dans le cas multivarié. En théorie de l'estimation de densités, le problème de choisir le paramètre de lissage ou le nombre des plus proches voisins est similaire. On explique la correspondance entre ces deux domaines.

Margarida BRITO (Porto), Estimation Uniforme d'une Isobare
Les statistiques d'ordre d'un échantillon d'une loi multidimensionnelle ne sont pas définies de façon naturelle et plusieurs définitions ont été proposées dans la littérature. Nous considérons un échantillon ordonné selon une famille croissante de fonctions de quantiles conditionnels, appelées isobares, et nous examinons la convergence uniforme presque-sûre des estimateurs simples de ces isobares dans le cas bidimensionnel. Ce problème est lié à l'estimation de la fonction de répartition conditionnelle. Nous introduisons dans un premier temps des estimateurs de la distribution conditionnelle du type histogramme et nous analysons le comportement asymptotique correspondant. (En collaboration avec Marie-Françoise Barme, Lille1)

Anne-Laure FOUGERES (Nanterre), Modèles de mélanges pour valeurs extrêmes"
Dans ce travail, nous présentons de nouveaux modèles de mélanges pour des données extrêmes. La loi mélangeante fait intervenir des lois stables positives. Un trait distinguant ces modèles est qu'ils conduisent à des lois de valeurs extrêmes à la fois conditionnellement aux variables mélangeantes et non conditionnellement. Cette propriété est importante pour permettre une interprétation et une prédiction faciles, et est naturelle pour des données obtenues comme des maxima de variables. Nous avons ainsi développé des analogues de modèles d'analyse de variance (Anova) et des modèles spatiaux pour des données de valeurs extrêmes, appliqués ensuite dans le contexte de l'étude de la corrosion de matériaux légers tels que l'aluminium ou le magnésium ("pit corrosion").Travail en collaboration avec J. Nolan (American University Washington DC USA), et H. Rootzen (Chalmers University, Gothenburg, Sweden).

Isabel FRAGA-ALVES (Lisbonne), Tests pour les domaines d'attraction extrêmes
Nous nous intéressons à l'approche semi-paramétrique du problème du choix statistique des domaines d'attraction pour les extrêmes. Nous revisitons le problème de tester le domaine de la loi de Gumbel contre les domaines des lois de Fréchet ou de Weibull. En lien avec les concepts de la théorie de la variation régulière, nous présentons quelques propriétés asymptotiques de la statistique de test de Hasofer et de Wang basée sur les k plus grands extrêmes d'un échantillon de taille n ; k étant une suite intermédiaire, dépendant donc de n. Une statistique de test de type Greenwood est proposée, qui se révèle utile pour la discrimination des distributions à queue lourde. Nous introduisons également une statistique de test complémentaire qui est simplement le rapport entre le maximum et la moyenne de l'échantillon des excès au-dessus d' un seuil aléatoire . Le comportement, pour un échantillon fini, de ces trois tests ci-dessus est évalué sur la base d'une simulation. Des illustrations sont aussi fournies avec trois ensembles de données réelles.

Stéphane GIRARD (Grenoble), Inférence statistique pour les lois à queues de type Weibull
Nous nous intéressons à une famille particulière de lois : les lois à queues de type Weibull dont la fonction de hasard cumulée est à variations régulières. Cette famille regroupe notamment les lois de Weibull, normale et gamma. Ces lois sont indexées par un paramètre appelé coefficient de queue. Nous proposons dans un premier temps différents estimateurs de ce coefficient et nous établissons leurs propriétés asymptotiques. Dans un deuxième temps, nous proposons un modèle de régression exponentielle permettant de corriger le biais inhérent aux estimateurs précédents. Enfin, nous introduisons plusieurs estimateurs des quantiles extrêmes basés sur ces estimateurs du coefficient de queue. Le comportement de l'ensemble des estimateurs proposés est illustré sur simulations. (travail en collaboration avec Jean Diebolt, Laurent Gardes et Armelle Guillou)

Ivette GOMES (Lisbonne), Réduction du biais pour des estimateurs du coefficient de queue et des quantiles extrêmes associés
Nous présentons des techniques de réduction de biais pour des lois à queues lourdes, améliorant ainsi les résultats classiques sur l'estimation de quantiles extrêmes. Les quantiles extrêmes dependent fortement du coefficient de queue et les estimateurs classiques de ce coefficient présentent habituellement une variance élevée pour un seuil élevé, i.e. pour de petites valeurs du nombre k d'observations utilisées pour l'estimation, et un biais élevé pour de grandes valeurs de k, ce qui implique de fortes erreurs quadratiques. Récemment une nouvelle classe d'estimateurs du coefficient de queue, avec biais réduit, a été introduite. Dans cette classe, le paramètre du second ordre dans le biais est estimé à un niveau k' d'un ordre plus grand que le niveau k pour lequel on calcule les estimateurs du coefficient de queue. De cette façon, la variance asymptotique de ces nouveaux estimateurs reste égale à la variance de l'estimateur de Hill, obtenu par la méthode du maximum de vraisemblance pour un modèle de Pareto strict. Nous déduisons de même une nouvelle classe d'estimateurs de quantiles extrêmes. Nous comparons les deux classes d' estimateurs non seulement sur leurs propriétes asymptotiques mais aussi sur des échantillons finis par des méthodes de Monte Carlo. Nous proposons aussi une illustration du comportement de ces estimateurs pour différents ensembles de données.

Rolf-Dieter REISS (Siegen), Lois de Pareto Généralisées Multivariées
La modélisation statistique par la loi généralisée univariée de Pareto, introduite par J. Pickands, fut l'une des innovations les plus fructueuses en théorie des valeurs extrêmes ces dernières années. On connaît moins de résultats dans le cadre multivarié . Nous déduisons les versions multivariées des lois de Pareto généralisées à partir des processus de dépassement limites et discutons de quelques propriétés en lien avec une nouvelle décomposition spectrale des lois multivarieés.

François G Schmitt (Lille1), Extrêmes et turbulences ; exponentielles étirées ou lois hyperboliques?
En turbulence, une bonne modélisation des extrêmes est importante dans de nombreux domaines : météorologie, éoliennes, aéronautique, etc. Le champ de vent turbulent est très intermittent, dynamique sur une grande gamme d'échelles, et corrélé, et ses extrêmes sont modélisés différemment selon les communautés. Dans le domaine de l'énergie éolienne, on considère directement le champ de vent, et ses extrêmes sont ajustés par une loi de Weibull. Dans le domaine de la turbulence développée, on considère plutôt les extrêmes des incréments de la vitesse ; lorsqu'on considère les incréments, les probabilités des fluctuations ont une queue qui décroît bien moins vite. Il existe différentes écoles : certains modélisent ces fluctuations extrêmes par des exponentielles étirées, et d'autres par des lois hyperboliques (aussi appelées loi de Fréchet ou de Pareto). Après un bref rappel des résultats obtenus dans ces différentes communautés, nous analyserons des bases de données issues de la turbulence marine et atmosphérique. Nous montrons que les lois hyperboliques semblent le mieux convenir pour les incréments de vitesse.