Je décrirai une structure de Poisson sur l'espace des courbes ou des polygones dans R^n, de laquelle, en utilisant des arguments de symmétrie Poissonienne, j'obtiendrai une série de structures de Poisson sur plusieurs espaces, liés par réduction.
Parmi ces espaces on peut trouver des opérateurs différentielles et aux différences, ainsi que leurs réductions respectives. On s'intéressera plus aux opérateurs aux différences.
Je présenterai en détail les cas concrets où n=2 et n=3, pour lesquels les exemples naturels sont KdV et le réseau de Toda. La construction est une application simple de la théorie des groupes de Lie Poisson. Elle devrait être accessible à des non-spécialistes. C'est une extension d'un résultat de Frenkel, Reshetikin et Semenov-Tian-Shansky, qui devrait avoir des
conséquences dans l'étude des algèbres W discrètes ou quantiques. |
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