Considerons la famille de polynomes $P(x,a)=x^n+a_1x^{n-1}+ldots +a_n$,
$x,a_iin {bf R}$. Un polynome de la famille est dit (strictement)
hyperbolique si toutes ses racines sont reelles (reelles et distinctes).
Un polynome est dit tres hyperbolique s'il est hyperbolique et s'il a
des primitives de tout ordre qui sont hyperboliques elles aussi. Pour
$nleq 3$ tout polynome hyperbolique est tres hyperbolique mais pour
$ngeq 4$ ce n'est plus le cas et le sous-ensemble des polynomes tres
hyperboliques n'est pas semi-algebrique. Dans l'expose on parlera de la
geometrie et de la stratification des sous-ensembles des polynomes
hyperboliques et tres hyperboliques. |
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