Programme du Séminaire
de Topologie, 2001
Salle Duhem au M3, à 14h
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Voir Seminaire courant
28 septembre
Aviva Szpirglas (Poitiers)
Transformations de Lagrange et dualité pour les singularités de coin et
les singularités en drapeaux
Résumé
On étudie la topologie des singularités lorsque l'espace est
muni d'une strucuture additionnelle, comme une famille de sous-espaces
(un drapeau par exemple) ; on construit les objets homologiques pour
de telles singularités. On définit la transformation de Lagrange pour
de telles singularités et on montre que celle-ci réalise la dualité
dans l'ensemble de ces singularités.
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5 octobre
Mihai Tibar (Lille)
Introduction à la topologie des fonctions méromorphes
Aperçu
Milnor a défini (vers 1968) les ingrédients de base pour étudier la topologie
des germes de functions holomorphes; depuis, l'étude des singularités s'est
trouvé beaucoup d'applications, dans différentes branches.
Au cours de la dernière décade, il y a eu en parallel un interêt accru
pour l'étude de la topologie globale des functions polynomiales, notamment
en lien avec le comportement à l'infini. Ceci est intimement lié à la géométrie
affine et aux systèmes dynamiques sur des espaces non-compacts.
On se propose de montrer comment étendre l'étude des germes holomorphes à la
classe des functions méromorphes, locales ou globales. Les fonctions
polynomiales peuvent étre vues comme un cas spécial de fonctions méromorphes
globales. D'autre part, une fonction méromorphe définit un pinceau
d'hypersurfaces; on fournit ainsi une nouvelle approche à la théorie des
pinceaux de Lefschetz.
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12 octobre
Pierre-Marie Moyaux (Lille)
Qcategorie et Conjecture d'Arnold pour les fibrés cotangents.
Résumé
Soit M une variété fermée. Alors son fibré cotangent TM admet une structure de
variété symplectique pour laquelle M est une sous-variété lagrangienne. Si f est
un diffeomorphisme hamiltonien à support compact, une des formes de la
conjecture d'Arnold est que f(M) et M se coupent en au moins crit(M) points.
Hofer montre qu'il y a au moins cuplength(M)+1 points d'intersections.
Laudenbach et Sikorav minorent le nombre de points d'intersections par un
analogue stable de crit(M), $\tilde{crit}(M)$.
Le but de cet exposé est de minorer $\tilde{crit}(M)$ par Qcat(M)+1, ou Qcat(M)
est une version stable de la LS-categorie.
L'avantage de cette minoration est que Qcat est plus simple à calculer que
$\tilde{crit}(M)$ et nous permet d'utiliser d'autres invariants numériques comme
bornes inférieures pour le nombre de points d'intersections.
De plus, comme la Qcatégorie est supérieure ou égale à la cuplength, on obtient
comme corollaire le résultat de Hofer (et notons que le cas Qcat>cuplength
existe, comme pour Sp(2) et Sp(3)).
La preuve est basée sur l'identification de la Qcatégorie avec une version
relative de la LScatégorie, identification dont on tire d'autres conséquences.
(travail en collaboration avec Lucille Vandembroucq)
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19 octobre
Daniel Tanré (Lille)
Catégorie de Lusternik-Schnirelmann de certains groupes symplectiques
Résumé
La LS-catégorie a été introduite pour minorer le nombre de points critiques
de fonctions
definies sur une variété compacte. Moins précise que la théorie de Morse,
elle s'applique sans
l'hypothèse de non-dégénérescence des points critiques. C'est un invariant
homotopique difficile a déterminer et le calcul de la LS-catégorie des
groupes de Lie est le
premier problème de la liste de Ganea (cf Lecture Notes Springer Verlag 249).
En ce qui
concerne, les groupes symplectiques Sp(n), le seul résultat connu est
cat(Sp(2))=3, obtenu par
P. Schweitzer en 1965 à l'aide d'opérations cohomologiques secondaires.
Dans cet exposé, on montrera en particulier comment une combinaison de
decompositions de la
diagonale réduite et de propriétés d'invariants de Hopf-Ganea permet
d'obtenir: cat(Sp(3))=5.
(travail en collaboration avec Luc'ia Fern'andez-Su'arez, Antonio
G'omez-Tato et Jeffrey Strom)
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26 octobre
Jean-François Barraud (Lille)
Introduction a l'homologie de Floer
Aperçu
L'homologie de Floer est un outil puissant pour etudier les points
d'intersections entre sous-varietes Lagrangiennes d'une variete symplectique.
Le but de l'expose est de donner une esquisse (modeste) de sa construction, qui
reste malheureusement hors de portee d'un expose d'1h.
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9 novembre
Mihnea Coltoiu (Bucarest)
Géométrie complexe et singularités, II- Sur le revêtement universel
de la complémentaire d'un point dans un espace
de Stein normal de dimension 2.
Jeudi 18 octobre, 17:15h, dans le séminaire de Géométrie Complexe :
Géométrie complexe et singularités, I- Proprietés de convexité
des revêtements non ramifiés.
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16 novembre
Emmanuel Ferrand (Grenoble)
Théorie de Morse déformée
Résumé Considérons une sous variété compacte immergée dans
l'espace euclidien de dimension n.
Considérons une fonction hauteur, ou plus précisement la famille
à un paramétre d'hypersurfaces formée par les niveaux de cette fonction.
Les inegalités de Morse donnent une estimation du nombre de tangences entre
la sous-variété compacte et les hypersurfaces de cette famille.
Le but de mon exposé est d'étudier des généralisations de cette estimation
lorsque la famille à un paramétre d'hypersurfaces ne correspond pas aux
niveaux d'une fonction (par exemple lorsque l'enveloppe de cette famille
est non-vide).
(travail en collaboration avec Petr E. Pushkar')
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23 novembre
Michel Belliart (Lille)
Feuilletages des 3-variétés, d'après Thurston.
Résumé Un feuilletage est une partition localement
triviale d'une variété donnée en sous-variétés appelées
feuilles, les axiomes etant un peu plus faibles que
pour les fibrations localement triviales (les fibres
sont fermées et deux à deux homéomorphes, ce qui n'est
pas le cas des feuilles).
Une question "évidente" est : quelles variétés compactes
ont des feuilletages ? Après des progrès assez lents,
cette question a été brutalement résolue par Thurston
en classe C-infinie. On exposera les problèmes essentiels
et la solution de Thurston en dimension 3.
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30 novembre
Tornike Kadeishvili (Tbilisi)
$\cup_i$-products in the bar construction
Abstract In the bar construction $BC^*(X)$ of the cochain algebra of a 1-connected
space $X$, which by definition is a DG-coalgebra
equivalent to $C^*(\Omega X)$, we define the geometric $\cup_i$-products,
that is they correspond to $\cup_i$-s in $C^*(\Omega X)$. The
$\cup_0$ is one defined by Baues. The way to obtain them is following.
First we show that $BC^*(X)$ coincides with the cochain complex of certain
cubical set, and secondly, we present the formulas for $\cup_i$-s in the
cochain complex of a cubical set.
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7 décembre
Sarah Whitehouse (Lens)
Polynômes de Gauss et opérations en K-théorie
Résumé On montre comment utiliser les polynômes de Gauss
pour obtenir une base de l'algèbre de co-opérations
en K-théorie p-localisée. A partir de cette base
on trouve une caratérisation d'opérations stables
en K-theorie. On montre aussi que la base se comporte
bien par rapport à la structure d'algèbre de Hopf et
par rapport au splitting d'Adams.
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14-15 décembre
Anciens-Nouveaux (Nord)
Exposés au Touquet
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11 janvier
Michel Belliart (Lens)
Exemples de feuilletages compacts
Résumé Le but de l'expose est de decrire quelques
exemples (pour certains spectaculaires) de feuilletages
dont les feuilles sont compactes, et de comparer leurs
proprietes a celles des fibrations localement triviales.
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18 janvier
Jean-Paul Brasselet (IML Marseille)
Le point sur les classes caractéristiques
des variétés singulières
Résumé Le théorème classique de Poincaré-Hopf exprime la caractéristique
d'Euler-Poincaré d'une variété (lisse, compacte, sans bord)
comme l'obstruction à la construction d'un champ de vecteur tangent
à la variété. Dans le cas d'une variété (algébrique complexe)
singuliére, plusieurs définitions ont été proposées en vue
de généraliser ce résultat. Entre autres, les classes de
Schwartz-MacPherson (créées à Lille) et les classes de Fulton.
Dans le cas de singularités isolées, la différence entre ces classes
est égale à la somme des nombres de Milnor en les points
singuliers. L'exposé montrera, à partir de l'historique du
problème, comment ce résultat s'écrit dans le cas général et
on fera le point sur les problèmes actuels.
Voir la liste des exposés 1998, 2000-2001