M. Belliart M. Tibar J.F. Barraud
Vendredi 2 avril 2004
Résumé.
La géométrie des tissus s'intéresse aux propriétés géométriques des familles de feuilletages en position générale.
On se restreindra, dans l'exposé, é la situation locale au voisinage de 0 dans C^2 avec une famille de feuilletages analytiques complexes de courbes. Le point de vue adopté est qu'une telle configuration, c'est-à-dire un d-tissu planaire de C^2, correspond à un inversible près de C{x,y}, à la donnée d'une équation différentielle de la forme
F(x,y,y')=a_0(x,y)(y')^d+a_1(x,y)(y')^{d-1}+...+a_d(x,y)=0, via ses courbes intégrales génériques.
Outre des propriétés et problèmes classiques concernant les invariants géométriques de tels objets dont notamment les relations abéliennes engendrées, on présentera quelques résultats nouveaux. On verra en particulier, comment mettre à profit des outils comme les connexions et les résidus pour étudier la géométrie des tissus planaires tant du point de vue générique que celui des singularités.
Abstract. In families of polynomial functions one may encounter ``singularity exchange at infinity'' when singular points escape from the space and produce ``virtual'' singularities of the limit polynomial, which have themselves an influence on the topology. The total quantity of singularity involved in this phenomenon may not be conserved. Inspite of the fact that some of the ingredients do not behave well in deformations, we prove semi-continuity results which enable us to find rules of the exchange phenomenon.
Résumé.. Le bord abstrait de toute singularité isolée d'ensemble
analytique complexe est muni d'une structure de contact naturelle. Avec P. Popescu-Pampu, nous proposons de l'étudier à travers certains livres ouverts qui la portent, notion due à E. Giroux. J'expliquerai un résultat d'invariance topologique du bord de contact des singularités de surfaces normales, si celui-ci est une sphère d'homologie rationnelle.
J'évoquerai aussi une conséquence surprenante sur les entrelacs algébriques dans les sphères de Brieskorn.
Résumé. On prove qu'une sous-variété algébrique nondégénérée de
P^n(C) de degré au plus n est soit une variéte de Fano avec b_2=1, soit
rationnelle; en plus, les rationnelles sont classifiées complétement: il y en a
6 familles (de dimension et degré arbitrairement grands) et encore 14 sporadiques.
Comme corollaire : toute sous-variété de degré au plus n de P^n(C) est simplément connexe et l'estimation n est optimale. De notre connaissance, ce dernier résultat n'a pas de preuve topologique.
Abstract. We present some results which guarantee under very general hypothesis,
the existence of a local Riemannian embedding of a surface M into R^3 or R^4 with prescribed second fundamental form. We discuss some geometrical properties
of the realized surfaces such as the umbilicity and sphericity, and
some of the foliations defined by this fundamental form.